1、第三章第三章 幂级数展开幂级数展开3.2 3.2 幂级数幂级数3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开3.4 3.4 解析沿拓解析沿拓3.1 3.1 复数项级数复数项级数3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开3.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类称级数称级数复数项级数和复数项级数和,2,1,0kivuwkkk111kkkkkkviuwnkknkknkkviuw111前前n 项和项和若若Fwnkkn1lim有限有限1kkw收敛于收敛于F这时这时uunkkn1limvvnkkn1lim也收敛也收敛nF3.1 3.1 复数项级数复数项级数1 1、复数项级数复数项级数pnnnnpnwwwFF2
2、1pnnkkw1科西收敛判据：科西收敛判据：(级数收敛必要条件级数收敛必要条件)对于任意对于任意 0,有有N，使得使得nN时时p 为任意正整数为任意正整数绝对收敛：绝对收敛：1kkw122kkkvu收敛收敛2 2、复变函数项级数、复变函数项级数)()()(211zwzwzwkk各项都是各项都是z 的函数的函数对于对于B（或或l 上）任意上）任意z,给定给定 0,有有N，使使得得nN()时时pnnkkzw1)(称为级数在称为级数在B上一致收敛上一致收敛此时，若每项连续，此时，若每项连续，则和连续则和连续20201000)()()(zzazzaazzakkk令：令：1 1、比值判别法、比值判别法3
3、.2 3.2 幂级数幂级数讨论幂讨论幂级数级数为以为以z0 为中心的幂级数为中心的幂级数202010)()(zzazzaa考虑考虑kkkkkzzazza)()(lim0101)(lim01zzaakkk11limkkkaaRRzz)(0绝对收敛绝对收敛1发散发散绝对收敛绝对收敛2 2、根值判别法、根值判别法发散发散1)(lim0kkkkzzaRzz)(0绝对收敛绝对收敛1)(lim0kkkkzza发散发散kkkaR1limRzz)(0绝对收敛绝对收敛Rzz)(0发散发散3 3、收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径的的收敛半径收敛半径例：求幂级数例：求幂级数1ka以以z0为圆心半径为为圆心半径为R的
4、圆内级数绝对收敛，这个圆称的圆内级数绝对收敛，这个圆称为为收敛圆。收敛圆。R为收敛半径为收敛半径1事实上：事实上：0kkz解：解：收敛圆：收敛圆：以以0为圆心为圆心半径为半径为1nkkz0zzn1110kkzzznn11lim11z如如z11)1(z1limkkkaaR1z的的收敛半径收敛半径例：求幂级数例：求幂级数kka)1(1公比为公比为02)1(kkkz解：解：收敛圆：收敛圆：以以0为圆心为圆心半径为半径为102)1(kkkz2z1z如如211z)1(z1limkkkaaR1z的的收敛半径收敛半径例：求幂级数例：求幂级数02)2/(kkz解：解：kkkaR221limkkk222/11l
5、im200)()(kkkzzazf定理：设定理：设f(z)在以在以z0为圆心的为圆心的圆圆CR内解析，则对圆内的任内解析，则对圆内的任意意z点，点，f(z)可展开为可展开为其中：其中：3.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开!)()()(210)(101kzfdzfiakCkkR0zz0zzCR1为为圆圆CR内包含内包含z且与且与CR同心的圆同心的圆CR1CR证：证：cauch公式公式0zz0zz1)(21)(RCdzfizf)(1100zzzz)/()(111000zzzz20000011zzzzzzz100zzz00001kkzzzz0100)()(kkkzzzCRCR1而由而由cauch
6、公式公式1)(21)(RCdzfizf1)()()(210100RCkkkdfzzzi1)()(121)(1000RCkkkdfzizzlkkdzfikzf1)()()(2!)(00)()(kkkzzazf!)(0)(kzfakk展开展开例：在例：在z0=0邻域上把邻域上把公比为公比为zezf)(解：解：!212kzzzkzkk lim!)(0)(kzfakk0!1zkzkdzedk!1kze1limkkkaaR0!kkkz展开展开例：在例：在z0=0邻域上把邻域上把zzfsin)(解：解：z和和zzfcos)()(21sinizizeeiz)!)(!)(2100kkkkkizkizi)!)(
7、!)(2100kkkkkizkizi012)!12()1(kkkkz)(21cosizizeez02)!2()1(kkkkzz展开展开例：在例：在z0=0邻域上把邻域上把zzf11)(解：解：1z21zzz110kkz展开展开例：在例：在z0=0邻域上把邻域上把211)(zzf211z02kkz1z展开展开例：在例：在z0=1邻域上把邻域上把zzfln)(解：解：zzfln)(1ln)1(fin2zzf1)(2!1)(zzf3)3(!2)(zzfkkkzkzf)!1()1()()(1)1(f1)1(f!2)1()3(f)!1()1()1()(kfkkzlnkkzkkzzin)1(!)!1()1
8、()1(!2!1)1(!1122zlnkkzkkzzin)1(!)!1()1()1(!2!1)1(!1122kkzkzzin)1()1()1(21)1(22)11(z3.4 3.4 解析沿拓解析沿拓比较两个比较两个函数：函数：1zz11201zzzkk除除 z=1 以外以外设某个区域设某个区域b 上的解析函数上的解析函数f(z)，找出另一函数找出另一函数F(z),它在它在含有含有b 的一个较大的区域的一个较大的区域B上解析，且在区域上解析，且在区域b上等于上等于f(z)和和两者在较小区域等同两者在较小区域等同bB称称F(z)为为 f(z)的的解析沿拓解析沿拓1 1、解析沿拓概念、解析沿拓概念设
9、设f(z)，F(z)在某个区域在某个区域B上解析，若在上解析，若在B的任一的任一子区域子区域b 中中f(z)F(z)，则在整个区域则在整个区域B上必有上必有f(z)F(z)。2 2、解析沿拓唯一性概念、解析沿拓唯一性概念3.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开考虑如下幂级数考虑如下幂级数202010101202)()()()(zzazzaazzazzakkkzza)(0正幂部分收敛半径为正幂部分收敛半径为R1负幂部分，记负幂部分，记 =1/(z-z0),级数级数33221aaa的收敛圆半径为的收敛圆半径为 1/R2=即在即在 z-z0 =R2圆外圆外收敛圆收敛圆kkkaaR/lim)1(2kk
10、kzza)(0在圆环在圆环 R2 z-z0 R1内绝对一致内绝对一致收敛圆收敛圆kkkzzazf)()(0定理：设定理：设f(z)在圆环在圆环 R2 z-z0 0),可令可令 n=l+h hlhllxzhlxzl)21()!(1)21(!110令令-h=m,n=l hlhllxzhlxzl)21()!(1)21(!110hhlhllhzxhll102)21()!()1(!1)1(mmnmnnmzxmnn102)21()!()1(!1)1(mmnnmnzxnnmzf 002)2(!)!()1()(mmnmnnmzxmnn102)21()!()1(!1)1(z0mmmzzxzJezf)1(21)(
11、Jm为为m阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 3.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类kkkzzazf)()(0f(z)在某点在某点z0 不可导，而在不可导，而在z0的任意小邻域内处处可导，的任意小邻域内处处可导，称称z0为为f(z)的的孤立奇点孤立奇点f(z)正幂部分称为正幂部分称为解析部分解析部分，负幂部分称为，负幂部分称为主要部分主要部分(z-z0)-1的系数的系数a-1称为称为f(z)在在 奇点奇点z0的的留数留数202010)()()(zzazzaazf若若称称z0为为f(z)的的可去奇点可去奇点)()()()(0101010zzaazzazzazfmmmm若若称称z0为为f(z)的的本性
12、奇点本性奇点m为为z0的阶，一阶极点简称为的阶，一阶极点简称为单极点单极点第四章第四章 留数定理留数定理4.2 4.2 利用留数定理计算实变函数定积分利用留数定理计算实变函数定积分4.1 4.1 留数定理留数定理4.1 4.1 留数定理留数定理kkkzzazf)()(0若若l所围区域解析，则所围区域解析，则考虑积分考虑积分ldzzf)(0)(ldzzf若若l所围区域包围一个奇所围区域包围一个奇点点z0，展开展开f(z)，则则0zl0ldzzzadzzfklkkl0)()(00)()(lldzzfdzzf1n0ldzzi12110)(21lndzzi由由(l不包围不包围)(l包围包围)dzzza
13、dzzfklkkl0)()(00zl0l12ia)(Re20zsfi)(Re01zsfaa-1称为称为f(z)在在 奇点奇点z0的的留数留数若若l所围区域包围所围区域包围n个奇个奇点点b1 b2 b3.，bn,则则321)()()()(lllldzzfdzzfdzzfdzzf1l2l2bl1b3b3l)(Re)(Re)(Re2321bsfbsfbsfinjjbsfi1)(Re2称为留数定理称为留数定理如何求如何求a-1？若若z0为为单极点单极点)()(01001zzaazzazf)()(01001zzaazzazf2010010)()()()(zzazzaazfzz10)()(lim0azfz
14、zzz若若)()()(zQzPzf)()()(lim00zQzPzzzz)()(00zQzP)()()(lim00zQzPzzzz若若z0为为f(z)的的m阶阶极点极点)()()()(010011010zzaazzazzazzazfmmmmmmmmmzzazzazzaazfzz)()()()()(00101010)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz)()(lim)(Re000zfzzzsfzzm阶阶极点极点单单极点极点njjlbsfidzzf1)(Re2)(留数定理留数定理求求 Resf(0)例：例：zezf1)(解：解：211!2111zzez1)0(R
15、esf求求 Resf(1)例：例：)1/(1)(nzzf解：解：)()1(lim)1(Re1zfzsfz)1/()1(lim1nzzz)/(1lim11nznzn/1的极点，求的极点，求留数留数例：确定函数例：确定函数)4/()2()(35zzizzf解：解：)()2(lim)2(Re2zfizisfiz)4(2422335zzizzziz)2)(2(23izizziz)2(13izz321limzizi 818i)()!13(1lim)0(Re3220zfzdzdsfz)21(!21lim220izdzdz)2(1lim30izz8i例：计算回路积分例：计算回路积分解：解：)()11(lim
16、)(Re200zfzzsfzz)10(211z1221zdzzz被积函数的奇点为被积函数的奇点为单位圆单位圆 z =1 内的内的奇点为奇点为2011z211)1)(1(11)1(1)11(1lim20zzzzzzzz21)11(lim220)()11(lim)(Re200zfzzsfzz21211221zdzzz)(Re20zsfi21i4.2 4.2 利用留数定理计算实变函数定积分利用留数定理计算实变函数定积分(1)、无穷积分、无穷积分dxxf)(若若f(z)在实轴上无在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇奇点，在上半平面除有限个孤立奇点点bk(k=1,2,n)外处处解析；在包括实轴在内的
17、上外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中半平面中，当，当z 无穷时，无穷时，zf(z)一致趋于零，一致趋于零，则则dxxf)(nkzkbsfi10Im)(Re2kbo-RRCR)(/)()(xxxf)(x)(x则则至少高于至少高于 两阶两阶证明：证明：dxxf)()()(lim)(RCRRRldzzfdxxfdzzfnkzkbsfi10Im)(Re2kbo-RRCRRCRdzzf)(limRCRzdzzzf)(limRRzzfR)(maxlim0nkzkbsfi10Im)(Re2例：计算积分例：计算积分解：解：21xdxI上半平面奇点为上半平面奇点为z0=i211)(zzf)(1iziz)(R
18、e2isfiI)()(lim2zfiziizii212例：计算积分例：计算积分解：解：nxdxI)1(2被积函数的奇点为被积函数的奇点为上半平面为上半平面为n阶极点阶极点z0=inzzf)1(1)(2nniziz)()(1n为整数为整数)()()!1(1lim)(Re11zfizdzdnisfnnniz)()!1(1lim11nnnizizdzdniznniznnnnn)1()()!1()11()1)()(Re2isfiI)(Reisfiznniznnnnn)1()()!1()11()1)(12)2()!1()22()1)(ninnnnnnninnnn)1(2)!1()22()1()1(121
19、innnnn 122)!1()22()1(222)!1()22()1(nnnnn(2)、三角函数有理积分积分、三角函数有理积分积分20)sin,(cosdR若若R(cos,sin)为为 cos,sin 的有理函数，且在的有理函数，且在0，2 上上连续，连续，则则nkzzsfi11)(Re2)2,2(1)(11izzzzRzizf其中其中20)sin,(cosdR表示表示f(z)在单位圆内所在单位圆内所有有奇点的留数和奇点的留数和nkzzsf11)(Re证明：证明：2/)(cosiieeiez)2/()(sinieeii2/)(1zz)2/()(1izzdiedzi201z20)sin,(cos
20、dRizd111)2,2(zizdzizzzzR1)(zdzzfnkzzsfi11)(Re2例：计算积分例：计算积分解：解：20cos1adI令令有两个一有两个一阶极点阶极点(a 1)2u1221)12(22zzazdziaiuez 20222sin21uaaduI202cos12uaadu有两个一有两个一阶极点阶极点1)12()12(2221aaz1)12()12(2222aaz为单为单极点极点，在圆内，在圆内1)12()12(2221aaz1)12()12(2222aaz1)(Re22zsfiI21)12()12(122222zzaaziia21a1221)12(22zzazdziaI20
21、221sinaaad例：计算积分例：计算积分解：解：202cosxdxIn令令(a1)122)21(znizdzzzIixez 有一个奇有一个奇点点z=0,为为2n+1阶极点阶极点121222)1(21znnndzzzi)0(Re2212sfiin)()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnz121222)1(21znnndzzziI)()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnz)1()!2(1lim22220nnnzzdzdn)()!2(!)!2()!2(1lim2220220knnknnzzknkndzdnnknknknknknkn224
22、)!2(!)1224()124)(24()()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnznknknknknknkn224)!2(!)1224()124)(24(nk!)!2()0(Rennnsf)0(Re2212sfiiIn!)!2(222nnnn121222)1(21znnndzzziI(3)、含三角函数的无穷积分、含三角函数的无穷积分0cos)(mxdxxF其中其中F(z)为偶数，为偶数，G(x)为奇数为奇数0sin)(mxdxxG若若f(z)在实轴上无在实轴上无奇点，在上半平面除有限个孤立奇点奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk(k=1,2,n)外处处解析；在包括
23、实轴在内的上半平外处处解析；在包括实轴在内的上半平面中面中，当，当 z 无穷时，无穷时，f(z)一致趋于零，且一致趋于零，且m0则则0cos)(mxdxxFnkzimbkkebFsi10Im)(Re0sin)(mxdxxGnkzimbkkebGs10Im)(Re证明：证明：0cos)(mxdxxF02)(dxeexFimximx)()(2100dxexFdxexFimximxdxexFimx)(21kbo-RRCR)()(lim)(RCimxRRimxRlimzdzezFdxexFdzezFnkzimbkkebFsi10Im)(Re2kbo-RRCR)()(lim)(RCimxRRimxRli
24、mzdzezFdxexFdzezFnkzimbkkebFsi10Im)(Re20)(limRCimxRdzezFdxexFimx)(0cos)(mxdxxFnkzimbkkebFsi10Im)(Re由约定当引理由约定当引理0sin)(mxdxxGnkzimbkkebGs10Im)(Rekbo-RRCR0)(limRCimxRdzezF由约定当引理由约定当引理 z 无穷时，无穷时，f(z)在包括实轴在内的上半平面中在包括实轴在内的上半平面中，一致一致趋于零，趋于零，则则例：计算积分例：计算积分解：解：022cosaxmxdxI有两个一有两个一阶极点阶极点aizmaeaisFiI)(ReimzimzeazezF221)(上半平面上半平面极点极点 z=aimaeai21nkzimbkkebFs10Im)(Reimzaizeazaiz221)(limimzaizeaiz1lim)2/(aema例：计算积分例：计算积分解：解：0222)(sinaxmxdxxI有两个一有两个一阶极点阶极点aizimzimzeazzezG222)()(上半平面上半平面极点极点 z=aimaeam4nkzimbkkebFs10Im)(Reimzaizeazzaizdzd2222)()(!11lim)4/(aemIma
