1、2.2.2事件的相互独立性事件的相互独立性（一）（一）高二数学高二数学 选修选修2-31什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？两个互斥事件两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是有一个发生的概率公式是什么？什么？若若A与与A为对立事件，则为对立事件，则P（A）与）与P（A）关）关系如何？系如何？不可能同时发生的两个事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；叫做互斥事件；如果两个互斥如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件，这样的两个互斥事件叫对立事件叫对立事件.P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P()=1
2、复习回顾复习回顾2(4).条件概率条件概率 设事件设事件A和事件和事件B，且，且P(A)0,在已知事件在已知事件A发发生的条件下事件生的条件下事件B发生的概率，叫做发生的概率，叫做条件概率条件概率。记作记作P(B|A).(5).条件概率计算公式条件概率计算公式:()()(|)()()n ABP ABP B An AP A复习回顾复习回顾注意条件：必须注意条件：必须 P(A)03问题探究：问题探究：下面看一例下面看一例 在大小均匀的在大小均匀的5个鸡蛋中有个鸡蛋中有3个红皮蛋，个红皮蛋，2个白皮个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红
3、皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。我们知道，当事件我们知道，当事件A的发生对事件的发生对事件B的发生有影的发生有影响时，条件概率响时，条件概率P(B|A)和概率和概率P(B)一般是不相等的，一般是不相等的，但有时事件但有时事件A的发生，看上去对事件的发生，看上去对事件B的发生没有影的发生没有影响，响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚）对抛掷第二枚硬币的结果（事件硬币的结果（事件B）没有影响，这时）没有影响，这时P(B|A)与与P(B)相等吗？相等吗？4三张奖券有一张可以中奖。现由三三张奖券有一张可
4、以中奖。现由三名同学依次名同学依次无放回无放回地抽取，问：最后一名去地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？中奖的影响吗？“学奖”.B B 表表示示事事件件 最最后后一一名名同同中中设设A为事件为事件“第一位同学没有中奖第一位同学没有中奖”。答答:事件事件A的发生会影响事件的发生会影响事件B发生的概率发生的概率21)()()()(APABPAnABn)(ABP5三张奖券有一张可以中奖。现由三三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次名同学依次有放回有放回地抽取，问：最后一名去地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一
5、位同学是否抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？中奖的影响吗？设设A为事件为事件“第一位同学没有中奖第一位同学没有中奖”。事件事件A的发生不会影响事件的发生不会影响事件B发生的概率。发生的概率。P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B)又又P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)“学奖”.B B表表示示事事件件 最最后后一一名名同同中中61、事件的相互独立性、事件的相互独立性相互独立事件及其同时发生的概率相互独立事件及其同时发生的概率设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P
6、(B),则称事则称事件件A与事件与事件B相互独立相互独立。即事件即事件A（或（或B）是否发生）是否发生,对事件对事件B（或（或A）发生的）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。如果事件如果事件A与与B相互独立，那么相互独立，那么A与与B，A与与B，A与与B是不是是不是相互独立的相互独立的注：注：区别：区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件是指一个事件的
7、发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。发生的概率没有影响。相互独立相互独立72、相互独立事件同时发生的概率公式：、相互独立事件同时发生的概率公式：“第一、第二次都取到红皮蛋第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，是一个事件，它的发生就是事件它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作同时发生，将它记作AB 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这相互独立，那么这n个个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即事件同时发生的概率等于每个事件
8、发生的概率的积，即P（A1A2An）=P（A1）P（A2）P（An）两个相互独立事件两个相互独立事件A,B同时发生同时发生,即事件即事件AB发生的概发生的概率为：率为：)()()(BPAPBAP 8试一试试一试 判断事件判断事件A,B 是否为互斥是否为互斥,互独事件互独事件?1.篮球比赛篮球比赛“罚球二次罚球二次”.事件事件A表示表示“第第1球罚中球罚中”,事件事件B表示表示“第第2球罚中球罚中”.2.篮球比赛篮球比赛“1+1罚球罚球”.事件事件A表示表示“第第1球罚中球罚中”,事件事件B表示表示“第第2球罚中球罚中”.3.袋中有袋中有4个白球个白球,3个黑球个黑球,从袋中依此取从袋中依此取2
9、球球.事件事件A:“取出的是白球取出的是白球”.事件事件B:“取出的是黑球取出的是黑球”(不放回抽取不放回抽取)4.袋中有袋中有4个白球个白球,3个黑球个黑球,从袋中依此取从袋中依此取2球球.事件事件A为为“取出的是白球取出的是白球”.事件事件B为为“取出的是白取出的是白球球”.(放回抽取放回抽取)A与与B为互独事件为互独事件A与与B不是互独事件不是互独事件A与与B为互独事件为互独事件A与与B为非互独也非互斥事件为非互独也非互斥事件9 练练2 2、判断下列各对事件的关系判断下列各对事件的关系（1 1）运动员甲射击一次，射中）运动员甲射击一次，射中9 9环与射中环与射中8 8环；环；（2 2）甲
10、乙两运动员各射击一次，甲射中）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9 9环与乙环与乙射中射中8 8环；环；互斥互斥相互独立相互独立相互独立相互独立24.0)(,6.0)(,6.0)()3(ABPBPAP已知10(1)必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.；与与 BAAB与与；.BA 与与(2)若事件若事件A与与B相互独立相互独立,则以下三对事件也相互独立则以下三对事件也相互独立:2.2.相互独立事件的性质：相互独立事件的性质：BAABBBAAA )()()()(BAPABPAP ()()()()()()()1()()()P ABP AP ABP AP A
11、P BP AP BP A P B例证例证11即两个相互独立事件即两个相互独立事件同时发生同时发生的概率，的概率，等于每个事件发生的概率的积。等于每个事件发生的概率的积。2.2.推广：如果事件推广：如果事件A A1 1，A A2 2，A An n相互相互独立独立，那，那么这么这n n个事件个事件同时发生同时发生的概率的概率P(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1)P(AP(A2 2)P(AP(An n)1.1.若若A A、B B是相互是相互独立独立事件，则有事件，则有P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)应用公式的前提：应用公式的前提：1.1.事件之
12、间相互独立事件之间相互独立 2.2.这些事件同时发生这些事件同时发生.3.3.相互独立事件同时发生的概率公式相互独立事件同时发生的概率公式等于每个事件发生的概率的积等于每个事件发生的概率的积.即即：12例题热身例题热身:已知已知A、B、C相互独立，试用相互独立，试用数学数学符号语言符号语言表示下列关系表示下列关系 A、B、C同时发生概率；同时发生概率；A、B、C都不发生的概率；都不发生的概率；A、B、C中恰有一个发生的概率；中恰有一个发生的概率；A、B、C中恰有两个发生的概率；中恰有两个发生的概率；A、B、C中至少有一个发生的概率；中至少有一个发生的概率；()P ABC()P ABC()()(
13、)(3)P ABCP ABCP ABC()()()(4)P ABCP ABCP ABC(5)1-P(ABC)1-P(ABC)13例例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的求两次抽奖中以下事件的概率：概率：（1）都抽到某一指定号码；）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；）恰有一次
14、抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。）至少有一次抽到某一指定号码。14解解:(1)记记“第一次抽奖抽到某一指定号码第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件B，则，则“两次抽奖都抽到某一指定号两次抽奖都抽到某一指定号码码”就是事件就是事件AB。（1 1）“都抽到某一指定号码都抽到某一指定号码”；由于由于两次的抽奖结果是互不影响的两次的抽奖结果是互不影响的,因此因此A和和B相互独立相互独立.于是由独立性可得于是由独立性可得,两次抽奖都抽两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为到某一指定号码的概率为 P(AB)=P(A
15、)P(B)=0.050.05=0.002515（2 2）“恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码”；解解:“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用可以用 表示。由于表示。由于事件事件 与与 互斥互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：定义，所求的概率为：B B)A A()B B(A A B BA AB BA A0 0.0 09 95 5 0 0.0 05 50 0.0 05 5)(1 10 0.0 05 5)(1 10 0.0 05 5 )P P(B B)A AP P()B B P P(A A)P
16、P(B B)A AP P()B BP P(A A16（3 3）“至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码”；0 0.0 09 97 75 5 0 0.0 09 95 50 0.0 00 02 25 5B B)A AP P()B BP P(A AP P(A AB B)解解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用可以用 表示。由于表示。由于事件事件 与与 两两互斥两两互斥，根据概率加法公式和相互独立，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：事件的定义，所求的概率为：)B B(A AB B)A A(A AB B)B BA AB BA A
17、A AB B,1 1P P(A AB B)1 1(1 10 0.0 05 5)(1 10 0.0 05 5)0 0.0 09 97 75 5另解：另解：(逆向思考逆向思考)至少有一次抽中的概率为至少有一次抽中的概率为17例例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都为两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中，求两次抽奖中以下事件的概率：以下事件的
18、概率：变式变式:“至多有一次抽到中奖号码至多有一次抽到中奖号码”。P P(A AB B)P P(A AB B)P P(A AB B)1-(AB)P18题后感悟题后感悟(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：是：首先确定各事件之间是相互独立的；首先确定各事件之间是相互独立的；确定这些事件可以同时发生；确定这些事件可以同时发生；求出每个事件的概率，再求积求出每个事件的概率，再求积(2)(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件：公式时，要掌握公式的适用条件：各个事件相互独立；同时发生各个事件相互独立；
19、同时发生19例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人人 击中目标的概率都是击中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算：（1）两人都击中目标的概率）两人都击中目标的概率；（2）其中恰由）其中恰由1人击中目标的概率人击中目标的概率（3）至少有一人击中目标的概率）至少有一人击中目标的概率解：解：(1)记记“甲射击甲射击1次次,击中目标击中目标”为为事件事件A.“乙乙射射 击击1次次,击中目标击中目标”为为事件事件B.答：两人都击中目标的概率是答：两人都击中目标的概率是0.36且且A与与B相互独立，相互独立，又又A与与B各射击各射击1次次,都击中目标都击
20、中目标,就是事件就是事件A,B同同时发生，时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到得到P(AB)=P(A)P(B)=0.60.60.3620例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2人击人击中目标的概率都是中目标的概率都是0.6，计算：，计算：(2)其中恰有其中恰有1人击中目标的概率？人击中目标的概率？解：解：“二人各射击二人各射击1次，次，恰有恰有1人击中目标人击中目标”包括两种包括两种情况情况:一种是甲击中一种是甲击中,乙未击中（事件乙未击中（事件 ）BA48.024.024.06.0)6.01()6.01(6.0)(
21、)()()()()(BPAPBPAPBAPBAP答：其中恰由答：其中恰由1人击中目标的概率为人击中目标的概率为0.48.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是事件的概率乘法公式，所求的概率是 另一种是另一种是甲未击中，乙击中（事件甲未击中，乙击中（事件B发生）。发生）。BA 根据题意，这两根据题意，这两种情况在各射击种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件次时不可能同时发生，即事件B与与 互斥，互斥，21例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人击人击中目标的概率都是中目标的概率都是
22、0.60.6，计算：，计算：（3）至少有一人击中目标的概率）至少有一人击中目标的概率.解法解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是84.048.036.0)()()(BAPBAPBAPP解法解法2：两人都未击中的概率是两人都未击中的概率是84.016.01)(1,16.0)6.01()6.01()()()(BAPPBPAPBAP目标的概率因此，至少有一人击中答：至少有一人击中的概率是答：至少有一人击中的概率是0.84.22巩固练习巩固练习生产一种零件，甲车间的合格率是生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率乙车间的合格率是是97,从它
23、们生产的零件中各抽取从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品件，都抽到合格品的概率是多少？的概率是多少？解：解：设从甲车间生产的零件中抽取设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为件得到合格品为事件事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，。那么，2件都是合格品就是事件件都是合格品就是事件AB发生，又事件发生，又事件A与与B相互独相互独立，所以抽到合格品的概率为立，所以抽到合格品的概率为6255821009710096)()()(BPAPBAP答：抽到合格品的概率是答：抽到合格品的概率是625582231.条件概率计算公式条件概率计算公式:回顾回顾(
24、)()(|)()()n ABP ABP B An AP A性质：性质：(1)(1)若、若、B B互斥，则互斥，则P P（B|AB|A）=_=_（2 2）若、）若、B B独立，则独立，则P P（B|AB|A）=_=_0P(B)P(AB)=P(A)P(B)24.)(,)2(.)(,)1(,7.0)(,4.0)(的值求互为相互独立事件时当的值求互斥时当则设BPBABPBABAPAP辨一辨25例例3 在一段线路中并联着在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只个自动控制的常开开关，只要其中有要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在假定在某段时间内每个开关闭合
25、的概率都是某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时计算在这段时间内线路正常工作的概率间内线路正常工作的概率.26 由题意，这段时间内由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相个开关是否能够闭合相互之间没有影响。互之间没有影响。027.0)7.01)(7.01)(7.01()(1)(1)(1)()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP所以这段事件内线路正常工作的概率是所以这段事件内线路正常工作的概率是973.0027.01)(1CBAP答：在这段时间内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973CBAJJJ、解：解：分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关 能
26、够闭合为事能够闭合为事件件A,B,C.根据相互独立事件的概率乘法式这根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内段时间内3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 27巩固练习巩固练习1、分别抛掷、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设枚质地均匀的硬币，设A是事件是事件“第第1枚为正面枚为正面”，B是事件是事件“第第2枚为正面枚为正面”，C是事件是事件“2枚结果相同枚结果相同”。问：。问：A，B，C中哪两个相互独立？中哪两个相互独立？28巩固练习巩固练习 2、在一段时间内，甲地下雨的概率是、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨，乙地下雨的概率是的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相
27、互，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率）其中至少有一方下雨的概率.P=0.20.30.06P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.44293.某战士射击中靶的概率为某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次若连续射击两次.求求:(1)两次都中靶的概率两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率至少有一次中靶的概率:(3)至多有一次中靶的概率至多有一次中靶的概率;
28、(4)目标被击中的概率目标被击中的概率.分析分析:设事件设事件A为为“第第1次射击中靶次射击中靶”.B为为“第第2次射击中次射击中靶靶”.又又A与与B是互斥事件是互斥事件.“两次都中靶两次都中靶”是指是指“事件事件A发生且事件发生且事件B发生发生”即即AB P(AB）=P（A）P（B）=（2）“至少有一次中靶至少有一次中靶”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即即 AB+AB+AB.求求 P(AB+AB+AB)（3）“至多有一次中靶至多有一次中靶”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即即 AB+AB+AB.求求 P(AB+AB+AB)（4）“
29、目标被击中目标被击中”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即即 AB+AB+AB.求求 P(AB+AB+AB)30解题步骤：解题步骤：1.用恰当的字母标记事件用恰当的字母标记事件,如如“XX”记为记为A,“YY”记为记为B.2.理清题意理清题意,判断各事件之间的关系判断各事件之间的关系(等可能等可能;互斥互斥;互独互独;对立对立).关键词关键词 如如“至多至多”“至少至少”“同时同时”“恰恰有有”.求求“至多至多”“至少至少”事件概率时事件概率时,通常考虑它们的对立事件的通常考虑它们的对立事件的概率概率.3.寻找所求事件与已知事件之间的关系寻找所求事件与已知事件之间的
30、关系.“所求事件所求事件”分几类分几类(考虑加法公式考虑加法公式,转化为互斥事件转化为互斥事件)还是分几步组成还是分几步组成(考虑乘法公式考虑乘法公式,转化为互独事件转化为互独事件)4.根据公式解答根据公式解答311.射击时射击时,甲射甲射10次可射中次可射中8次次;乙射乙射10次可射中次可射中7次次.则则甲甲,乙同时射中乙同时射中同一目标的概率为同一目标的概率为_2.甲袋中有甲袋中有5球球(3红红,2白白),乙袋中有乙袋中有3球球(2红红,1白白).从每袋中任取从每袋中任取1球球,则则至少取到至少取到1个白球个白球的概率是的概率是_1415353.甲甲,乙二人单独解一道题乙二人单独解一道题,
31、若甲若甲,乙能解对该题的概率乙能解对该题的概率 分别是分别是m,n.则则此题被解对此题被解对的概率是的概率是_m+n-mn4.有一谜语有一谜语,甲甲,乙乙,丙猜对的概率分别是丙猜对的概率分别是1/5,1/3,1/4.则三人中则三人中恰有一人猜对恰有一人猜对该谜语的概率是该谜语的概率是_1330P(A+B)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=1-P(AB)327.在在100件产品中有件产品中有4件次品件次品.从中抽从中抽2件件,则则2件都是次品概率为件都是次品概率为_ 从中抽两次从中抽两次,每次每次1件则两次都抽出次品的概率是件则两次都抽出次品的概率是_ (不放回抽取不放回抽取)从中抽两次从中
32、抽两次,每次每次1件则两次都抽出次品的概率是件则两次都抽出次品的概率是_ (放回抽取放回抽取)C42C1002 C41C31C1001C991 C41C41C1001C10015.加工某产品须经两道工序加工某产品须经两道工序,这两道工序的次品率分别这两道工序的次品率分别为为a,b.且这两道工序互相独立且这两道工序互相独立.产品的合格的概率产品的合格的概率是是_.(1-a)(1-b)6.某系统由某系统由A,B,C三个元件组成三个元件组成,每个元件正常工作概率为每个元件正常工作概率为P.则系统正常工作的概率为则系统正常工作的概率为_ABCP+P2-P333求较复杂事件概率求较复杂事件概率正向正向反向反向对立事件的概率对立事件的概率分类分类分步分步P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)(互斥事件互斥事件)(互独事件互独事件)独立事件一定不互斥独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立互斥事件一定不独立.34
