1、14.5 4.5 高斯有色噪声中确知信号波形的检测高斯有色噪声中确知信号波形的检测 高斯白色噪声是理想的噪声模型，在许多高斯白色噪声是理想的噪声模型，在许多问题中这种噪声模型是一种合理的假设，但问题中这种噪声模型是一种合理的假设，但是有色噪声背景是一种更普遍的情形。本节是有色噪声背景是一种更普遍的情形。本节以高斯有色噪声为背景，研究二元确知信号以高斯有色噪声为背景，研究二元确知信号波形的检测问题。波形的检测问题。2卡亨南卡亨南洛维展开的方法，根据噪声的自相关函数洛维展开的方法，根据噪声的自相关函数选择合适的正交函数集选择合适的正交函数集（本章需要讲解的内容）（本章需要讲解的内容）白化处理方法：
2、将非白的接收信号白化处理方法：将非白的接收信号x(t)x(t)先通过一个先通过一个白化滤波器，使滤波器输出端的噪声变成白噪声，然白化滤波器，使滤波器输出端的噪声变成白噪声，然后按白噪声的方法进行处理，称为白化处理方法，将后按白噪声的方法进行处理，称为白化处理方法，将在第六章信号的波形估计中讲解。在第六章信号的波形估计中讲解。3讨论的思路信号模型及其统计特性；信号检测的判决表示式；检测系统的结构；检测性能的分析；最佳信号的波形设计。44.5.1 信号模型及其统计特性信号模型及其统计特性 直接讨论直接讨论一般二元确知一般二元确知信号波形的检测问题。在两信号波形的检测问题。在两个假设下的接收信号分别
3、为个假设下的接收信号分别为其中，其中，和和 分别是能量为分别是能量为 和和 的确知信号；的确知信号；是是零均值、自相关函数为零均值、自相关函数为 的高斯有色噪声。的高斯有色噪声。TttntstxH 0 00，：TttntstxH 0 11，：ts0 ts10sE1sE tn utrn 5卡亨南卡亨南洛维展开的方法，接收信号洛维展开的方法，接收信号x(t)x(t)可以表示为可以表示为展开系数展开系数x xk k表示为表示为展开系数展开系数x xk k与与x(t)x(t)成线性关系，它们由成线性关系，它们由x(t)x(t)通过与通过与f fk k(t)(t)相匹配的滤波器获得。相匹配的滤波器获得。
4、6 显然，展开系数显然，展开系数x xk k是随机变量，各展开系数之间的协是随机变量，各展开系数之间的协方差函数等于方差函数等于7,0jkCov xxk现在的目标是寻求正交函数集使jk时,即展开式中的各系数x 互不相关是以噪声是以噪声n(t)n(t)的自相关函数为核函数的齐次积分方程的自相关函数为核函数的齐次积分方程84.5.2 最佳判决式最佳判决式 为使展开系数为使展开系数 互不相关，应采用卡亨南互不相关，应采用卡亨南 洛维展开。为此，正交函数集洛维展开。为此，正交函数集 的第的第 个个 坐标函数坐标函数应满足下列积分方程应满足下列积分方程式中式中是随机变量是随机变量 的方差。的方差。这样，
5、我们得到展开系数这样，我们得到展开系数 表示的信号模型表示的信号模型两个假设下，两个假设下，都是都是高斯随机变量，高斯随机变量，相互统计独相互统计独立。立。），（21 kxk tfkk tfk ,kTttfuufutrkkkTn210d0 ，2kkkkkxExEx,xCov xjH :,k,jnsxHkkjkj2110 ，：），（21 kxk），（21 kxk），（21 kxk9 ），（2111 k,sNH|xkkk 00|,kkkxHN s（k=1,2.）kTTkkkkuufunttftnEnEH|xVar 0020dd000|kkkkE xHE sns111|kkkkE xHE sns k
6、TTkkkkuufunttftnEnEH|xVar 0021dd均值和方差分别为均值和方差分别为10 于是，前N项系数构成的N维随机矢量xN在两个假设下的概率密度函数分别为11由前由前N N项构成的似然比检验为项构成的似然比检验为两边取自然对数，并化简得两边取自然对数，并化简得 N NkHHkkkkkkNkkksxssxs100111ln22122110 12 设N 1111221defkkNkkkNsxsxl TTkkNkkkttftsttftxs00111dd221 00()()()()TkkTjkjkxx t f t dtss t f t dt利用13 0100221defkkNKkkN
7、sxsxl TTkkNKkkttftsttftxs00010dd221 N1100()lim()limNxNxNl x tll x tl xx当，14 111kkkktfstg 100kkkktfstg 15 112(0,1),(0,1)jkkjkkjkkksftgsjtj 若级数，则级数，收敛16 ()()jkkngtftn tr tu的表示式中，和分别是以噪声的自相关函数为核函数的齐次积分方程 ,kTttfuufutrkkkTn210d0 ，()()jkjsts tk的特征值和特征函数，而是信号的第个展开系数。17()()jjs ttnn1因此，我们可以设想用r(t-u)和来表示g则用r(
8、t-u)乘4.5.15a式子的两端(即g 表达式)，并在区间0tT对u积分，得 110d()Tnrtu guus t181()g t所以，是积分方程 110d()Tnr tu guus t的解g g1 1(t)(t)是确定是确定的函数的函数0()g t同理，是积分方程 000d()Tnr tu guus t的解g g0 0(t)(t)是确定是确定的函数的函数19当当 时时，我们得最佳判决式，我们得最佳判决式式中式中N N ttgtstxtxlTd21101 lnd2110000HHTttgtstx 111kkkktfstg 100kkkktfstg 20并能由方程并能由方程解得。解得。110d
9、 4.5.16aTnrtu guus t 000d 4.5.16bTnrtu guust其等效判决式表示为21 01100011000000000(),d()d2()()2d()d2()22)()nTTnTTnNr tuNr tu guutu guuNg ts tNr tu guutu guutuNg ts t如果有同理有224.5.184.5.18式变为式变为 这就是高斯白噪声中一般二元确知信号波形检测的判决表示式。所以，高斯白噪声下的结果仅仅是高斯有色噪声结果的特例。234.5.3 检测系统的结构检测系统的结构 将最佳判决式进行等价变换（将最佳判决式进行等价变换（即即4.5.18）,得得相
10、应的检测系统结构如图相应的检测系统结构如图4.19所示。所示。ttgtxttgtxtxlTTdd0010 ttgtsttgtsTTHHd21d21ln0001011024 tx tg1 tg0 tTd0 判判决决器器 成成立立1H tTd0 成成立立0H4.19图双路相关器检测系统结构254.5.4 检测性能分析检测性能分析 检验统计量检验统计量 为为是是高斯随机变量高斯随机变量.所以所以,为了分析其检测性能为了分析其检测性能,需求需求 、和偏移系数和偏移系数 。txl 11000011dd22TTl x tx ts tgttx tstgtt jH|lE jH|lVar2d26两假设下的两假设
11、下的E(l|HE(l|Hj j)和和Var(l|HVar(l|Hj j)分别为分别为式中，式中，g g0 0(t)(t)和和g g1 1(t)(t)是积分方程的解是积分方程的解27-10-1(-(-)0,(-)0)(Tnnnrz t r t u dtzurz tzuT引入的概念，即有色噪声自相逆核关函数的逆函数定义数为函28-1n01-1n利用逆核函数的概念r(z-t)，可解得g(t)和g(t)的显示表示式，因此用r(z-t)乘4.5.22式的两边，并在积分区间(0,T)上对t积分，则得29式4.5.23式左边的内积分等于（z-u）(),jgz所以左边的二重积分结果等于这样就有30 00110
12、00004.5.244.5.204.5.2111|dd22TTE l HEstn ts tgttstn tstgtt将代入和得 11010001dvdt2 TTns tstrtvs vsv （4.5.25）31 200010ddTTttgtnttgtnEH|lVar 12101000dvdt4.5.27TTnls tstrtvs vsv 类似地有类似地有 111010001|2 (4.5.26)TTnE l Hs tstrtvs vsvdvdt 32 类似地有类似地有 可见，由已知的确定信号及高斯有色噪声可见，由已知的确定信号及高斯有色噪声的自相关函数就能确定检验统计量在两个假设的自相关函数就
13、能确定检验统计量在两个假设下的均值和方差。检验统计量的均值满足下的均值和方差。检验统计量的均值满足 121101000|(4.5.28)TTnlVar l Hs tstrtvs vsvdvdt 2012121ljH|lVarH|lEH|lE 33 检验统计量的方差满足检验统计量的方差满足222|jlVar l Hdd从高斯分布的因为检验统计量是服，所以各判决概率由偏移系数确定。偏移系数34 于是，判决概率为于是，判决概率为 如果采用最小平均错误概率准则，且满足如果采用最小平均错误概率准则，且满足 ，则有则有显然，显然，随随 增大而减小，原因在于增大而减小，原因在于所以，所以，随随 之差增大而减
14、小之差增大而减小，这是合理的。，这是合理的。202012lH|lVarH|lEH|lEd 201lllnQH|HP lH|HPQQ 011 10HPHP 22elPQ dQeP2l 012H|lEH|lEl eP 01H|lEH|lE 35 4.5.5 最佳信号波形设计最佳信号波形设计 从信号检测性能分析结果知从信号检测性能分析结果知,增大性能好增大性能好;而而 与信与信号号 有关。所以，为了获得最好的检测性能，需要有关。所以，为了获得最好的检测性能，需要 设计最佳信号设计最佳信号 的波形。使其达到最大。的波形。使其达到最大。设信号设信号 的能量之和为的能量之和为 构造构造辅助函数辅助函数式中
15、，式中，为为拉格朗日乘子拉格朗日乘子。在。在 等于常数的条件下，极大化等于常数的条件下，极大化 ，就极大化了，就极大化了 。2l 2l ts,ts10 ts,ts10 ts,ts10 TsssEEEttsts021202d10常常数数 375422.EFsl sE2F2l 36 200010ddTTttgtnttgtnEH|lVar 12101000dvdt4.5.27TTnls tstrtvs vsv 37将将(4.5.27)式代入（式代入（4.5.37）式）式,得得 用用变分法变分法求使求使 最大的最大的 和和 令令 和和 分别是分别是 和和 的最佳波形的最佳波形,则则 其中其中,和和 是
16、任意的乘因子是任意的乘因子;和和 是在是在 内定义的任意函数。内定义的任意函数。将将(4.5.39)式代入式代入(4.5.38)式式,然后完成然后完成 tvvsvsvtrtstsFnT Tdd0110001 3854d02120.ttstsT F ts0 ts1 ty0 ty1 ts0 ts1 a.ttyts39540000 b.ttyts39541111 0 t0 t1 Tt 01 38从而解得从而解得 与与 的关系应满足的关系应满足进而得进而得和和 在在 为常数的约束条件下为常数的约束条件下,要极大化要极大化 ,由由(4.5.49)式式知知,要取要取(4.5.48)式式最小的特征值最小的特
17、征值 ,这就是说这就是说,的最佳的最佳 00001010|,F 00011010|,F ty0 ty1 435401.tyty 4854d011.vvtrvytynT 495442.Esl sE22l ty139波形是满足波形是满足(4.5.48)积分方程最小特征值积分方程最小特征值 所对应的特征函所对应的特征函数。数。4.5.6 退化情况退化情况 若若 的的 ,即噪声退化为零均值、功率即噪声退化为零均值、功率谱密度为谱密度为 的高斯白噪声的高斯白噪声,我们来讨论其结果。我们来讨论其结果。最佳判决式最佳判决式 当当 时时,由由(4.5.16齐次积分方程齐次积分方程)式解得式解得 tn02nNr
18、 ttuu 20NPn utNutrn 20 tsNtg1012 tsNtg0002 40于是于是,最佳判决式为最佳判决式为它与它与(4.4.35)式是等价的。式是等价的。检测性能分析检测性能分析 检验统计量检验统计量 是高斯随机变量。是高斯随机变量。若令若令 和和 的波形相关系数的波形相关系数 为为 ttststxNtxlTd2121010 lnd212100000HHTttststxN txl ts0 ts1 ttstsEETssd101010 41则有则有也满足也满足的关系。的关系。偏移系数偏移系数 为为 10102100ssssEEEENH|lE 10102101ssssEEEENH|
19、lE 101022010ssssEEEENH|lVarH|lVar jH|lVarH|lEH|lE2101 2d 10102202ssssEEEENd 42最佳波形设计最佳波形设计 为使为使 约束下约束下,最大最大,要满要满足足所以所以,最佳信号波形为最佳信号波形为 以上结果说明以上结果说明,高斯白噪声中确知信号高斯白噪声中确知信号波形的检测波形的检测,实际上是高斯有色噪声中确知实际上是高斯有色噪声中确知信号波形的检测的特例。信号波形的检测的特例。sssEEE210 2d101ssEE ，Tttsts 001，434.5.7 4.5.7 归纳归纳 我们对高斯白噪声中和高斯有色噪声我们对高斯白噪
20、声中和高斯有色噪声中中,一般二元确知信号波形检测的最佳波形设一般二元确知信号波形检测的最佳波形设计问题计问题,进行简要地归纳，如下所示。进行简要地归纳，如下所示。44 高斯白噪声高斯白噪声 高斯有色噪声高斯有色噪声 约束条件约束条件最佳信号波形最佳信号波形 最佳信号波形最佳信号波形 能量能量 不变条件下不变条件下,能量能量 不变条件下不变条件下,取取 可选任意波形。可选任意波形。中最小的中最小的 所对应的所对应的 特征函数为特征函数为 。原因分析原因分析 原因分析原因分析 ,一样一样。不一样。不一样。utNutrn 20 utrn 高斯白色噪声 高斯有色噪声sssEEE210 约束条件sssEEE210 tsts01 tyty01 ts1sE vvtrvytynTd011 sE 1y t20N
