1、线线 性性 代代 数数Linear Algebra2023-1-5一、研究对象一、研究对象 线性代数是线性代数是代数学代数学的一个分支，主要处理的一个分支，主要处理线性关系线性关系问题，即问题，即线性空间、线性变换和有限线性空间、线性变换和有限维的线性方程组。维的线性方程组。线性关系意即数学对象之间线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程
2、所组视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。性方程组的问题是最简单的线性问题。基础介绍基础介绍二、历史与发展二、历史与发展 线性代数作为一个独立的分支在线性代数作为一个独立的分支在20世纪才世纪才形成，而它的历史却非常久远。形成，而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题就是一个简单的线性方程组求解的问题。问题就是一个简
3、单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代东汉年初成书的数学著作国古代东汉年初成书的数学著作九章算术九章算术方程方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。由于法国数学家由于法国数学家费马（费马（1601-1665）和和笛笛卡儿（卡儿（1596-1650）的工作，现代意义的线性的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，
4、代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到纪上半叶才完成了到n维维线性空间线性空间的过渡。的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，在题的深入，在1819世纪期间先后产生行列式世纪期间先后产生行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了有力的和矩阵的概念，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。工具，从而推动了线性代数的发展。英国数学家英国数学家-西勒维斯特西勒维斯特(1814-1897)(1814-1897)首次提出矩阵的概念首次提出
5、矩阵的概念(矩型阵式矩型阵式)英国数学家英国数学家-凯莱凯莱(1821-1895)(1821-1895)矩阵论的创立矩阵论的创立 德国数学家德国数学家-高斯高斯（1777-18551777-1855）提出行列式的某些思想和方法提出行列式的某些思想和方法 18411841年，法国数学家年，法国数学家-柯西柯西 首先创立了现代的行列式概念和符号。首先创立了现代的行列式概念和符号。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此论。因此，向量空间及其线性
6、变换，以及与此相联的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。相联的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。在十九世纪下半叶，因若当的工作而达在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。到了它的顶点。1888年，意大利数学家年，意大利数学家皮亚皮亚诺（诺（1858-1932）以公理的方式定义了有限以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。维或无限维线性空间。托普利茨托普利茨将线性代数将线性代数的主要定理推广到任意体（的主要定理推广到任意体（domain）上的最上的最一般的向量空间中。一般的向量空间中。“代数代数”这个词在中文中出现较晚，在清代这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成
7、时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴阿尔热巴拉拉”，直到，直到1859年，清代著名的数学家、翻译年，清代著名的数学家、翻译家李善兰（家李善兰（1811-1882）才将它翻译成为）才将它翻译成为“代代数学数学”，之后一直沿用。，之后一直沿用。学术地位及应用学术地位及应用 线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代辅助设计、密码学、虚拟现
8、实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。智能是非常有用的。随着科学的发展，我们不仅要研究单个随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下之间的关系
9、，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。决这些问题的有力工具。线性代数的含义随数学的发展而不断扩线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。所不可缺少的代数基础知识。“以直代曲以直代曲”是人们处理很多数学问题是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，
10、时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，通常把非线性模型近似为线性模型，最后往通常把非线性模型近似为线性模型，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术、科学研究以及经济、线性代数在工程技术、科学研究以及经济、管理等许多领域都有着广泛的应用，是一门管理等许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。是计算数学里一个很重要的内容。线性（线性（linear）指量与量之间按比例、成直指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数
11、线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。的函数。非线性非线性（non-linear）则指不按比例、不成则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。直线的关系，一阶导数不为常数。什么是线性关系？什么是线性关系？线性代数线性代数研究对象：研究对象：线性空间、线性变换和线性空间、线性变换和有限维的线性方程组有限维的线性方程组。研究工具：研究工具：行列式、矩阵与向量。行列式、矩阵与向量。线性代数线性代数（第六版）（第六版）第一章第一章 行列式行列式 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 第四章第四章 向量组的线性相关性
12、向量组的线性相关性 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 第六章第六章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换(选学选学)在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性
13、方程组时，我们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具.行列式是线性代行列式是线性代数的一种工具！数的一种工具！学习行列式主要学习行列式主要就是要能计算行列就是要能计算行列式的值式的值.第一章第一章 行列式（行列式（Determinant）n内容提要内容提要1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2 2 全排列与对换全排列与对换3 3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义4 4 行列式的性质行列式的性质5 5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式的概念行列式的概念.行列式的行列式的性质及计算性质及计算.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式(Determinent of order
14、two or three)我们从最简单的二元线性方程组出发，探我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aa
15、aaabbax 1.二阶行列式的定义二阶行列式的定义求解公式为求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.11112212112222a xa xba xa xb 二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符
16、号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”.1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa记号记号 11122122aaaa数表数表 定义定义1 1 表达式表达式 称为由该数表所确定的称为由该数表所确定的二阶二阶行列式行列式(determinant oforder twodeterminant oforder two)，即，即11221221a aa a 其中，其中，称为称为元素（元素（element）.(1,2;1,2)ijaiji 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行；j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列
17、列.原则：横行竖列原则：横行竖列2.二阶行列式的计算二阶行列式的计算 11122122aaaa11221221a aa a主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积 对角线法则对角线法则 ，212221222121baababab 211211221111 abbababa 根据定义根据定义 x1,1,x2 2 的分子也可以写成行列式形式如下：的分子也可以写成行列式形式如下：二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222
18、bbaDa 1221121baDab(方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 1212232121xxxx解解 因为因为 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 二、三阶行列式二、三阶行列式1.定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则
19、：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式.111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！2.三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则/三角形法则三角形法则 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a
20、 a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号.三角形法三角形法333231232221131211aaaaaaaaa 333231232221131211 aaaaaaaaa333231232221131211 aaaaaaaaa132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a
21、 a a 12-4-221-34-2D 例例2 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D84243264.14 )2(21)3(1242)4(）（)3(2)4(411)2()2(2 解：解：例例3 计算三阶行列式计算三阶行列式.bacacbcbaDacbDbaccba3c3a3b3333cbaabc方程左端方程左端解解由由 得得2111230.49xx 例例4 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD,652 xx2560 xx3.2 xx或或例例5 求解方程组求解方程组 .02,15,15321321321xxxxxxxxx解：解：令令 2 1 1 1 5 1
22、 5 1 1 D06,182 1 0 1 5 1 5 1 1 1D,62 0 1 1 1 1 5 1 1 2D,60 1 1 1 5 1 1 1 1 3D,361811DDx,16622DDx,16633DDx 课堂练习课堂练习计算下列行列式计算下列行列式;3152 A.21542601 3 B 小结小结1112112212212122aaDa aa aaa 一、一、二阶、三阶行列式的概念二阶、三阶行列式的概念 二、二、二阶、三阶行列式的计算方法二阶、三阶行列式的计算方法1.二阶行列式二阶行列式对角线法则对角线法则/三角形法则三角形法则 2.三阶行列式三阶行列式 对角线法则对角线法则/三角形法
23、则三角形法则 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号.三角形法三角形法333231232221131211aaaaaaaaa 133221312312332211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa33
24、3231232221131211 aaaaaaaaa333231232221131211 aaaaaaaaa 作业nP21：1 (1)(4)、2 (2)(6)2 全排列与对换全排列与对换(Permutation and Transposition)引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法.共有共有6123 所求六个三位数为所求六个三位数为123，132，213，231，312，321问题问题 把把
25、 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义1 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个个元素的元素的全排列全排列(all permutation)(all permutation).n 个不同元素的个不同元素的所有排列的种数，通常用所有排列的种数，通常用 Pn 表示表示.(1)(2)3 2 1!nPnnnn 显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n!种不同的排法种不同的排法.所有所有6种不同的排法中，只有一种排法种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然）中的数
26、字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“顺序顺序”，而是而是“逆序逆序”.3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3!=6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义2 一个排列一个排列中某两个元素的先后次序与标中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就准次序不同时，
27、就称这两个元素组成一个称这两个元素组成一个逆序逆序（inverse sequence）.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.定义定义 3 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序逆序数数.(inverse number)排列排列 的逆序数通常记为的逆序数通常记为 .1 2ni ii1 2()nt i ii奇排列：奇排列：逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列.偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列.思
28、考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为12ntttt 设设 是是 1,2,n 这这n 个自然数的任一排个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少
29、个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt 例例1 求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：(32514)010315t 例例2 2 求下列排列求下列排列 的逆序数的逆序数,并说明奇偶性并说明奇偶性.解：解：2)1)453162 2)22)(2)(12(135nnn)22(42nt)1(nn解：解：403200t9奇排列奇排列偶排列偶排列练习：练习：讨论讨论1，2,3所有全排列的奇偶性所有全排列的奇偶性.解：解：t(132)=t(132)=1 1，123，132，213，231，312，321t(123)=
30、t(123)=0 0，t(213)=t(213)=1 1，t(231)=t(231)=2 2，t(312)=t(312)=2 2，t(321)=t(321)=3 3，故故 123，231，312 为偶排列，为偶排列，132，213，321 为奇排列为奇排列.定义定义3 3 在排列中，将任意两个元素对调，其在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换111lmnaabbcb ca将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb
31、二、二、对换对换2、对换与排列奇偶性的关系、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数，偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数.例如例如 312 为偶排列，为偶排列，321 为奇排列为奇排列.213 为奇排列为奇排列.定理定理2 2 n 个元素的所有全排列中奇排列与个元素的所有全排列中奇排列与偶排列数各占一半偶排列数各占一半,即各有即各有 个个.2！n 证：证：设设n 个元素的所有全排列中个元素的所有全排列中共有共有t t个奇排个奇排列和列和s s个偶
32、排列个偶排列.奇排列经一次对换都变成偶排列，奇排列经一次对换都变成偶排列，例如例如 1,2,31,2,3的所有排列中恰有的所有排列中恰有3 3个偶排列个偶排列和和3 3个奇排列个奇排列.于是于是t t s.s.同理得同理得 s s t t，故，故 s s=t.t.又因为又因为s+t=s+t=n!，所以，所以s s=t=.t=.2！n3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a规律：规律：
33、1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1、2、3的某个排列的某个排列.4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号.123123pppaaa123p p p123p p p123p p p所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 123123123()123(1)t p p ppppp p paaa 其中其中 表
34、示对表示对1、2、3的所有排列求和的所有排列求和.123p p p 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a 二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义简记作简记作 ，其中，其中t t=t t(p1 1p2 2.pn n),),为行列式为行列式D 的的(i,j)元元.det()ijaija 定义定义1 设有设有 个数排成个数排成 n 行行 n 列的数
35、表列的数表2nnnnnnnaaaaaaaaa212222111211 和式和式nnpppaaa2121t）（1-nppp21 称为由上数表所确定的称为由上数表所确定的n阶行列式阶行列式，1.n 阶行列式共有阶行列式共有 n!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积3.3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1,2,n 的某个排列的某个排列.4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的项取时，对应的项取正号正号；当当 是是奇排列奇排列时，对应的项取时，对应的项取负号负号.1212nppnpaaa12np
36、 pp12np pp12np pp1212121112121222()1212(1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 思考题：思考题：成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 .11 1 11 11 注意：注意：当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式|a|=a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式例如：一阶行列式 .11 例例1 1：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项.2311aa解
37、：解：一般项为一般项为11233244a a a a 11233442.a a a a和和，432143214321)()1(pppppppptaaaa已知已知 3,121pp4,243pp2,443pp，根据行列式的定义，根据行列式的定义 或或 ，于是，于是 1)1()1()1324(4321)(tppppt或或 ,1)1()1342(t故所求项为故所求项为 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例例2 2：计算行列式计算行列式142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432
38、323341424344000000aaaDaaaaaaa 1111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 11223344a a a a 设可能时，中元素的下标.03ijajiD，则下标非零元素为iippiai.4,3,2,1i.4,3,2,1 4321pppp即所以，又因 4 ip .4 4 44pp，于是，继而得23 23pp.11p.,44332211aaaa即可能的非零元素只有.1-4433221144332211)1234(3aaaaaaaaDt）（故，解：解：11223344a a a a 112122432323341424344000000aa
39、aDaaaaaaa 同理有112213344000000000000aaDaa 11223344a a a a 44332211)1234()1(aaaat142323241000000000000aaDaa(4321)0123t 3 46.2 其中其中 41322314)4321()1(aaaat41322314aaaa12,11nnnaaDa 1122nnaaDa(1)(1)对角行列式对角行列式 nnaaa2211(2)(2)(1)212,11(1)n nnnna aa 11,21)21)1()1(nnnnntaaa三、特殊行列式三、特殊行列式 nnnnaaaaaaD21222111000
40、 nnnnaaaaaaD00022211211(3)(3)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）nnaaa2211(4)(4)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）nnaaa2211 000112111 2111nnnnaaaaaa练习：练习：?nnnnnnnnaaaaaa 112121000?(1)212,11(1)n nnnna aa (1)212,11(1)n nnnna aa 例例3已知已知 ，求，求 的系数的系数.1211123111211xxxxxf 3x故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项
41、有两项，即的项有两项，即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 124311223443(1)ta a a a (1234)11223344(1)ta a a a(1234)311223344(1),ta a a ax 1243311223443(1)2ta a a ax 3x4 对换对换111lmnaabbcb ca一、对换的定义一、对换的定义定义定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如
42、11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.11lmbaaabbrrtttrt 推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数，偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数.备注备注1.1.相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形.2.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.3.3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对
43、换，那么排列就还原了.m 次相邻对换次相邻对换 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cbm+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 111 lmnaabbcacb111 lmnaabbcb cam+1次相邻对换次相邻对换 二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.证明证明先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 11 lma baabb11 lmb
44、aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.,a b11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 当当 时，时，.ab 当当 时，时，.ab 因此相邻对换改变排列的奇偶性因此相邻对换改变排列的奇偶性.1aartbbrt aart 1bbrt1rt 1rt 既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变因此，一个
45、排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.111lmnaabbcb ca111 lmnaabbca cb推论推论 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数，偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数.由定理由定理1 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列数，而标准排列是偶排列(逆序数为零逆序数为零)，因此可知推论，因此可知推论成立成立.证明证明 1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 因为数的乘法是可以交换的，因为数的乘法是可以交换
46、的，所以所以 n 个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同同时改变奇偶性，时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变不变.1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii于是于是 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数.即即 是偶数是偶数.因为对换改变排列的奇偶性，因为对换改变排列的奇偶性，是奇数，是奇数，也是奇数也是奇数.设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列
47、的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 .st s t所以所以 是偶数，是偶数，ss tt ()()sstt()()stst()st()st 因此，交换因此，交换 中任意两个元素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变.1 12 2,n ni ji ji jaaa设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为1 21 21212()()(12)()()(1)(1)(1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 经过一次对
48、换是如此，经过多次对换还是如此经过一次对换是如此，经过多次对换还是如此.所以，在一系列对换之后所以，在一系列对换之后1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 三项的符号也是相同的，即三项的符号也是相同的，即定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 121212()12(1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 1 21 21 12 21 21 2()()(1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 四、行列式的等价定义四、行列式的等
49、价定义 12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四个结论：四个结论：(1)(1)对角行列式对角行列式 nnaaa2211(2)(2)(1)212,11(1)n nnnna aa 11,21)21)1()1(nnnnntaaannnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211(3)(3)上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）nnaaa2211(4)(4)下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）nnaaa2211 000112111 2111nnnnaaaaaa练习
50、：练习：?nnnnnnnnaaaaaa 112121000?(1)212,11(1)n nnnna aa (1)212,11(1)n nnnna aa 例例3已知已知 ，求，求 的系数的系数.1211123111211xxxxxf 3x故故 的系数为的系数为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 124311223443(1)ta a a a (1234)11223344(1)ta a a a(1234)311223344(1),ta a a ax 1243311223443(1)2ta a a ax 3x1 12122121122
