1、序言)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上连续，则)()()()(aFxFdttFRxal若F(x)在a,b上连续，则导数（切线斜率）xi-1 xi定积分（面积）创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(-N,-语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）外微分形式(整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数
2、）l（1）1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；例：例：Dirichlet函数不Riemann可积。QxQxxD 1,01 1,00)(1lim)(10|iniiTbaxMdxxf上积分0lim)(10|iniiTbaxmdxxf下积分 1902年年Lebesgue在其论文在其论文“积分、长度积分、长度与面积与面积”中提出新见解，由此推进了积分理中提出新见解，由此推进了积分理论的发展。（参见：论的发展。（参见：Lebesgue积分的产生及积分的产生及其影响，数学进展，其影响，数学进展，2002.1）dxxfdxxfnnbanban)(lim)(liml（2
3、）积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）勒贝格思路：集合 集合“长度”（测度）定义新的积分（L-积分）积分与微分关系 从这个知识脉络图，我们可以看从这个知识脉络图，我们可以看到，在实变函数中，集合的概念被经到，在实变函数中，集合的概念被经 从今天开始，我门来学习第一章有从今天开始，我门来学习第一章有常应用，所以，我们要先研究集合。常应用，所以，我们要先研究集合。关集合的知识。关集合的知识。l 实变函数论产生于19世纪末，20世纪初，主要由法国数学家勒贝格（Lebesgue,18751941）创建它是普通微积分学的继续，其目的是想克服牛顿和莱布尼茨所建立的微
4、积分学存在的缺点，使得微分和积分的运算更加对称、更加完美(1)Riemann积分的定义积分的定义积分与分割、介点集的取法无关积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。函数图象下方图形的面积。xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中其中iiiiiixxxxx11 f(x)在在a,b上上Riemann可积可积iniiTbaxMdxxf10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|:)(inf:)(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中：其中：xi-1 xixi-1 xif(x)在在a,b上上
5、Riemann可积可积iniixT1,0，使得分划iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM:)(inf:)(sup11其中：其中：xi-1 xi f(x)在在a,b上上Riemann可积的充分条件是？可积的充分条件是？注：连续函数、只有有限个注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间间断点的有界函数和闭区间上的单调函数上的单调函数Riemann可积可积xi-1 xi注：注：D(x)的下方图形的下方图形可看成由可看成由0,1中每个中每个有理点长出的单位线有理点长出的单位线段组成。段组成。11iniixT，有分划1lim)(10|iniiTbaxMdxxf上积分上积分0lim)(10|
6、iniiTbaxmdxxf下积分下积分QxQxxD1,011,00)(0 1Riemann积分积分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xi为使为使f(x)在在a,b上上Riemann可积，可积，按按Riemann积分思想，必须使得积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。的函数不可积。Lebesgue提出，提出，不从不从分割定义域分割定义域入手，入手，而从而从分割值域分割值域入手；入手；(积分与分割、介点集的取法无关积分与分割、介点集的取法无关)1902年年Lebesgu
7、e在其论文在其论文“积分、长度与面积积分、长度与面积”中提出（参见：中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，积分的产生及其影响，数学进展，数学进展，2002.1）iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用用 mEi 表示表示 Ei 的的“长度长度”iniibamEdxxfL10,lim)()(取“极限”)(:1iiiyxfyxE取点集yiyi-1f(x)在在 Ei上的振幅不会大于上的振幅不会大于iniimEs1作和iiiyy1其中其中 mEi 表示表示 Ei 的的“长度长度”，Mxfmyyii)(,1其中Myyyymn210,0
8、 作分划即：即：对此对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：自己曾经作过一个比喻，他说：l假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值面值的大小分类的大小分类，然后，然后计算每一类的面额总值计算每一类的面额总值，再相加再相加，这就是这就是Lebesgue积分思想积分思想；l如不按面额大小分类，而是按从钱袋如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序取出的先后次序来来计算总数计算总数，那就是，那就是Riemann积分思想积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，高等理科教学高等理科教学，2000.
9、1）即采取即采取对值域作分划对值域作分划，相应得到对，相应得到对定义域定义域的分划的分划（每一块不一定是区间每一块不一定是区间），），使得在每一块上的振幅都很小，使得在每一块上的振幅都很小，即即按函数值的大小对定义域的点加以归类按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-10 1l(1)集合集合Ei 的的“长度长度”如何定义如何定义（第三章（第三章 测度论）；测度论）；l(2)怎样的怎样的函数函数可使可使 Ei 都有都有“长度长度”（第四章（第四章 可测函数）；可测函数）；l(3)定义定义Lebesgue积分积分并研究其性质并研究其性质（第五章（第五章 积分论）；积分论）；第一章第一章 集合，
10、集合，第二章第二章 点集，点集，第六章第六章 微分与不定积分微分与不定积分yiyi-1)(:1iiiyxfyxE1）高度抽象；）高度抽象；a)“似是而非似是而非”例1.有许多学生排成一列，且男女生交叉排列，在其中任取一片段，男女生的个数有三种可能：或男女一样多、或男生多一个、或女生多一个。也就是说在任意片段中男女生个数至多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数之间有无理数，任意两个无理数之间有有理数，任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎只有三种可能：或有理数无理数一样多、或有理数多一个、或无理数多一个。也就是说人一片段中有理数和无理数的个数至多相差一个。严密的逻辑推理
11、告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数要比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，由它不多，无它不少。即无理数居然和实数一样多。b)“似非而是似非而是”例2.有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说有理数和自然数一样多的话，没人敢承认，而我们可以通过严密的证明该结论是正确的。2）理论性强）理论性强l周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)l周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9l胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7l徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002l郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，
12、高等教育出版社,1987l夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2lHalmos，测度论(Measure theory)lRudin,实分析与复分析(Real and complex analysis).l北京九章图书北京九章图书 http:/.tw/l互动出版网 http:/www.china- 等编高等教育出版社，2010年6月.第一章 集合简介1.集 合 概 念2.集合的运算3.对等与基数4.可数集合5.不可数集合集合的概念是十九世纪七十年代集合的概念是十九世纪七十年代康托尔康托尔（Cantor 1845-1918）首先引入的，创立了）首先引入的，创立了“集合论集合论
13、”。而后。而后集合集合的观点与方法迅速渗透的观点与方法迅速渗透到数学的各个分支。到数学的各个分支。实变函数实变函数理论也是在此基础上产生的。理论也是在此基础上产生的。实变函数理论的中心是实变函数理论的中心是建立一种新的积建立一种新的积分理论分理论，即即勒贝格勒贝格Lebesgue积分积分。数学分析数学分析 讨论定义讨论定义在区间上在区间上的的连续函数连续函数。复变函数复变函数 讨论定义讨论定义在域上在域上的的解析函数解析函数。实变函数实变函数 讨论定义讨论定义在集合上在集合上的的可测函数可测函数。早在中学里就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补、的运算，因此本章前两节属于复习性质。不过，
14、无限集合的交与并，是以前没有接受过的。它在本课 中常常要遇到。一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽象）的全体称为集合。记为A,B,等等。集合的成员称为它的元素，记为a,b,c等等。二、表示法：1.列举 法：A=a，b，c，例例1 A=4，7，8，3.2.描述法：A=x|x满足性质p例例2 A=x|x 为自然数=IN；例例3 A=x|x为0与1之间的实数=0，1;例例4 A=x|x为平面上的向量=IR2;例例5 A=f|f 为0,1上的实函数 =f:0，1IR;三、简单概念 1.事物x与集合A的关系：x在A中或不在A中，两者居且必居其一。x在A中记为xA，x不在A中记为x A.2.集合
15、A、B间的关系：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记为AB.AB 或;BABABA，则称且如果的真子集。为则称且如果BAAxBxBA,为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之为空集，记为.关系名关系名称称表示方法表示方法 关系名称关系名称 表示方法表示方法属属 于于子集子集不属于不属于真子集真子集相相 等等 我们来看集合中的几个常用的关系式：我们来看集合中的几个常用的关系式：xAABAABxAAB在这几个概念中，我们必须注意：在这几个概念中，我们必须注意：1.1.表示集合与它元素之间的关系。表示集合与它元素之间的关系。2 .表示集合与集合之间的关系。表示集合与集合之间的关系。关于关
16、于“集合集合”，我们要注意两方面：，我们要注意两方面：第一：集合中的元素互异。第一：集合中的元素互异。第二：集合中的元素确定。第二：集合中的元素确定。例如：全体大个子。不构成集合例如：全体大个子。不构成集合四、包含关系具有如下性质定理1 对任意的集合A、B、C均有;)1(AA自反性：.,)3(CACBBA则，传递性：;)2(BAABBA，则，反对称性：注意：通常证明两个集合相等，总是利用（2）。ABBAAxBxBxAxBA,例 A=x|x是小于等于5的正整数B=1，2，3，4，5A=B例例7：例例8：例例9：例例10：康托尔（Cantoy 1845-1918）在19世创立了“集合论”，把无限集合也分成大小多少。例如他断言：全体实数比全体有理数“多”。这是数学向无限王国挺进的里程碑，也是实变函数理论的出发点。
