1、第第一一章章统统计计8 8最最小小二二乘乘估估计计理解教材新知理解教材新知应用创新演练应用创新演练考点一考点一把握热点考向把握热点考向考点二考点二返回返回返回返回 某科研单位研制出一种新的高科技户外健身器材，为某科研单位研制出一种新的高科技户外健身器材，为了不了不 因天气等外界因素的变化而影响使用效果，在此种产因天气等外界因素的变化而影响使用效果，在此种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间与腐蚀时间x之间之间相应的一组观察值如下表：相应的一组观察值如下表：x/s5101520304050607090120y/m61010131617192325
2、2946返回根据表中数据，可作散点图如下图所示：根据表中数据，可作散点图如下图所示：问题问题1：腐蚀深度：腐蚀深度y与腐蚀时间与腐蚀时间x之间是否具有相关关系？之间是否具有相关关系？提示：提示：由散点图可知，变量由散点图可知，变量y与与x之间具有相关关系之间具有相关关系 问题问题2：如何预测腐蚀时间：如何预测腐蚀时间x100 s时的腐蚀深度？时的腐蚀深度？提示：提示：可以根据散点图作出一条直线，使直线两侧的点分可以根据散点图作出一条直线，使直线两侧的点分布均匀，求出直线方程，利用方程预测布均匀，求出直线方程，利用方程预测返回 1最小二乘法最小二乘法 (1)定义：如果有定义：如果有n个点：个点：
3、(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线yabx的接的接近程度：近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式达到最小值的直线使得上式达到最小值的直线yabx就是我们所要求就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法的直线，这种方法称为最小二乘法 (2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的图如果图如果 呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果出线性回归方程；如果 呈现出其他的曲线关系，我呈
4、现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合们就要利用其他的工具进行拟合散点散点散点图散点图散点图散点图返回系数系数返回 1线性回归方程的应用线性回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行统计控制规定利用回归方程进行统计控制规定y值的变化，通过值的变化，通过控制控制x的范围来实现统计控制的目标的范围来实现统计控制的目标 (3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作出散点图，回归
5、直线不要外延先作出散点图，回归直线不要外延返回返回返回返回 例例1关于人体的脂肪含量关于人体的脂肪含量(百分比百分比)和年龄关系的和年龄关系的研究中，得到如下一组数：研究中，得到如下一组数：年龄年龄x2327394145495053脂肪脂肪y9.5 17.821.225.927.526.328.229.6 (1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线；一条拟合直线；(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程返回 思路点拨思路点拨(1)作出散点图，通过散点图判断它们作出散点图，通过散点图判断
6、它们是否具有相关关系，并作出拟合直线；是否具有相关关系，并作出拟合直线；(2)利用公式求出利用公式求出线性回归方程的系数线性回归方程的系数a，b即可即可 精解详析精解详析(1)以以x轴表示年龄，轴表示年龄，y轴表示脂肪含量轴表示脂肪含量(万万分比分比)，画出散点图，如下图，画出散点图，如下图返回返回返回 一点通一点通 1最小二乘法的适用条件：最小二乘法的适用条件：每个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关每个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必须对两个变量进行相关性检验性，必须对两个变量进行相关性检验 2注意事项：注意事项：(1)利用求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质利用
7、求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法是一种待定系数法 (2)计算计算a，b的值时，用列表法理清计算思路，减少计的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器算失误同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器返回1(2011江西高考江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取机抽取5对父子的身高数据如下：对父子的身高数据如下：父亲身高父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高儿子身高y(cm)175175176177177返回答案：答案：C返回2某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量某
8、医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克毫克/升升)与消化系数如下表：与消化系数如下表：尿汞含量尿汞含量(x)246710消化系数消化系数(y)64138205285360由此得回归直线的斜率是由此得回归直线的斜率是_(精确到精确到0.01)返回答案：答案：38.14返回 例例2(2011安徽高考安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：上升，下表是部分统计数据：年份年份20022004200620082010需求量需求量(万吨万吨)236246257276286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线利用所给数据求年需求量与年份之间
9、的回归直线方程方程ybxa；(2)利用利用(1)中所求出的直线方程预测该地中所求出的直线方程预测该地2012年的粮年的粮食需求量食需求量返回 思路点拨思路点拨通过公式计算回归直线方程的系数通过公式计算回归直线方程的系数a与与b，利用回归直线方程预测该地利用回归直线方程预测该地2012年的粮食需求量年的粮食需求量 精解详析精解详析(1)由所给数据可以看出，年需求量与年份由所给数据可以看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面求回归直线方程为此对数据预之间是近似直线上升，下面求回归直线方程为此对数据预处理如下：处理如下：年份年份200642024需求量需求量257211101929返回返回(2)
10、利用直线方程利用直线方程y6.5(x2006)260.2，可预测，可预测2012年年的粮食需求量为的粮食需求量为65(20122006)260.26.56260.2299.2(万吨万吨)一点通一点通用线性回归方程估计总体的一般步骤：用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出如果散点在一条直线附近，用公式求出a、b并写并写出线性回归方程；出线性回归方程；(3)根据线性回归方程对总体进行估计根据线性回归方程对总体进行估计返回3(2011山东高考山东高考)某产品的广告费用某产品的广告
11、费用x与销售额与销售额y的统计的统计数据如下表：数据如下表：广告费用广告费用x(万元万元)4235销售额销售额y(万元万元)49263954根据上表可得回归方程根据上表可得回归方程ybxa中的中的b为为9.4，据此模型，据此模型预报广告费用为预报广告费用为6万元时销售额为万元时销售额为()A63.6万元万元 B65.5万元万元C67.7万元万元 D72.0万元万元返回答案：答案：B返回4(2011广东高考广东高考)某数学老师身高某数学老师身高176 cm，他爷爷、父，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和和182 cm.因儿因儿子的身高与父亲的身高有关，
12、该老师用线性回归分析子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为的方法预测他孙子的身高为_ cm.返回解析：解析：儿子和父亲的身高可列表如下：儿子和父亲的身高可列表如下：父亲身高父亲身高173170176儿子身高儿子身高170176182答案：答案：185返回 1求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，因此，对数据作线性回归分出的线性回归方程毫无意义，因此，对数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性相关关系析时，应先看其散点图是否成线性相关关系 2求线性回归方程，关键在于正确地求出系数求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求由于求a、b的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误避免因计算产生失误返回
