1、1第一章第一章 概概 述述 第一节第一节 数学是什么数学是什么2一、数学的一、数学的“定义定义”恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学间形式的一门科学。随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义定义”。但是，但是，要给数学下个定义，并不那么容易。要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以至今难以有关于有关于“数
2、学数学”的、大家取得共识的的、大家取得共识的“定义定义”。31古今数学家的说法古今数学家的说法 （美）（美）R柯朗柯朗（数学是什么数学是什么）：“数学，作为数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。个性。”4（法）（法）E波莱尔：波莱尔：“数学是我们确切知道我们在说什数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”（英
3、）罗素：（英）罗素：“数学是所有形如数学是所有形如p蕴含蕴含q的命题的类的命题的类”，而最前面的命题而最前面的命题p是否对，却无法判断。是否对，却无法判断。因此因此“数数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。说的是否对的一门学科。”51）哲学说）哲学说2 2）符号说）符号说3 3）科学说）科学说4 4）工具说）工具说5 5）逻辑说）逻辑说6 6）创新说）创新说7 7）直觉说）直觉说 8 8）集合说）集合说 9 9）结构说（关系说）结构说（关系说）1010）模型说）模型说 1111）活动说）活动说 1212）精神说）精神说
4、1313）审美说）审美说 1414）艺术说）艺术说1515）万物皆数说）万物皆数说 2数学的数学的15个个“定义定义”6 15个个“定义定义”来自来自7 只只 讲解讲解“哲学说哲学说”，其他只作一句话的解释，并请查资料。，其他只作一句话的解释，并请查资料。哲学说哲学说亚里士多德：亚里士多德：“新的思想家把数学和新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。哲学看作是相同的。”来自古希腊，亚里士多德、欧几里得来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。等人。几何原本几何原本：点是没有部分的那种东西；：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度线是没有宽度的长度牛顿在牛顿在自然哲学之数学原理自然哲学之数学原理
5、的序言中说，他是把这本书的序言中说，他是把这本书“作为哲作为哲学的数学原理的著作学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。8 哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法也不同。究对象不同，研究方法也不同。两者虽有相似之处，两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，但数学不是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部哲学也不是数学的一部分。分。现在有人说现在有人说“哲学从一门学科中退出，哲学从一门学
6、科中退出，意味着这意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。学科的成熟。”9符号说：符号说：是说数学是一种高级语言，是符号是说数学是一种高级语言，是符号的世界。的世界。科学说：科学说：是说数学是精密的科学，是说数学是精密的科学，“数学是数学是科学的皇后科学的皇后”。工具说：工具说：是说是说“数学是其它所有知识工具的数学是其它所有知识工具的源泉源泉”。逻辑说：逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，是说数学推理依靠逻辑，“数学为数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。其证明所具有的逻辑性而骄傲。”10创新说：创新说：是说数学是一种创新，如发现
7、无理是说数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。数，提出微积分，创立非欧几何。直觉说：直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学是说数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。主要是由那些直觉能力强的人们推进的。集合说：集合说：是说数学各个分支的内容都可以用是说数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。集合论的语言表述。结构说（关系说）：结构说（关系说）：是强调数学语言、符是强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，号的结构方面及联系方面，“数学是一种关数学是一种关系学系学”。11模型说：模型说：是说数学就是研究各种形式的模型，是说数学就是研究各种形式的模型，如微
8、积分是物体运动的模型，概率论是偶然如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。模型，非欧几何是非欧空间的模型。活动说：活动说：是说是说“数学是人类最重要的活动之数学是人类最重要的活动之一一”。精神说：精神说：是说是说“数学不仅是一种技巧，更是数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。一种精神，特别是理性的精神。”12审美说：审美说：是说是说“数学家无论是选择题材还是数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。判断能否成功的标准，主要是美学的原则。”艺术说：艺术说：是
9、说是说“数学是一门艺术。数学是一门艺术。”万物皆数说：万物皆数说：是说数的规律是世界的根本是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。规律，一切都可以归结为整数与整数比。13 方延明：方延明：数学数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的结构的一门科学。的结构的一门科学。徐利治：徐利治：数学数学是是“实在世界的最一般的量与空间形式的科实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学量与空间形式的科学”。回到恩格斯的定义：回到恩格
10、斯的定义：数学数学是研究（现实世界中的）是研究（现实世界中的）数量关系与空间形式数量关系与空间形式的一门科学。的一门科学。14思思：请你在学习请你在学习“数学文化数学文化”课的过程课的过程中，始终带着下面的问题中，始终带着下面的问题在学完在学完“数学文化数学文化”课后，给出一个你自己对课后，给出一个你自己对“数学数学”的定义。的定义。15 二、数学的特点二、数学的特点 抽象性抽象性 精确性精确性 应用的广泛性应用的广泛性 16 1 1抽象性抽象性 第一，第一，数学的研究对象本身就是抽象的；数学的研究对象本身就是抽象的；第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形第二，在数学的抽象中只保留量的关系
11、和空间形式而舍弃了其他一切；式而舍弃了其他一切；第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系关系。17 2精确性精确性 数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。确定无疑性。汉克尔说：汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上
12、增添一所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。层新楼。”作为对照的三个例子：作为对照的三个例子：电子管电路电子管电路 半导体电路半导体电路 集成电路集成电路 地心说地心说日心说日心说开普勒三定律开普勒三定律 高温超导的上界（朱经武）高温超导的上界（朱经武）30K90K120K 240K18关于关于“晶体的结构有多少种晶体的结构有多少种”的讨论的讨论 曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同的结论。不相同的结论。数学家介入以后，运用数学家介入以后，运用“群群”的理论，得到了明确的理论，得到了明确的答案：晶体的结构只能有的答
13、案：晶体的结构只能有240种。种。而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经确定无疑。确定无疑。19 3应用的广泛性应用的广泛性 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。例子：哈雷彗星的发现；例子：哈雷彗星的发现；海王星的发现；海王星的发现；电磁波的发现。电磁波的发现。20 哈雷彗星的发现哈雷彗星的发现 古时人们认为彗星
14、的出现是不祥之兆，直到古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家哈雷世纪，英国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现开始计算彗星轨道时，发现1682年、年、1607年和年和1531年出现的彗星有相似年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在1758年底或年底或1759年初再次出现。年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星哈雷彗星”。哈雷彗星的回归
15、周期为哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在年，最近一次的回归是在1986年；下一次回年；下一次回归是在归是在2062年。年。21 海王星的发现海王星的发现 这个太阳系最远的行星（之一），是1846年在数学计算的基础上发现 的。天文学家分析了天王星运动的 不规律性，推断出这是由其他行星 的引力而产生的。勒未累计算出它 应处的位置，观察员在指定位置发现 了该行星。航海家航海家2号拍摄号拍摄,1989.8.22 电磁波的发现电磁波的发现 英国物理学家麦克斯韦概括了由实验英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为表述为“方程的形
16、式方程的形式”，用纯粹数学的，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。24年后，德国物理学家赫兹在振荡年后，德国物理学家赫兹在振荡放电实验中证实了电磁波的存在，不久，放电实验中证实了电磁波的存在，不久，意大利的马可尼和俄国人波波夫又在此意大利的马可尼和俄国人波波夫又在此基础上独立地发明了无线电报。从此，基础上独立地发明了无线电报。从此，电磁波走进了千家万
17、户。电磁波走进了千家万户。23 三、数学与其它领域的联系三、数学与其它领域的联系 1.数学与教育数学与教育 数学对于受教育者，不仅仅是学会一门课程、数学对于受教育者，不仅仅是学会一门课程、一门知识、更重要的是学习数学的思想、方法、一门知识、更重要的是学习数学的思想、方法、精神；把数学作为成才的基本素质要求。精神；把数学作为成才的基本素质要求。24 1 1）波利亚：）波利亚：“让我们教猜想吧！让我们教猜想吧！”波利亚还说：波利亚还说：“在数学家证明一个定理之前，必在数学家证明一个定理之前，必须猜想到这个定理；在他完成证明的细节之前，必须须猜想到这个定理；在他完成证明的细节之前，必须先猜想出证明的
18、主导思想。先猜想出证明的主导思想。”事实上，教育并不总是在让学生认知，教育在很事实上，教育并不总是在让学生认知，教育在很大程度上是让学生欣赏，只有这样，才有最佳的教育大程度上是让学生欣赏，只有这样，才有最佳的教育效益。效益。252）作为数学教授的大学校长：）作为数学教授的大学校长：丁石孙丁石孙北京大学北京大学苏步青苏步青复旦大学复旦大学谷超豪谷超豪中国科大中国科大潘承洞潘承洞山东大学山东大学齐民友齐民友武汉大学武汉大学伍卓群伍卓群吉林大学吉林大学侯自新侯自新南开大学南开大学李岳生李岳生中山大学中山大学曹策问曹策问郑州大学郑州大学杨思明杨思明湘潭大学湘潭大学展展 涛涛 山东大学山东大学黄达人黄达
19、人中山大学中山大学吴传喜吴传喜湖北大学湖北大学周明儒周明儒徐州师大徐州师大王梓坤王梓坤北师大北师大陆善镇陆善镇北师大北师大王建磐王建磐华东师大华东师大史宁中史宁中东北师大东北师大路路 钢钢华中师大华中师大邱玉辉邱玉辉西南师大西南师大王国俊王国俊陕西师大陕西师大庾建设庾建设广州大学广州大学房灵敏房灵敏西藏大学西藏大学26 大学校长是综合素质比较好的学者；大学校长是综合素质比较好的学者；众多大学校长都是数学教授，这也说明数众多大学校长都是数学教授，这也说明数学教育对人的综合素质的提高，影响很大。学教育对人的综合素质的提高，影响很大。有些人把它叫做有些人把它叫做 有趣的中国现象有趣的中国现象27 丁
20、石孙：北京大学校长丁石孙：北京大学校长 丁石孙：北京大学校长丁石孙：北京大学校长 （1984-19891984-1989年）年）全国人大常委会副委员长，民盟全国人大常委会副委员长，民盟中央名誉主席。汉族，中央名誉主席。汉族，19271927年年9 9月生，江苏镇江人，民盟成员、月生，江苏镇江人，民盟成员、中共党员，中共党员，19501950年参加工作，清年参加工作，清华大学数学系毕业，大学学历，华大学数学系毕业，大学学历，教授。专长教授。专长:代数、数论。代数、数论。28 苏步青，复旦大学校长苏步青，复旦大学校长 苏步青：复旦大学校长（1978-1983年）1902年生于浙江，2003年卒于上
21、海。中国科学院院士。他是国际公认的几何学权威，我国微分几何学派的创始人。早在20年代，他的仿射不变的四次（三阶）的代数锥面，被命名为苏锥面。他的仿射微分几何的高水平工作，至今在国际数学界仍享有很高的评价。29 谷超豪，中国科技大学校长谷超豪，中国科技大学校长 谷超豪：中国科技大学校长 简历：1926年生于浙江温州。1948年毕业于浙江大学数学系，1953年起在复旦大学任教，1957年赴前苏联莫斯科大学进修，获科学博士学位。历任复旦大学副校长和中国科技大学校长。1980年当选为中国科学院数学物理学部委员。专长偏微分方程、微分几何和数学物理。30 潘承洞，山东大学校长潘承洞，山东大学校长 潘承洞：
22、山东大学校长（1986年-1997）1934出生，江苏省苏州市人。1997年12月27日在济南病逝。中国科学院院士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著的哥德巴赫猜想一书，为世界上第一本全面系统地论述哥德巴赫猜想研究工作的专著；1982年与王元、陈景润共同以哥德巴赫猜想的研究成果获国家自然科学一等奖。31 齐民友，武汉大学校长齐民友，武汉大学校长 齐民友：武汉大学校长（齐民友：武汉大学校长（1988-19921988-1992年）年）19301930年出生，年出生，19521952年毕业于武汉大学数学系，并从事偏微分方程年毕业于武汉大学数学系，并从事偏微分方程 理论的研究。武汉大学博士导师理论的研
23、究。武汉大学博士导师。32 李岳生，中山大学校长李岳生，中山大学校长 李岳生：中山大学校长 （1984-1991年）1930年1月生，中山大学教授，博士生导师。曾任中山大学校长、计算机科学系主任、数学研究所所长；国务院学位委员会第二、三届学科评议组成员，从事常微分方程、计算数学、微分方程数值解法、样条函数与变分方法等方面的研究。33 曹策问，郑州大学校长曹策问，郑州大学校长 曹策问：郑州大学校长 简历：1940年2月出生，湖南长沙人。1957年9月进入北京大学数学力学系数学专业学习；1963年9月在北京大学数学力学系读研究生；1979年3月任郑州大学数学系教师，1986年任教授；1987年2月
24、任郑州大学副校长；1994年起任校长；2003年1月任政协河南省第九届委员会副主席。专长：可积动力系统。34 展涛，吉林大学校长展涛，吉林大学校长 展涛，男，回族，展涛，男，回族，1963年年4月出月出生，山东兖州人，中共党员，理学生，山东兖州人，中共党员，理学博士，教授，博士生导师。博士，教授，博士生导师。1979年年9月入山东大学数学系学习，先后获月入山东大学数学系学习，先后获得学士、硕士、博士学位；得学士、硕士、博士学位；1987年年留校任教，先后被评聘为讲师、副留校任教，先后被评聘为讲师、副教授、教授；教授、教授；1991年年1月至月至1992年年12月获德国洪堡基金会奖励基金，月获德
25、国洪堡基金会奖励基金，赴德国弗莱堡大学从事合作研究；赴德国弗莱堡大学从事合作研究；1993年年4月任山东大学数学系副主任；月任山东大学数学系副主任；1995年年3月任山东大学副校长；月任山东大学副校长；1996年年12月任山东大学党委月任山东大学党委常委、副校长；常委、副校长；2000年年7月任月任山东大学党委常委、校长。山东大学党委常委、校长。35 黄达人，中山大学校长黄达人，中山大学校长 黄达人，男，黄达人，男，1945年年4月生，月生，浙江象山人。浙江象山人。1962年至年至1968年年就读于浙江大学数学系。就读于浙江大学数学系。1978年年至至1981年在浙江大学数学系读研年在浙江大学
26、数学系读研究生，毕业后留校任教。究生，毕业后留校任教。1985年年至至1986年作为访问学者在美国南年作为访问学者在美国南卡罗来纳大学数学系进修访问一卡罗来纳大学数学系进修访问一年。年。1988年任浙江大学数学系教年任浙江大学数学系教授。曾任浙江大学数学系副主任、授。曾任浙江大学数学系副主任、范岁久医学图像实验室主任、教范岁久医学图像实验室主任、教务处长、副教务长等职。务处长、副教务长等职。1992年年至至1998年任浙江大学副校长。年任浙江大学副校长。1998年年11月调任中山大学常务副月调任中山大学常务副校长。校长。1999年年8月至今任中山大月至今任中山大学校长。学校长。学术研究领域为函
27、数逼近论、学术研究领域为函数逼近论、小波分析、信号和图像处理。小波分析、信号和图像处理。36 吴传喜，湖北大学吴传喜，湖北大学 吴传喜吴传喜1961年年7月出月出生。教授，博导。北京生。教授，博导。北京大学数学系毕业，获理大学数学系毕业，获理学博士学位。学博士学位。2000年年1月月担任湖北大学校长。研担任湖北大学校长。研究方向：现代微分几何究方向：现代微分几何37 周明儒，徐州师范大学周明儒，徐州师范大学38 王梓坤，北京师范大学校长王梓坤，北京师范大学校长 王梓坤：北京师范大学校长王梓坤：北京师范大学校长 （1984-1989年）年）19291929年年4 4月生月生,江西吉安县人。江西吉
28、安县人。19521952年毕业于武汉大学数学系。年毕业于武汉大学数学系。19551955年考年考入苏联莫斯科大学数学力学系做研究入苏联莫斯科大学数学力学系做研究生，师从于数学大师生，师从于数学大师 A.N.A.N.KolmogorovKolmogorov和和 R.L.Dobrushin,R.L.Dobrushin,19521952年起先后任南开大学讲师、教授。年起先后任南开大学讲师、教授。19841984年以来任北京师范大学教授。年以来任北京师范大学教授。19841984年至年至19891989年任北京师范大学校长。年任北京师范大学校长。19911991年当选为中国科学院院士。王梓年当选为中国
29、科学院院士。王梓坤是我国概率论研究的先驱和主要领坤是我国概率论研究的先驱和主要领导者之一。导者之一。39 王建磐，华东师范大学校长王建磐，华东师范大学校长 王建磐：华东师范大学校长王建磐：华东师范大学校长 简历：简历：19491949年年1 1月月2 2日生于福建古田县。数学教授、日生于福建古田县。数学教授、博士生导师。博士生导师。19671967年高中毕业后曾插队农村，年高中毕业后曾插队农村，当过中学民办教师和县剧团编剧。当过中学民办教师和县剧团编剧。19781978年靠年靠自学考取华东师范大学数学系研究生，自学考取华东师范大学数学系研究生，19811981年获理学硕士学位并留校工作，年获理
30、学硕士学位并留校工作，19821982年考取年考取本校在职博士研究生并于当年获得理学博士本校在职博士研究生并于当年获得理学博士学位，是我国首批学位，是我国首批1818位自己培养的博士之一。位自己培养的博士之一。19911991年聘为教授。年聘为教授。19971997年起任华东师范大学年起任华东师范大学校长。主要研究领域为代数群与量子群，在校长。主要研究领域为代数群与量子群，在代数群的模表示和量子群的表示理论上均有代数群的模表示和量子群的表示理论上均有重要建树。重要建树。40 史宁中，东北师范大学校长史宁中，东北师范大学校长 史宁中：东北师范大学校长史宁中：东北师范大学校长 （19981998年
31、年-）19751975年毕业于东北师范大学数学系。年毕业于东北师范大学数学系。19821982年至年至19891989年赴日本九州大学理学年赴日本九州大学理学部学习，先后获得硕士、博士学位，部学习，先后获得硕士、博士学位，是我国改革开放后首批公费留学的博是我国改革开放后首批公费留学的博士生。士生。19891989年回国后，任教于东北师年回国后，任教于东北师范大学数学系。范大学数学系。19921992年起任教授。年起任教授。19931993年被评为博士生导师。年被评为博士生导师。19971997年当年当选国务院学位委员会学科评议组成员。选国务院学位委员会学科评议组成员。主要从事数理统计研究，研究
32、方向涉主要从事数理统计研究，研究方向涉及多元分析、伞型半序约束、及多元分析、伞型半序约束、列联表、列联表、凸分析等凸分析等 。41 路路 钢，华中师范大学钢，华中师范大学42 侯自新，南开大学校长侯自新，南开大学校长（1995年年-2006年）年）侯自新教授曾任南开大学数学系侯自新教授曾任南开大学数学系主任、校长助理、副校长、研究生主任、校长助理、副校长、研究生院院长、中国数学学会副理事长、院院长、中国数学学会副理事长、天津市学位委员会副主任，九届全天津市学位委员会副主任，九届全国人民代表大会代表，天津市十四国人民代表大会代表，天津市十四届人民代表大会常务委员会委员。届人民代表大会常务委员会委
33、员。现任十届全国人民代表大会代表、现任十届全国人民代表大会代表、中国高等院校数学研究与高等人才中国高等院校数学研究与高等人才培养中心主任、中国老教授协会副培养中心主任、中国老教授协会副会长、天津市教育发展基金会副理会长、天津市教育发展基金会副理事长。事长。侯自新教授多年从事李群、李侯自新教授多年从事李群、李代数及齐性空间微分几何等方面的代数及齐性空间微分几何等方面的研究与教学工作。研究与教学工作。43 2.数学与文学数学与文学 1）用数学方法对作品和语言进行写作风格分析、）用数学方法对作品和语言进行写作风格分析、词汇相关程度和句型频谱分析词汇相关程度和句型频谱分析 例：例：红楼梦红楼梦前前80
34、回与后回与后40回的作者是否相同？回的作者是否相同？19801980年年6 6月，在美国威斯康辛大学召开的国际首届月，在美国威斯康辛大学召开的国际首届红楼梦红楼梦研讨会上，来自威斯康研讨会上，来自威斯康辛大学的华裔学者陈炳藻先生宣读了一篇辛大学的华裔学者陈炳藻先生宣读了一篇从词汇上的统计论从词汇上的统计论红楼梦红楼梦的作者问题的作者问题的的博士论文，引起了国际红学界的关注和兴趣。博士论文，引起了国际红学界的关注和兴趣。19861986年，陈炳藻教授公开发表了年，陈炳藻教授公开发表了电脑在文电脑在文学上的应用：学上的应用：红楼梦红楼梦与与儿女英雄传儿女英雄传两书作者两书作者的专著。利用计算机对的
35、专著。利用计算机对红楼梦红楼梦前八十回和后四十回的用字进行了测定，并从数理统计的观点出发，探讨前八十回和后四十回的用字进行了测定，并从数理统计的观点出发，探讨红楼梦红楼梦前后前后用字的相关程度。他将用字的相关程度。他将红楼梦红楼梦的一百二十回分为三组，每组四十回。并将的一百二十回分为三组，每组四十回。并将儿女英雄儿女英雄传传作为第四组进行比较，从每组中任意取出八万字，分别挑出名词，动词，形容词，副作为第四组进行比较，从每组中任意取出八万字，分别挑出名词，动词，形容词，副词，虚词这五种词汇，运用数理语言学，通过计算机程序对这些词进行编排，统计，比较词，虚词这五种词汇，运用数理语言学，通过计算机程
36、序对这些词进行编排，统计，比较和处理，进而找出各组相关程度。结果发现和处理，进而找出各组相关程度。结果发现红楼梦红楼梦前八十回与后四十回的词汇相关程前八十回与后四十回的词汇相关程度达到度达到78.57%78.57%，而，而红楼梦红楼梦与与儿女英雄传儿女英雄传的词汇相关程度是的词汇相关程度是32.14%32.14%。由此他推断出。由此他推断出红楼梦红楼梦的作者为同一个人所写的结论。这个结论是否被红学界所结受，还存在一定的的作者为同一个人所写的结论。这个结论是否被红学界所结受，还存在一定的争论。但是这种方法却给很多人留下了深刻的印象。争论。但是这种方法却给很多人留下了深刻的印象。静静的顿河静静的顿
37、河的作者是肖洛霍夫。的作者是肖洛霍夫。44 2）语言学好比一个公理化系统）语言学好比一个公理化系统 （语法好比法则和定理）（语法好比法则和定理）3）语音学（关于语调）的研究）语音学（关于语调）的研究 计算机模拟人的语调，并绘出直观的三维图像，计算机模拟人的语调，并绘出直观的三维图像，是南开大学中文系与计算机系合作的一个成果，曾是南开大学中文系与计算机系合作的一个成果，曾 获得国家级教学成果二等奖。获得国家级教学成果二等奖。其中大量用到数学。其中大量用到数学。45 3.数学与史学数学与史学 1）史衡学）史衡学 数学的介入，使史学的研究成果更加客观、严谨，数学的介入，使史学的研究成果更加客观、严谨
38、，较多地排除了人为因素。较多地排除了人为因素。2）考古对数学史研究的推进）考古对数学史研究的推进 1986年上海陆家咀发现元朝玉挂，谈祥柏教授研年上海陆家咀发现元朝玉挂，谈祥柏教授研究后发现，它是一个四阶完全幻方。过去以为只有究后发现，它是一个四阶完全幻方。过去以为只有印度历史上才有这种印度历史上才有这种“完全幻方完全幻方”。46 4.数学与哲学数学与哲学 1）数学中）数学中“无限无限”的概念、的概念、“连续连续”的概念，一经出现，的概念，一经出现，便成了哲学研究的对象。便成了哲学研究的对象。2）“哲学从一门学科中退出，哲学从一门学科中退出，意味着这门学科的建立；意味着这门学科的建立；而数学进
39、入一门学科，就意味着这门学科的成熟。而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。”B.Demollins:“没有数学，我们无法看透哲学的深度，没没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透。就什么也看不透。”3）哲学系的）哲学系的“逻辑学逻辑学”专业与数学系的专业与数学系的“数理逻辑数理逻辑”专业。专业。47 5.数学与经济数学与经济 1）普遍运用数学，建立经济模型）普遍运用数学，建立经济模型 2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一）获诺贝尔经济学奖的学者中，数
40、学家出身的和有数学背景的人占一半以上。半以上。6.数学与社会学数学与社会学 1）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研究模式）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研究模式 2）“社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。阶段。”48 7.数学与工程技术数学与工程技术 1）“1991年的海湾战争就是信息战争、数学战争年的海湾战争就是信息战争、数学战争”2）数学与工程技术的相互渗透，非常广泛、深刻。）数学与工程技术的相互渗透，非常广泛、深刻。2000年年 是联合国宣布的是联合国宣布的“世界数学年世界数学年”
41、，联联合国教科文组织指出：合国教科文组织指出：“纯粹数学与应用数学纯粹数学与应用数学是是理解世界及其发展的一把主要钥匙。理解世界及其发展的一把主要钥匙。”49趣味题一：抓堆和抓三堆趣味题一：抓堆和抓三堆1.1.抓堆抓堆：有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如100100粒），粒），甲、乙轮流抓，每次可抓甲、乙轮流抓，每次可抓1 15 5粒，甲先抓，规粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？为什么？50从简单的问题入手从简单的问题入手 有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如10粒），甲、乙轮粒），甲、乙轮流抓，每次可抓流抓，每次可抓15粒，甲先抓
42、，规定谁粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？为什么？51数学思想：问题一般化；问题一般化；问题特殊化；问题特殊化；归纳总结，找出规律；归纳总结，找出规律；证明规律，得到结论。证明规律，得到结论。52问题一般化问题一般化 抓堆抓堆：有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如 n 粒），甲、粒），甲、乙轮流抓，每次可抓乙轮流抓，每次可抓15粒，甲先抓，规定谁抓粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？问题特殊化问题特殊化n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，5
43、3“抓堆抓堆”游戏的结论游戏的结论把把“6的倍数的倍数”留给对方，自己可以取胜。留给对方，自己可以取胜。（“反面说法反面说法”）在在 n=100 时，甲抓时，甲抓 4 粒可以取胜。粒可以取胜。542.抓三堆抓三堆：有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆堆 中抓，最少抓中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？为什么？55从简单的情形入手从简单的情形入手 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如4
44、粒、粒、5粒、粒、6粒），甲、粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，粒，可抓任意多粒。可抓任意多粒。甲先抓，规定甲先抓，规定“谁抓到最后一把谁赢谁抓到最后一把谁赢”。问：甲应该如何抓？为什么？问：甲应该如何抓？为什么？56游戏实录游戏实录4，5，6，57数学文化：问题一般化；问题一般化；问题特殊化；问题特殊化；归纳抽象，找出规律；归纳抽象，找出规律；证明规律，得到结论。证明规律，得到结论。58 抓三堆：抓三堆：有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少粒），甲、乙轮流抓，每次只
45、能从一堆中抓，最少抓抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？解解：问题一般化问题一般化 记号：将三堆谷粒的状况记为（记号：将三堆谷粒的状况记为（a,b,ca,b,c）,例如（例如（100,200,300100,200,300）。）。这样，谁抓为（这样，谁抓为（0,0,00,0,0），谁赢。），谁赢。59 分析：分析：问题特殊化问题特殊化 1 1）只有一堆时）只有一堆时，即状况为（，即状况为（a,0,0a,0,0）,此时先此时先抓者必胜。抓者必胜。60 2 2）只有两堆时）只有两堆
46、时，即状况为（，即状况为（a,b,0a,b,0）（1 1）若）若b=a,b=a,即状况为（即状况为（a,a,0a,a,0）,此时后抓者必胜。因为此时后抓者必胜。因为 对方先抓后，结果或剩一堆，成为（对方先抓后，结果或剩一堆，成为（a,0,0a,0,0）的状况，）的状况，一把可抓完；或剩两堆，你抓后，又成为新的（一把可抓完；或剩两堆，你抓后，又成为新的（d,d,0d,d,0）的状况，且的状况，且d a,d a,b a,即状况为（即状况为（a,b,0a,b,0）,此时先抓此时先抓 者必胜。因为先抓者可以把第二堆抓掉者必胜。因为先抓者可以把第二堆抓掉b ab a个，使状况个，使状况 转化为（转化为（
47、a,a,0a,a,0）,成为新的成为新的“状况（状况（1 1）”。613 3）三堆都有，且其中两堆相等三堆都有，且其中两堆相等，即状况为，即状况为（a,a,ca,a,c）,此时先抓者必胜。因为先抓者可以把此时先抓者必胜。因为先抓者可以把第三堆全抓完，使状况转化为（第三堆全抓完，使状况转化为（a,a,0a,a,0）,成为新成为新的的“状况状况 2)2)（1 1）”。4 4）三堆都有，且其中任意两堆都不相等三堆都有，且其中任意两堆都不相等，即状况为（即状况为（a,b,ca,b,c）,且不妨设且不妨设a b c,a b c,此时此时 情况比较复杂。情况比较复杂。62 为了下面表述得清楚，我们把前面的
48、一为了下面表述得清楚，我们把前面的一个结论用个结论用“反面说法反面说法”，总结为，总结为 “把两堆相等的状况留给对方，自己可以把两堆相等的状况留给对方，自己可以取胜。取胜。”然后再讨论然后再讨论 a a、b b、c c 的不同情况。以其中的不同情况。以其中最小的最小的a a为为“主要线索主要线索”分情况讨论。分情况讨论。63 （1 1）a a 1 1 时，即状况为（时，即状况为（1,b,c1,b,c）。）。下面再下面再 对对 b b 分情况讨论。分情况讨论。（2 2）a a 2 2 时，即状况为（时，即状况为（2,b,c2,b,c）。）。下面再下面再 对对 b b 分情况讨论。分情况讨论。（3 3）a a 3 3 时，即状况为（时，即状况为（3,b,c3,b,c）。）。下面再下面再 对对 b b 分情况讨论。分情况讨论。（4 4）a a 4 4 时，即状况为（时，即状况为（4,b,c4,b,c）。）。下面再下面再 对对 b b 分情况讨论。分情况讨论。等等，等等。等等，等等。64往下的讨论，留作往下的讨论，留作“课下思考题课下思考题”65注意其中的数学文化：问题一般化；问题一般化；问题特殊化；问题特殊化；归纳抽象，找出规律；归纳抽象，找出规律；证明规律，得到结论。证明规律，得到结论。66本节结束谢谢谢谢
