1、最短路径问题（第二课时）年年 级：八年级级：八年级 学学 科：数学（人教版）科：数学（人教版）主讲人：张旖澈主讲人：张旖澈 学学 校：北京师范大学附属实验中学校：北京师范大学附属实验中学最短路径问题（第二课时）最短路径最短路径问题问题如图，在直线 l 上求作一点C，使得CA+CB最短A、B在直线在直线l异侧异侧A、B在直线在直线l同同侧侧例：造桥选址问题例：造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？例例当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？当点N在直线b的什么位置时，AM+M
2、N+NB最小？问题能否简化？问题能否简化？思考：思考：问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化能否通过图形的变化将问题转化为研究过的问题呢？将问题转化为研究过的问题呢？思考：思考：（轴对称，平移轴对称，平移等），等），A将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到A.问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？则：AN=AM.问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？NANM连接AB，交直线b于点N.点 N 即为
3、所求.NANMM连接AB，交直线b于点N.点 N 即为所求.问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？NA连接AB，交直线b于点N.将A沿与河岸垂直的方向平移到A，使得AA的长度等于桥长.M点 N 即为所求.作法：作法：过 N 作NMa于M，线段MN即为桥的位置.ab如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？总结总结实际问题用数学语言表达实际问题用数学语言表达.当点当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AM+MN+NB最小最小？总结总结当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+
4、NB最小？当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？转化转化1：总结总结当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？A当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？转化转化1：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？转化转化2：利用平移，实现线段的转移利用平移，实现线段的转移.把已知问题转化成容易解决的问题把已知问题转化成容易解决的问题.利用平移，实现线段的转移利用平移，实现线段的转移.把已知问题转化成容易解决的问题把已知问题转化成容易解决的问题.实际问题用数学语言表达实际问题用数学语言表达.造桥选址造桥选址问题问题NANMM只需证明：AM+MN+NBAM+MN+NB.AM+NBAM
5、+NB.AN+NB AN+NB.由两点之间，线段最短可证.如何证明这条路径如何证明这条路径AMNB最短最短？思考思考只需证明：只需证明：abab如何证明这条路径如何证明这条路径AMNB最短最短？思考思考NANMMabab由平移性质可知，AM=AN，AM=AN.AM+NB=AN+NB=ABAM+NB=AN+NB.由两点之间，线段最短可知：ABAN+NB即AM+NB AM+NB即AM+MN+NB AM+MN+NB.在直线b上任取一点N，过N作NMa连接AM，AN，NB 利用平移，实现线段的转移利用平移，实现线段的转移.把已知问题转化成容易解决的问题把已知问题转化成容易解决的问题.实际问题用数学语言
6、表达实际问题用数学语言表达.造桥选址造桥选址问题问题 用符号语言进行推理和表达用符号语言进行推理和表达.已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQa，使得四边形APQB的周长最小哪些点是定点？哪些点是定点？哪些点是动点？哪些点是动点？思考：思考：问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+PQ+QB+BA最小练习练习问题是否可以简化？问题是否可以简化？思考：思考：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？连接AM，AN，NB如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要
7、与河垂直）？问题转化为：当点Q在什么位置时，AQ+QB最小问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQa，使得四边形APQB的周长最小当点Q在什么位置时，AQ+QB最小.当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？即AM+MN+NB AM+MN+NB.连接AB，与直线l交于一点将问题转化为研究过的问题呢？主讲人：张旖澈 学 校：北京师范大学附属实验中学 把已知问题转化成容易解决的问题.问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？如
8、图，在直线 l 上求作一点C，使得CA+CB最短当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？最短路径问题（第二课时）问题转化为：当点Q在什么位置时，AQ+QB最小当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+QB最小问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+QB最小通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），可以将问题转化为研究
9、过的问题呢？可以将问题转化为研究过的问题呢？思考：思考：AM+NBAM+NB.连接AM，AN，NB如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？如何证明这条路径AMNB最短？如何证明这条路径AMNB最短？把已知问题转化为容易解决的问题.当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQa，使得四边形APQB的周长最小如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN
10、桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ABAN+NB通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），可以将问题转化为研究过的问题呢？问题转化为：当点Q在什么位置时，AQ+QB最小已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQa，使得四边形APQB的周长最小当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？主讲人：张旖澈 学 校：北京师范大学附属实验中学线段MN即为桥的位置.把已知问题转化成容易解决的问题.由两点之间，线段最短可证.问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+Q
11、B最小主讲人：张旖澈 学 校：北京师范大学附属实验中学问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+QB最小A将AP沿直线l的方向平移，点A移动到A，点P移动到点Q.则：AP=AQ.问题转化为：当点Q在什么位置时，AQ+QB最小.问题转化为：当点Q在什么位置时，AQ+QB最小AAQ作A关于直线l的对称点A连接AB，与直线l交于一点即为所求点Q.AAQ作A关于直线l的对称点A连接AB，与直线l交于一点即为所求点Q.P问题：在直线l上求作两点P，Q，使得四边形APQB的周长最小问题转化为：当点Q在什么位置时，AQ+QB最小已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且P
12、Qa，使得四边形APQB的周长最小AAQP将点A沿直线l的方向平移A，使得AA=a.作A关于直线l的对称点A连接AB，与直线l交于一点即为所求点Q.在点Q左侧取点P，使得PQ=a，即为所求点P.作法：作法：练习练习已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQa，使得四边形APQB的周长最小练习练习你能证明此时四边形APQB的周长最小吗？思考思考AAQP最短路径最短路径问题问题造桥选址造桥选址问题问题练习练习利用轴对称、平移等变化，利用轴对称、平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题把已知问题转化为容易解决的问题.最短路径问题最短路径问题两点之间，线段最短两点之间，线段最短.方法方法 ：依据：依据：思想思想 ：化归思想化归思想.课后作业课后作业点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小同学们，再见！
