1、1.2 余弦定理余弦定理 江苏省运河中学江苏省运河中学 侯培勇侯培勇问题问题 1:三角形可以由哪些条件确定三角形可以由哪些条件确定?1.两角和两角的夹边两角和两角的夹边2.两边和两边的夹角两边和两边的夹角3.三条边三条边ACbBcabc 已知两角和两角的夹边已知两角和两角的夹边如何求其它的边和角如何求其它的边和角?已知两边和两边的夹角已知两边和两边的夹角如何求其它的边和角如何求其它的边和角?已知三条边如何已知三条边如何求三个角求三个角?ACbBc 问题问题 2 :在在ABC 中中,如如何用何用 b,c,A 表示表示 a?即即:已知已知 b,c,A 如何求如何求 a?请从特殊情形去试验、探索、猜
2、想请从特殊情形去试验、探索、猜想?cbaABCcbaCABcbaCAB90Aa2=b2+c260,Acba=b=c,120b c Aa2=3b2=3c2cbaABCcbaCABcbaCAB90Aa2=b2+c260,Acba=b=c,120b c Aa2=3b2=3c2 思考思考:能否概括出一个用能否概括出一个用 b,c,A 表示表示 a 的式子同时满足以上三个特例的式子同时满足以上三个特例?b=c a2=b2+c2+?a2=b2=c2=b2+c2+?=b2+c2+?Abccbacos2222cbaCABACbBc 问题问题 2 :在在ABC 中中,如如何用何用 b,c,A 表示表示 a?对对
3、 A=90的直角三角形和顶角为特殊的直角三角形和顶角为特殊角的两个等腰三角形我们概括出上述等式角的两个等腰三角形我们概括出上述等式,它它是否为是否为问题问题 2 的正确答案呢的正确答案呢?Abccbacos2222仅当仅当 b=c 时是否成立时是否成立?2sin2Aba a 2=2 b 2(1 cos A)=2 b 2 2 b 2 cos A =b 2+c 2 2 b c cos A 这时我们有什么样的猜想这时我们有什么样的猜想?ACbBc猜想猜想:在在ABC 中中Abccbacos2222 对任意对任意ABC 如何证如何证明上一结论明上一结论?点拨点拨:在哪里可以出现对在哪里可以出现对 co
4、s A 的计算的计算?ACbBcACbBcACbBc数量积数量积直角三角形直角三角形三角函数定义三角函数定义请选择恰当的方法独立证明上述结论请选择恰当的方法独立证明上述结论.ACbBcAbccbacos2222 向量证法向量证法 ABACBC22BCACAB 222ACABAC AB 222cosbcbcA所以所以Abccbacos2222余弦定理余弦定理:Abccbacos22222222cosbacacB2222coscababC如何用文字语言表述如何用文字语言表述余弦定理余弦定理?三角形任何一边的平方等于其他两三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦边平方的和减
5、去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍的积的两倍.Abccbacos2222 坐标证法坐标证法(解析法解析法)ACbBcA(0,0),C(b,0),B(c cos A,c sin A).a 2=BC 2 22sincosAcAcbAcAcAbcb22222sincoscos2222cosbcbcAAbccbacos2222 构造直角三角形构造直角三角形(1)当当 A=90时时,显然成立显然成立;(2)当当 A 为锐角时为锐角时,ACbBcDa 2=BD 2+CD 2=BD 2+(AC AD)2=(c sin A)2+(b c cos A)2 222cosbcbcA(3)当当 A 为钝角时为钝角时,
6、abc 已知三条边如何已知三条边如何求三个角求三个角?.cos2222Abccba.cos2222Baccab.cos2222Cabbac余弦定理余弦定理:,2cos222bcacbA,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC余弦定理余弦定理:例例 1.在在ABC 中中,(1)已知已知 b=3,c=1,A=60,求求 a.(2)已知已知 a=4,b=5,c=6,求求 A(精确精确到到0.1).Abccbacos2).1(222.7a,760cos1321322bcacbA2cos).2(222.43652465222.4.41AABC例例 2.A,B 两地之间隔着一个水塘两地之间
7、隔着一个水塘(如图如图),现选择另一点现选择另一点 C,测得测得 CA=182 m,CB=126 m,ACB=63,求求 A,B 两地之间的两地之间的距离距离(精确到精确到 1m).解解 AB 2=CA 2+CB 2 2 CACB cos 6328178.18,所以所以 AB 168.答答 A,B 两地之间的距离约为两地之间的距离约为 168 m.例例 3.用余弦定理证明用余弦定理证明:在在ABC 中中,当当C 为锐角时为锐角时,a 2 +b 2 c 2 ,当当C 为为钝角时钝角时,a 2 +b 2 0,c 2 a 2 +b 2 当当C 为钝角时为钝角时,cos C a 2 +b 2 课堂回顾课堂回顾:1.本节课我们学习了哪些知识本节课我们学习了哪些知识?2.从余弦定理的发现和证明过程从余弦定理的发现和证明过程,我们有我们有哪些收获哪些收获?3.由余弦定理可以解决哪些问题由余弦定理可以解决哪些问题?作业作业
