1、“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐朝诗人李颀古从军行里的一句诗。桃源县文昌中学桃源县文昌中学 万美珍万美珍“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”选自唐朝诗人李颀古从军行将军饮马问题将军饮马问题如图：如图：将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中马，途中马 要到小溪边饮水一次要到小溪边饮水一次.问问将军将军怎样走路程最短？怎样走路程最短？问题情境问题情境A AB BAB抽象：抽象：P问题问题:如图如图,另一位将军也骑马从城堡另一位将军也骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马，途中马 也要到小溪边饮水一次也要到小溪边饮水一
2、次.问这位将军怎样走路程最短？问这位将军怎样走路程最短？使得使得PA+PBPA+PB最小最小？MN问题探究问题探究如图，在直线如图，在直线MNMN上找一点上找一点P,P,m垂线段最短思考思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题求线段的距离最短或者线段和最小的问题？请举例说明请举例说明.如图所示，直线如图所示，直线MNMN表示一条铁路，铁路两旁各有一表示一条铁路，铁路两旁各有一点点A A和和B B，表示两个工厂要在铁路上建一货站，使，表示两个工厂要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个
3、货站应建在何处？它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？PP?方法方法:在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常 转化为转化为“两点之间线段最短两点之间线段最短”思考思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题求线段的距离最短或者线段和最小的问题的的 问题？请举例说明问题？请举例说明.抽象：抽象：如图，在直线如图，在直线MNMN上找一点上找一点P,P,B问题问题:如图如图,另一位将军也骑马从城堡另一位将军也骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马，途中
4、马 也要到小溪边饮水一次也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？问这位将军怎样走路程最短？使得使得PA+PBPA+PB最小最小？APMNPABP作法作法：（1 1）作）作点点A A关于关于直线直线 MNMN 的对称点的对称点 A A?（2 2）连结连结A A?B B，交，交MNMN于点于点 P P；点点P P就是所求的点就是所求的点MN7如图，在直线上找一点如图，在直线上找一点P P使得使得PA+PBPA+PB最小？最小？未命名1.gspNBAPA?P?M作点A关于直线的对称点A?,连接BA?，则PAPA?=PA=PA，交MN于点P,连接AP,在直线MN上任意取一点P?连接AP?,BP
5、?,A?P?,则APAP?=A=A?P P?，则PA+PBPA+PB=则APAP?+BP+BP?=PA?+PB=A A?B BA A?P P?+BP+BP?BABA?P P?中中，A A?B B BP BP?+A A?P P?，APAP+BPBP APAP?+BPBP?，即即A AP P+B+BP P最小最小如图，如图，点点A,BA,B在直线在直线MNMN的的同侧同侧，在直线，在直线MNMN上找一点上找一点P,P,使得使得PA+PBPA+PB最小最小.一线两定一动一线两定一动依据两点之间，依据两点之间，线段最短线段最短,通过通过一次轴对称一次轴对称,将两将两条折线段条折线段化为一条化为一条直线
6、段直线段.已知已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上上 确定一点确定一点R R，使，使PQRPQR的周长最的周长最短吗？短吗？R RP PR R.已知已知:如图射线如图射线OMOM和射线和射线ONON内内一点一点A A 求作求作:OM:OM上一点上一点B,ONB,ON上一点上一点C,C,使使AB+BC+ACAB+BC+AC最小最小作法作法:（1 1）作点）作点A A关于关于OMOM、ONON的的 对称点对称点A A?、A A?11B.AM0NA?A?C （2 2）连接）连接A A?和和A A?,交交OMOM于于B,B,交交ONON于
7、于C.C.则点则点B,CB,C为所求为所求.如图如图:点点P P在一个角的内部，在角的两边上分别找在一个角的内部，在角的两边上分别找 一点一点M M、N,N,使得使得PM+PN+MNPM+PN+MN最小最小.问题特征：问题特征：两线一定两动两线一定两动依据两点之间，依据两点之间，线段最短线段最短,通过通过两次轴对称两次轴对称,将将三条折线段三条折线段化为一条化为一条直线段直线段.已知已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点上的点，你能在，你能在ABAB、ACAC上上分别分别确定一点确定一点Q Q和和R R，使，使PQRPQR的周长最的周长最短吗？短吗？13（2 2）把）把A A，B B
8、在直线在直线同侧同侧的问题的问题转化转化为在为在直线的直线的两侧两侧，化化折线折线为为直线直线 将军饮马的实质：将军饮马的实质：（3 3）可利用）可利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”加以解决加以解决（1 1）求最短路线问题）求最短路线问题-通过几何变换找对称图形通过几何变换找对称图形课堂小结课堂小结15问题拓展问题拓展已知：在一个角的内部有两点已知：在一个角的内部有两点Q Q、P P求作：点求作：点M M和点和点N,N,使得点使得点M M在在 上，点上，点N N在在 上上 ，使使QM+MN+PN+PQQM+MN+PN+PQ最短。最短。1l2lQ1l.2lPQ.Q?.P?.MN问题特征：问
9、题特征：两线两定两动两线两定两动依据两点之间，依据两点之间，线段最短线段最短,通过通过两次轴对称两次轴对称,将将三条折线段三条折线段化为一条化为一条直线段直线段.问题拓展问题拓展已知：已知：MON内两点内两点A A、B B求作：点求作：点C C和点和点D,D,使得点使得点C C在在OMOM上，点上，点D D在在ONON上，上，使使AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。1/5/2023?R?Q?O?P?B?A(2019(2019中考中考)如图，如图，AOB=30AOB=30,角内有一点角内有一点P P，PO=10cmPO=10cm，两边上各有一点两边上各有一点Q Q、R R（均不同于点（均不同于点O O），则），则 PQRPQR的周长的最小值是的周长的最小值是17联系中考联系中考
