1、 第二章第二章 群的基本知识群的基本知识群论是研究系统对称性的数学工具。aABCD定义：定义：在元素集合G（A,B,C,）中，定义一种结合法则（群乘）（combination,composition），满足：（1）封闭性：AG，BG，则ABG（2）结合律：A,B,CG,则(AB)C=A(BC)（3）集合中有单位元素EG，使得对于任何AG，恒有EA=A（4）对于任何的AG，均存在逆元A-1G，使得A-1A=E 2.1 群的概念群的概念2.1.1 群的定义群的定义例如：例如：构成一个群 ii,1,1可以证明：AE=A；AA-1=E证明：1）（若EA=A，必有AE=A）若 ，BAAEABAEA111
2、AAABAAAABAEGA1111111111EBEABA证明：2）左逆=右逆，假定：设 EAA1BAAAABAAA11111BAAAABAAGA1111111111BEBE证明：3），且 AA11EAA1EAA111111111AAAAAAA证明：4）群中的单位元素是唯一的。假定有两个单位元E1 和E2，由 ，得 or 1221EEEE21EE 21111EAAEAAEA证明：5）（逆元）且 （单位元）EE1EEEEE1111 EEE1 EE111)(ABAB111111111111)()()()()()()(ABABABABABBAABAEAABEABAB证明：6）试讨论以下集合是否构成群
3、：1 全体整数对于数的加法 2 全体实数对于数的乘法 3 模（绝对值）为1的复数全体对于数的乘法 4 么正矩阵的全体对于矩阵的乘法 5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘 nn2.1.2 群的种类群的种类定义：定义：有限群中元素的数目称为群的阶（order）有限群（finite group），群元个数有限离散群（discrete group）可数连续群（continuous group）不可数群 无限群（infinite group），群元个数无限多定义：定义：若群元素之间的结合满足交换律：，则该群称为Abel群，或对易群（commutation Group）。BAAB 1重排定理（重排定理（
4、rearrangement theorem）（它对无限群不成立）设群 的阶为h.若 ，则（Ai为G中任意元素）2.1.3 有限群的性质有限群的性质 hkAAAAG,21GAiGAAAAAAAAGAhikiiii,21GAAAAAAAAGAihikiii,21即：AiG和GAi中每一元素不能相同且又是G中的元素，而共有h个群元，不能超过G的元素，则AiG就是G。证明：(1)必出现 (2)x不能出现两次 若 ，得：GxAAririikiiArikiAAAAAAAAAAi111rkAA GxAAkiGxAAkiGAGAki,GxAAki例：例：群 符合四条群公理。用其中任意一个元素乘整个群，所得到的
5、仍然为原来的群，只是次序有变。ii,1,1r为满足此式的最小整数2群元素的级群元素的级 有限群G，AG 由于有限，必有 ，即 ，r称为该元素的级 级和阶是两个概念，但有时值可相等，如 中 就是如此 132,rrmAAAAAAAAAAr1AAArEArii,1,1ii,定义：若有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到（不一定要求每一个元素，只要找到一个便可），则该群称为循环群（cyclic group）。Ai 该群的生成元定义：由群G的一个最小的群元的集合（如Ai,Aj,）及乘法关系就可以构造出一个群。这个最小的群元的集合中的元就称为群G的生成元生成元（generator）。群乘关系称作生成关
6、系生成关系。2.1.4 群的乘法表群的乘法表AEBCCEACBBBCEAACBAEECBAEGiiCiiiBiiiAiiECBAEGii111111111111 约定：表中元素是竖元素乘横元素，即 DCDCG（右因子）（左因子）例：例：矩阵组,21232321,1001,1001BAE21232321,21232321,21232321FDC按矩阵乘法构成一个群其乘法表为：DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG6 DBA21232321212323211001EFD10012123232121232321DEACBFFEFBACDDB
7、AEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG62.1.5 群的实例群的实例 1）一阶群：）一阶群：E，满足 ，单位元素EE12）二阶群：）二阶群：，如 所有二阶群的构造均一样 如宇称变换；全同粒子交换（费米）生成元：A；A,A2AE,AA1EAAAEEAEV2111111112V3）三阶群：）三阶群：BAE,一阶、二阶、三阶群均是一阶、二阶、三阶群均是Abel群，也是循环群。群，也是循环群。AEBBEBAABAEEBAEG三阶群唯一可能的乘法表为：生成元：A；A,A2,A3 B；B,B2,B3 唯一可能 A2=B；同理 B2=A A2=A？不行，否则 A=E 又 A2=
8、E？不行，否则 A=A-1=B 唯一可能 AB=E ，即 A=B-1,B=A-1（互逆）AB=B？也不行，否则 A=E讨论：AB=A？不行，否则 B=E 是一个两阶群了。例：的三个根 1，组成三阶群（一般乘法）013x231i例；对称操作 （即绕一固定轴转 ）也构成三阶群3C2,34,324）四阶群）四阶群:CBAE,Abel群群 (四阶循环群）四阶循环群）4C生成元：A；A,A2,A3,A4 C；C,C2,C3,C4BAECCAECBBECBAACBAEECBAEC4）A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，C。乘法表示：23,2,2,绕某固定轴转 iiCCCE,1,1,34244CCBBA
9、A111,）A,B,C均为自逆，（注意，不可能有两个自逆）乘法表为：Klein四阶群 EABCCAECBBBCEAACBAEECBAEV证明：（若 或 ，则 或 ）同理 V Abel群（四阶反演群）群（四阶反演群）ECBA222CABBAAAB BAB EA EB ACBBCBCAAC,生成元：A,B；A,A2,B,AB 5）转动群：）转动群：所有旋转轴相交于一点的全部连续转动，构成 连续群 3RnnP321321nS,21,211nPnnnPE21210原来的位置新位置6）置换群（）置换群（permutation group）意为：1换成1，2换成2，n换成n ：n个物体所有这种可能置换的集
10、合称为置换群 这种群对基本粒子的交换对称性有用。例：共 3！个群元素 3S123321,312321,321321BAE132321,213321,231321FDCDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3 注意：置换是先进行右边的置换，再进行左边置换，即从右到左。ACD312321213321231321DAB213321123321312321DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3例如：置换不满足交换律，是非Abel群坐标系上取固定的三点A,B和C，变换前正三角形三顶点
11、A1,B1和C1分别与A,B和C重合。经变换，A1,B1和C1 的位置发生变化，但总是分别和 A,B和C 中的某一点重合。7）正三角形对称群）正三角形对称群 共有六个元素：恒等变换E，绕三角形中0点顺时针转2/3和4/3角的变换D和F，三角形分别对三条中线的反射变换A，B，C。3CyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BC3v的乘法表和S3一样 例如：等 可以证明：C3v是非Abel群FACDAB,yxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3i,1 8）四元数群（）四元数群
12、（guatermon）8阶群阶群 对复数：，有两个单位 ，二元素。定义四元素：且规定：bia dkcjbiaqjikkiikjjkkjiijkji,111,11222222.2 子群（子群（subgroup），陪集（），陪集（coset），），共厄元素（共厄元素（conjugate）和类（）和类（class）2.2.1 子群子群定义：定义：若某群中的一部分元素的集合按原来的给合法则也构成群，子群。任何群的单位元素构成子群 G的全体也构成G的子群 非真子群（平庸子群）真子群的条件真子群的条件:1 存在单位元 2 任意元素的逆元素也在这一子集内 3 任意两元素的乘积也在这一子集内例：C3v群中，中
13、 构成真子群。323323,CCCCE323,CCE沿A轴反演顺时针赚120,E3,CE23,CEyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(B例：实数（加法），单位元为：0 有理数（加法），单位元为：0 子群 整数（加法），单位元为：0 子群 子群链 偶数（加法），单位元为：0 子群 偶整有实2.2.2 陪集陪集 定义：定义：群中G有一个子群gH1,H2,Hh，有一群元xG，集合xg=xH1,xH2,xHh称为g的左陪集（left coset），gx=H1x,H2x,Hhx称为的右陪集（right coset）.注：注：如果 xg，则 xg=gx=g为子群本身。陪集可能是G的一个子群，
14、也可能不够成群。gx例：C3v群中，子群E,D,F只有一个陪集A,B,C 子群E,A对的右陪集为B,D，左陪集为B,F 对C的右陪集为C,F，左陪集为C,DyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3定理定理:(1)子群g的两个左（右）陪集，或者包含相同的一组元素，或者没有共同元素。证：假如：，则有（作 ），即 hixHxHxHxHxg,21hiyHyHyHyHyg,21jiyHxH 11jHx1111jjjiHyHxHxHxyxHHji11gHHji1gyx1gygx1xgyg(2)
15、若x不是g的一个元，那么gx(xg)不是一个群。（3）G中的每一个元必然落在子群或某一个左（右）陪集中。(4)若子群g的阶为h，G的阶为H，则每一个左（右）陪集包含h个不同的元，即在集合gx(xg)的h个元中，没有相同的元存在。(5)若y是gx(xg)的元，那么，gy(yg)与 gx(xg)是相同的。Lagrange定理：定理：子群g的阶(h)必定能够整除整个群G的阶(H)。证：若g遍举群G的全部元素，则h=H，故H/h=1；若不能遍举,作A1g，且A1g与g无共同元素。若g+A1g遍举G所有元素，则H/h=2。若不能，作A2g，且它与g,A1g无共同元素，若g+A1g+A2g能遍举G，则H/
16、h=3。因为是有限群，总有G=g+A1g+A2g+Al-1g H/h=i (i为子群的指数）例：例：证明：若群的阶为素数，则该群必为循环群。证明：设群的阶为h，若某元素A：Ar=E，若 rh，则 h/r=整数，但h为素数，故必有r=h。注意：陪集并不构成群。注意：陪集并不构成群。2.2.3 共厄元素和类共厄元素和类 定义：定义：A,B,xG，若xAx-1=B，则称B是A的共轭元素（conjuate）。性质：性质：1）共厄关系是相互的 2）共厄关系具有传递性 A,B,CG，若A,B分别与C共厄，即 则A和B共厄：由 3）任何元素与自身共厄：GyyByxBxBxxA,11111,11yCyBxCx
17、AAxxCxCxA11 GyxyxAyxxyAyxyAxxyB11111111,AAAAAAEAEA11定义：定义：群G中互相共轭的元素所形成的集合称为类（class），类中元素的数目称为类的阶。（相似变换的 x()x-1 中的 x 对类中不同元素是可以不一样的，x要取遍整个G）只要给出类中任意一个元素就可求得类中所有元素。单位元素单独成一类，这是因为xEx-1=E 普遍地，若A1,A2,Ai,Aj,An是一类，对任一xG，xAix-1必定在A1,An内，但它不构成群。任意x例：三点对称群有三个类：1）E自成一类，因为它与所有元素可对易 2）D、F组成一类，因 3）A，B，C组成一类，因为：3
18、3SC,111FBDBFADADEDEDDDDDFDFFCDC111,111ABCBBACACECEBFCFADCDCCCC111,DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECS33性质：性质：1）单位元素E自成一类 2）Abel群的每个元素自成一类 3）同一类中的所有元素都具有相同的级。（n是A元素的级，若An=E）证：若An=E，则 4）群G的阶h可以被共厄元素类的阶l所整除：即 h/l=整数。AAxxxAx11ExExxxAxAxxAxxAxxAxnn111111 5）不同的类中没有共同的元 6）除单位元这一类外，其余各类都不是子群
19、（因为无单位元）7）对于矩阵群，同一类中的各元互为相似矩阵，因此，同类中各元具有相同的迹。8）若C是群G的一个类，C是C中所有元的逆的集合，那么，C也是群G的一个类，称为C的逆类。定理：若g为G的子群，A为G的任意元素，则AgA-1也是一个子群，称作群g的共轭子群（A 可以g）。证：H1,H2 g，作 ，1）封闭性：2）单位元素：3）逆元：由于g中必有 ，g和AgA-1至少有一个单位元是共同的2.2.4 共轭子群（共轭子群（conjugate subgroup）和正规子群（不变子群：和正规子群（不变子群：nomal divisor）11H111AAHH1122AgAAAHH211211121H
20、HAAHAAHAHAH1AgA1 AEAE1111111111111AAHAHAAAHH1111 AgAAAHg1AgA例：例：其中，E，B构成子群 ，且：构成子群DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3BEg,EAEA1CDAABA11,AgACE指包含有相同的元素定义：g是G的子群，对任意AiG,恒有AigAi-1=g，则g称为G的不变子群或正规子群（即子群所有的左陪集和相应的右陪集相等）。例：111111111111iiiiiiiiiiiiG 是它的不变子群，这是因为：1,1 1 1 1 1 11 1 111 1 11111ii
21、ii 11111111111 11111iiii同理例：例：其中，E，D，F构成正规子群 DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3FDEg,gAgADCAAFAFBAADAEAEA111111;阿贝尔群的所有子群都是不变子群。指数为2的子群一定是不变子群。2.2.5 同构（同构（isomorphism）和同态）和同态(homomorphism）定义：定义：若群G和G的所有元素间均按某种规律存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规律一一对应，则称两群同构。即：若R,SG;R,SG;RR,SS,必有RSRS，则GG。“”一一对应，“”同构
22、 对G的所有定理，对G也成立，因此，在群论中，所有同构的群均被看作同一群。例：例：所有二阶群都同构于二阶反演群V2例：例：正三角形对称群C3V和S3有相同乘法表，因此互相同构。例：例：其中，E，B构成子群 ，共轭子群AgA-1为 两者同构DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3BEg,1,AgACE子群g和它的共轭子群AgA-1是同构的定义：定义：如果群G的任一个元素A都唯一地对应于群G的一个元素 A,而群G中的一个元素对应于群G的元素不只一个，并且如果对应于AB=C，就有AB=C，则称G同态于G，记为 GG。即CBACBABBAAB
23、BAACBAGCCBBAAGkji有且,2211212121例：1111ii11其中 称为同态对应的核core11111111111111111111iiiiiiiiiiiiG GG中与G中单位元E对应的那些元称为这一同态关系的同态核。同态定理：同态定理：若GG，分别与G中单位元相对应的G中元素的集合H构成群G不变子群，H称为同态对应的核。证明：（1）若 则 ，即对 ，因此是群G的子群。（2）若 则,AE BEABE EE,A BPABP P有具有封闭性,AP CGCCG而11CCACC E CE对一切 成立这就是说1CPCPCG对一切成立。所以P是G的正规/不变子群。2.2.6 商群（商群（
24、quotient group）定义：定义：对于集合S（不一定是群）分成集合 若 ，则恒有 ，这种分解称为正则分解（regular resolution）,21kjiSSSSSiSAjSBkSABiSjSkSAABBABBA定理：定理：群G按照正规子群g及其陪集的分解是一种正则分解。证：定义：定义：将群G按照正规子群g进行正则分解（陪集）,所得到的元素集合（即g及其所有陪集）当作元素，则称这样元素的集合为G按g分解所得的商群。ABgABggBgAg正规子群左右陪集相等hHigAgAggGGi,2证明：证明：商群也构成群证：设群G按g划分成商群的元素：1封闭性：2单位元：3逆元：令 ，则 4组合律
25、：同理：02211,FgEggAFgAFgAFffgAAggAAggAAFFjijijijiiiiiFgAgEgAFF0gAFii110111FggAAFFFFiiiiiigAAAgAAgAggAAgAFFFkjikjikiikjikjikjikjiFFFgAAAFFF例：例：4626366565626466563636462656366636656264646656364626265636646265636646266CCECCCCCECCCCCECCCCCCCCCCECCCCCECCCCCCCCEECCCCCEC111111112C C6群同态于C2，g为 是同态的核，且可以证明：g是一个
26、正规子群。如果以g来划分G，得两阶商群：且 同构。4626CCE 563664626,CCCCCEG GG绕6次轴：不转和转2为E，转2/6为C6，转2/3为C62，转为C63，转4/3为C64，转5/3为C65。GG映照fC2直积封闭性要求2.3 群的直（接乘）积群的直（接乘）积 EEEba定义：设ga（阶为h）和gb（阶为k）为群G的两个子群，它们之间元素之积可对易，即：aiga,bjgb，有 那么按群G的乘法得到的hk个元素aibj也构成一个群，称为ga和gb的直积群，记为：，ga和gb称为直积因子。证：封闭性：逆元：单位元：显然：并是G的一个子群。kjhiabbaijji,2,1,2,1,bagg bajijjiijijiggbabbaababa ,bajijiggbaba111bagg abbagggg *直积群的不同直积因子（如ai,bi等）的元素是相互对易的，但同一个直积因子中的元素可不对易（如ai,aj等）。*直积因子ga和gb都是直积群 的正规子群 取其共轭元 令 则 gb是 的正规子群 同理，ga也是 的正规子群bagg blgb kkiiikiijljijiljibbaaabaabbbababba11111)()()(xbajibbgxxg1bagg bagg
