1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院rxdtdxEmail:微微 积积 分分微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版社高等教育出版社微积分第四章第四章习题课习题课微积分洛必达法则
2、洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容微积分1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理3 3、柯西中值定理、柯西中值定理
3、4 4、洛必达法则、洛必达法则型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1,0,0.2 关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型可解决的类型.注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.微积分5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)1(,)1ln(,cos,sin,xxxxex Fermat 定理定理0)()()()()(,)(00000 xfxfxfxfxfxxxf，则，则或或有有的某一邻域内的某一邻域内处可导，且在处可导，且在在在若若 中值定理揭示了导数与函数之间的中值定理揭示
4、了导数与函数之间的关系，是导数应用的理论基础，是利用关系，是导数应用的理论基础，是利用导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁。性质的重要桥梁。微积分6 6、导数的应用、导数的应用(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法极值必要条件、第一、第二充分条件极值必要条件、第一、第二充分条件求极值的步骤求极值的步骤:(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点(5)函数图形的描绘函数图形的描绘(6)弧微分弧微分 曲
5、率曲率 曲率圆曲率圆 微积分例例1 1.65,6sinln的正确性的正确性上上在在验证罗尔定理对验证罗尔定理对 xy解解),1,0(,22:kkxkD.65,6上连续上连续且在且在 内处处存在内处处存在在在又又)65,6(cot xy)65()6(ff并且并且2ln 二、典型例题微积分.65,6sinln的条件的条件上满足罗尔定理上满足罗尔定理在在函数函数 xy,0cot xy由由内显然有解内显然有解在在)65,6(.2 x,2 取取.0)(f则则这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.微积分*例例2DarbouxDarboux定理定理:内可导内可导在在设设,)(baxf之间的每一个值之
6、间的每一个值与与必至少有一次取得介于必至少有一次取得介于则则)()()(bfafxf 证证首先假定首先假定0)()(bfaf不妨设不妨设0)(,0)(bfaf如右图如右图所示所示oyxab 由由假设知假设知上连续上连续在在,)(baxf处处取取得得最最大大值值在在某某点点故故)(xfba,这里这里微积分由由0)(af的的在在axxf)(右方邻近，有右方邻近，有)()(afxf 由由0)(bf的的在在bxxf)(左侧邻近，有左侧邻近，有)()(bfxf ba 由由 Fermat 定理定理,得得0)(f其次，取介于其次，取介于)()(bfaf 与与之间的任意数之间的任意数 C为为明确起见，不妨设明
7、确起见，不妨设)()(bfCaf 引进辅助函数引进辅助函数CxxfxF )()(内可导内可导在在则则,)(baxFCxfxF )()(微积分0)()(CafaF0)()(CbfbF由由上述已证知上述已证知0)(),(Fba使使Cf )(即即例例3 证明方程证明方程cbacxbxax 23423在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf )1(),0(ff则则的的符号不易判别符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle 定理来证定理来证微积分证证令令xcbacxbxaxxf)()(234 则则内可导内可导上连续，上连续，在
8、在)1,0(1,0)(xf且且0)1()0(ff故由故由Rolle 定理知定理知0)()1,0(f使使即即cbacxbxax 23423在在(0,1)内有一实根内有一实根例例4ccfcfcffxf)()()1,0(,0)1(,1)0()1,0(1,0)(使使证明证明且且内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在已知已知证证)()(xxfxF 记记上上在在则则1,0)(xF满足满足Rolle 定理的条件定理的条件0)()1,0(cFc使使微积分*例例5 5.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解.2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51!2
9、1)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 微积分例例6cpcxxxxpx,011lnarctan2lim0求求设设 解解pxxxxx 11lnarctan2lim0pxxxxx)1ln()1ln(arctan2lim0 )00(120111112lim pxpxxxx12201111lim2 pxxxxp340)1(1lim4 pxxxp0 c3 p34 c微积分例例7nxxnxxxnaaa11211lim)1(ln)ln(11211limnaaanxxxnxxe ln)ln(lim11211naaanxxnxxxe ln)
10、ln(lim11211naaanxxnxxx 而而xnaanxnxx1ln)ln(lim111 )00(微积分22111111111lnln1limxxaaaaaannxnxxnxx naaannlnlnln21 )ln(21naaa xxnxxxnaaa 11211lim)ln(21naaae naaa21 微积分.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,1,0)(bafbfabaffxf 使使内存在不同的内存在不同的在在对任意给定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设例例8 8证证,均为正数均为正数与与ba10 baa,1,0)(上连续上连
11、续在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1,0(存在存在有有上分别用拉氏中值定理上分别用拉氏中值定理在在,1,0)(xf微积分),0(),()0()0()(fff)1,(),()1()()1(fff（1）（2）,1)1(,0)0(ff注意到注意到由（由（1）,（2）有）有)()(1bafbbafa )(fbaa （3）（4）)()(11 ff )(fbab （3）+（4）,得得)()(ff .)()(bafbfa 微积分例例9问问方程方程)0(ln aaxx有有几个实根几个实根解解)0(ln)(xaxxxf记记axxf 1)(axxf10)(得得令令时时当当ax1 0)(
12、xf时时当当ax1 0)(xf11ln)1(max aaff同时也是最大值同时也是最大值分分三种情况讨论三种情况讨论微积分011ln)1(aafea1 由于由于)(limxfx )(lim0 xfx方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于),1(),1,0(aa011ln)1(aafea1 方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即ax1 011ln)1(aaf方程无实根方程无实根微积分)1,0(21)(:,1)(),1()0(,1,0)(xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数*例例1010证证,1,00 x设设有有展成一阶泰勒公式展成一阶泰勒公式处把处把在在
13、,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则有则有令令,1,0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff （1）（2）微积分2022010)1)(21)(21)(xfxfxf （1）（2）,),1()0(ff 注意到注意到则有则有,1)(xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1,00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命题成立可知命题成立的任意性的任意性由由 x微积分.,)1,2(sin2程程两曲线的公共曲率圆方两曲线的公共曲率圆方点
14、处点处并写出并写出向向点具有相同的曲率和凹点具有相同的曲率和凹在在使抛物线与正弦曲线使抛物线与正弦曲线一抛物线一抛物线求作求作处处上点上点过正弦曲线过正弦曲线MMcbxaxyMxy *例例1111解解为为曲率圆的圆心坐标分别曲率圆的圆心坐标分别曲率半径和曲率半径和处的曲率处的曲率在点在点曲线曲线,),()(yxxfy ,)(1 232yyk ,1k yyyyyyyxx2020)(1)(1 微积分,sin)(xxfy 对于曲线对于曲线,1)2(f有有 )2(f.1,2cbxaxy 对于曲线对于曲线 )2(f有有,242cba )2(f,ba )2(f.2a若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件
15、,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有,1242 cba,0 ba.12 a )2(f,0微积分解此方程组得解此方程组得,21a,2 b.812 c故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为.8122122 xxy),0,2(,1 曲率半径曲率半径曲率圆的方程为曲率圆的方程为.1)2(22 yx两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为微积分.,12并作函数的图形并作函数的图形渐近线渐近线拐点拐点区间区间凹凸凹凸极值极值的单调区间的单调区间求函数求函数 xxxy例例1212解解:)1(定义域定义域,1 x),1()1,1()
16、1,(即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y)2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx,0 y令令.3,0,3 x得得微积分y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx,0 y令令.0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标,lim)3(yx;没有水平渐近线没有水平渐近线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx 微积分xyax lim)1(1lim2 xxxxx,1)(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx
17、,0.的斜渐近线的斜渐近线为曲线为曲线直线直线yxy ,)3,0,3(),1()4(分点分点和可能拐点的横坐标为和可能拐点的横坐标为驻点驻点以函数的不连续点以函数的不连续点 xxxx列表如下列表如下:微积分x)3,()1,0()1,3(3)0,1(y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0)3,1(),3(3xy极大值极大值,323 3xy极小值极小值,323).0,0(拐点为拐点为微积分xyoxy 1 1作图作图微积分*例例13 Rolle 定理的推广形式定理的推广形式0)(),()(lim)(lim),()(fbaxfxfbaxfbxax，使，使则则内
18、可微，且内可微，且在在若若证证 baxxfxfbaxxfxFbxax,)(lim)(lim),()()(令令内内可可微微上上连连续续在在则则),(,)(babaxF)()(bFaF 且且由由Rolle 定理知定理知0)(),(fba0)(),()(lim)(lim),()(fxfxfxfxx，使，使则则内可微，且内可微，且在在若若微积分证一证一)2,2()(tan)(ttftF记记则由则由题设知题设知AxftFxt )(lim)(lim02 AxftFxt )(lim)(lim02 存在存在且且ttftF2sec)(tan)(故故由由知知0sec)(tan)(),2,2(2 ttfF 使使而而
19、0sec2 t),(tan0)(f微积分证二证二若若Axf)(则则结论显然成立结论显然成立下设下设Axf)(不妨设有不妨设有Axfx )(),(00使使Axf )(00 记记知知由由Axfxfxx )(lim)(lim时，有时，有当当XxxX|,|00)(Axf)(0 xf 上连续上连续在在又又,)(XXxf 必必存在最大值存在最大值M即即MfXX )(,使使微积分)()()(|0 fMxfxfXx 时，有时，有又当又当上的最大值上的最大值在在也是也是),()()(xfMf 故由故由Fermat 定理定理知知0)(f0)(),()(lim)(lim),()(faxfxfaxfxax，使，使则则
20、内可微，且内可微，且在在若若证一证一类似于类似于证一，作变换证一，作变换)2,0(tan ttax证二证二作变换作变换11 axt11 atx微积分证三证三 若若Axf)(则结论显然成立则结论显然成立下设下设Axf)(不妨设有不妨设有Axfax )(),(00使使知知由由Axfxfxax )(lim)(lim)(00 xfA 对对时，有时，有当当),(,|,|,|00 aaxXxaxxXAxfAxf )()(0)()(0 xfxf 上连续上连续在在又又,)(Xaxf 必存在最小值必存在最小值m即即mfXa )(,使使微积分)()()(),(,|0 fmxfxfaaxXx 都有都有时，时，又当又
21、当上的最小值上的最小值在在也是也是),()()(xfmf 故由故由Fermat 定理定理知知0)(f0)(),()(lim)(lim),()(fbxfxfbxfbxx，使，使则则内可微，且内可微，且在在若若证明与证明与类似类似微积分例例14)()1()()1(),(,),1,0(0)(),()(212121xfxfxxfbaxxxfbaxf ，有，有试证：对试证：对内有二阶导数，内有二阶导数，在在设设证证不妨设不妨设21xx 210)1(xxx 记记201xxx 则则)(,)(1(12021210 xxxxxxxx 由由Lagrange定理，有定理，有)1()(1)()()(12110 xxf
22、xfxf )2()()()()(12202xxfxfxf )(22011xxx 微积分 )(0)(xfxf)()(21 ff )1)(2()1(得得)()1()()(210 xfxfxf )(1()()(1221xxff 0)()1()()1(2121xfxfxxf *注注这个结论其实就是这个结论其实就是 Jensen 不等式不等式(n=2的情况的情况)其几何意义，如下图所示其几何意义，如下图所示微积分oxy1x2xAB0 x弦弦AB的方程的方程)()()()(11212xxxxxfxfxfy则弦则弦AB上上相应于相应于x0的纵坐标为的纵坐标为)(1()()()(12121210 xxxxxfxfxfyxx )()1()()1()(121xfxfxf )()1()(21xfxf 凹凹弧：曲线上的点低于弦上的对应点弧：曲线上的点低于弦上的对应点0 xxy)(0 xf
