1、一、初等数论及其主要内容一、初等数论及其主要内容 数论是研究整数性质的一门很古老的数学数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内以及数论函数等内容，统称容，统称初等数论初等数论（Elementary Number Elementary Number TheoryTheory）。）。整除理论整除理论是初等数论的是初等数论的基础基础；同余理论同余理论是初等数论的是初等数论的核心核心；不定方程不
2、定方程是推进数论发展的是推进数论发展的最主要的课题最主要的课题；初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠助，只依靠初等的方法初等的方法来研究整数性质的分支。来研究整数性质的分支。自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的的几何原本几何原本（公元前（公元前3世纪）中就已出现。欧几世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧
3、几里得算法。我数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的书中的“中国剩余定理中国剩余定理”，正是我国古代，正是我国古代孙子算孙子算经经中的下卷第中的下卷第26题，我国称之为题，我国称之为孙子定理孙子定理。二、数论的发展史二、数论的发展史 近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探算术探究究，开始
4、了现代数论的新纪元。高斯还提出：，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王数学是科学之王，数论是数学之王”由于自由于自2020世纪以来引进了抽象数学和高等世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论代数数论、解析数论解析数论、几何数论几何数论等新分支。而且近年来等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛广泛的应
5、用，无疑同时也促进着数论的发展。的应用，无疑同时也促进着数论的发展。三三、几个著名数论难题几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费；费尔马大定理尔马大定理；孪生素数问题；孪生素数问题；完全数问题等。；完全数问题等。1742年年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发由德国中学教师
6、哥德巴赫在教学中首先发现的。现的。1742年年6月月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉家欧拉,正式提出了以下的猜想：正式提出了以下的猜想：一个大于一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。的偶数可以表示为不同的两个质数之和。陈景润在陈景润在1966年证明了年证明了“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”的的“一个一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和乘积之和”所谓的所谓的1+2，是，是筛法筛法的光辉顶点，至的光辉顶点，至今仍是今仍是“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”的最好结果。的最好结果。1、哥德巴赫猜想：、
7、哥德巴赫猜想：2、费尔马大定理：、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以律师，世人冠以“业余王子业余王子”之美称。在三百七十多之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。写下一个看起来很简单的定理。(3)nnnxyzn方方程程无无非非0 0整整数
8、数解解 经过经过8年的努力，英国数学家年的努力，英国数学家 安德鲁安德鲁怀尔斯怀尔斯 终于终于在在1995年完成了该定理的证明。年完成了该定理的证明。3、孪生素数问题、孪生素数问题 存在无穷多个素数存在无穷多个素数 p,使得使得 p+2 也是素数。也是素数。究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是1849年法国数学年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对提出猜想：对 于任何偶数于任何偶数 2k,存在无穷多组以存在无穷多组以2k为间隔的素数。为间隔的素数。对于对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把，这就是孪生素数猜想
9、，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。作为孪生素数猜想的提出者。不同的不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们我们已经知道叫做孪生素数；已经知道叫做孪生素数；k=2(即间隔为即间隔为4)的素数的素数对被称为对被称为 cousin prime；而；而 k=3(即间隔为即间隔为 6)的素数对的素数对竟然被称为竟然被称为 sexy prime(不过别想歪了，之所以称为不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为其实是因为 sex 正好是拉丁文中的正好是拉丁文中的 6。)4、最完美的数、最完美的数完全
10、数问题完全数问题 下一个具有同样性质的数是下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14.接着是接着是496和和8128.他们称这类数为完美数他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前欧几里德在大约公元前350-300年间证明了年间证明了:注意以上谈到的完全数都是偶完全数注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然至今仍然不知道有没有奇完全数。不知道有没有奇完全数。完美数又称为完全数完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的发现的,他们注意到他们注意到,数数6有一个特性有一个特性,它等于它自己的它等于它自己的因子因子(不包括它自身不包括它自身)的和，的和
11、，如：如：6=1+2+3.1212(21)nnn 若若是是素素数数，则则是是完完全全数数1、算经十书、算经十书 唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学习数学，规定习数学，规定周髀算经周髀算经、九章算术九章算术、孙子算孙子算经经、五曹算经五曹算经、夏侯阳算经夏侯阳算经、张丘建算经张丘建算经、海岛算经海岛算经、五经算术五经算术、缀术缀术、缉古算经缉古算经十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部算经十书算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十
12、部数学著作北宋时期（数学著作北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书（此时这是世界上最早的印刷本数学书（此时缀术缀术已经失已经失传，实际刊刻的只有九种）。传，实际刊刻的只有九种）。四、我国古代数学的伟大成就四、我国古代数学的伟大成就四、我国古代数学的伟大成就四、我国古代数学的伟大成就 公元前公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的著名的“勾三股四弦五勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。这个勾股定理的一个
13、特例。1、周髀算经、周髀算经2、孙子算经、孙子算经 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的清楚。现在传本的孙子算经孙子算经共三卷。卷上叙述算共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓题，可谓是后世是后世“鸡兔同笼鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算鹤龟算”。具有重大意义的是卷下第具有重大意义的是卷下第26题：今有物不知其数，题：今有物不知其数，三
14、三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？物几何？孙子算经孙子算经不但提供了答案，而且还给不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数物不知数”的的问题。德国数学家高斯问题。德国数学家高斯1777-1855于于1801年出版年出版的的算术探究算术探究中明确地写出了上述定理。中明确地写出了上述定理。1852年，年，英国基督教士伟烈亚士将英国基督教士伟烈亚士将孙子算经孙子算经中物不知数中物不知数问题的解法传到欧
15、洲，问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为个定理称为“中国剩余定理中国剩余定理”。周髀算经周髀算经孙子算经孙子算经五、学习数论的意义五、学习数论的意义 本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的的了解，更深入地理解初等数论与其它邻
16、近学科的关系关系,使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。学科，尤其是信息科学研究的能力。数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际意义。到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际意义
17、。由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用现在有些国家应用“孙子定理孙子定理”来进行测距，用原根来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。和指数来计算离散傅立叶变换等。电子通信密码学电子通信密码学六、主要参考书六、主要参考书1.数论导引数论导引华罗庚华罗庚 科学出版社科学出版社 19572.初等数论初等数论潘承洞、潘
18、承彪潘承洞、潘承彪 北京大学出版社北京大学出版社 20033.数论讲义数论讲义 柯召柯召 孙琦孙琦 高教出版社高教出版社 20054.初等数论初等数论100例例柯召柯召 孙琦孙琦 哈工大出版社哈工大出版社 20115.初等数论及其应用初等数论及其应用（美）（美）Kenneth H.Rosen 机械工业出版社机械工业出版社 2009欧几里得欧几里得前前330年前年前275年年欧氏几何学的开创者欧氏几何学的开创者，古希腊数学家，以其所著的古希腊数学家，以其所著的几何原本几何原本闻名于世。闻名于世。丢番图丢番图Diophante 246330“代数学之父代数学之父”古希腊数学家，著古希腊数学家，著算
19、术算术刘徽，生于公元刘徽，生于公元250年左右，年左右，三国时期三国时期数学家，是世界上最数学家，是世界上最早提出十进小数概念的人早提出十进小数概念的人，著，著九章算术注九章算术注10卷；卷；海岛海岛算经算经；九章重差图九章重差图.割圆割圆术求圆面积和圆周率术求圆面积和圆周率.祖冲之，祖冲之，429500，数学家，数学家，科学家，算出科学家，算出在在3.1415926和和3.1415927之间，求球体积公式之间，求球体积公式著有著有缀术缀术.天文历法和机械天文历法和机械方面的成就方面的成就略略。宋元数学四大家宋元数学四大家 秦九韶秦九韶约约12021261，著，著数书九章数书九章,最重要的数学
20、成最重要的数学成就就“大衍总数术大衍总数术”一次同余组解法一次同余组解法与与“正负开方术正负开方术”高次方程数值解法高次方程数值解法，在中世纪世界数学史上占有突出地位。，在中世纪世界数学史上占有突出地位。李冶李冶11921279,著著测圆海镜测圆海镜，主要目的就是说明用开，主要目的就是说明用开元术列方程的方法。元术列方程的方法。“开元术开元术”与现代代数中的列方程法相与现代代数中的列方程法相类似。类似。朱世杰朱世杰1300前后前后，著，著算学启蒙算学启蒙和和四元玉鉴四元玉鉴。算学算学启蒙启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发
21、展。数学的发展。四元玉鉴四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有志，其中最杰出的数学创作有“四元术四元术”多元高次方程列式多元高次方程列式与消元解法与消元解法、“垛积法垛积法”高阶等差数列求和高阶等差数列求和与与“招差术招差术”高次内插法高次内插法。杨辉杨辉1250前后前后，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著构成规律的数学家。著详解九章算法详解九章算法,日用算法日用算法等。等。费马费马 法法1601-1665，是数学史上，是数学史上最伟大的业余数学家，提出了费马最伟大的业余数学
22、家，提出了费马大、小定理；在坐标几何，无穷小，大、小定理；在坐标几何，无穷小，概率论等方面有巨大贡献。概率论等方面有巨大贡献。哥德巴赫哥德巴赫 1690-1764，德国数学家；曾担任中学德国数学家；曾担任中学教师，教师，1725年到俄国，年到俄国，被选为彼得堡科学院院士被选为彼得堡科学院院士.欧拉欧拉17071783，瑞士数学家，瑞士数学家，自然科学家。是数学史上最多产自然科学家。是数学史上最多产的数学家，每年写出八百多页的数学家，每年写出八百多页的论文，的论文，无穷小分析引论无穷小分析引论、微分学原理微分学原理、积分学原理积分学原理等都成为数学中的经典著作。等都成为数学中的经典著作。高斯高斯
23、17771855，德国数学家、，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测物理学家、天文学家、大地测量学家。在数论、非欧几何、量学家。在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。均有开创性贡献。勒让德勒让德法法17521833，在分，在分析学、数论、初等几何与天体析学、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，是椭力学，取得了许多成果，是椭圆积分理论奠基人之一。对数圆积分理论奠基人之一。对数论的主要贡献是二次互反律，论的主要贡献是二次互反律，还是解析数论的先驱者之一还是解析数论的先驱者之一.雅可比雅可比德
24、德18041851，在偏，在偏微分方程中，引进了微分方程中，引进了“雅可比雅可比行列式。对行列式理论作了奠行列式。对行列式理论作了奠基性的工作，在代数学、变分法、基性的工作，在代数学、变分法、复变函数论、分析力学复变函数论、分析力学、动、动力学及数学物理方面也有贡献。力学及数学物理方面也有贡献。希尔伯特希尔伯特德德18621943，他领，他领导的数学学派是导的数学学派是19世纪末世纪末20世纪世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为被称为“数学界的无冕之王数学界的无冕之王”。著著数论报告数论报告、几何基础几何基础、线性积分方程一般理论基础线性积分方程一般理论基础.华罗庚华罗庚19101985，是中国解析，是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。以华氏命名的数学科和开拓者。以华氏命名的数学科研成果很多。被列为芝加哥科学研成果很多。被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界技术博物馆中当今世界88位数学位数学伟人之一。伟人之一。
