1、2022-11-261离散型随机变量离散型随机变量 称称X 是是离散型随机变量离散型随机变量，并称，并称pi=PX=xi，i=1,2,为为X 的的分布律分布律.：如果随机变量如果随机变量X 至多取可列无穷个数值：至多取可列无穷个数值：x1,x2,pi=PX=xi,满足满足 （1）pi 0；（2）pi=1.i=1我们常用表格表示分布律：我们常用表格表示分布律：Xx1x2xiP X=xi p1p2pi2022-11-262离散型随机变量离散型随机变量 产品检验试验产品检验试验例如例如 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，由概率可加性得由概率可加性得 X x =X=xi，从而有从而有xix PX
2、 x =P X=xi=PX=xixixxix 所以所以分布函数分布函数 F(x)=pixix抛抛 骰骰 子子离散型随机变量的分布函数为阶梯型函数离散型随机变量的分布函数为阶梯型函数.2022-11-263离散型随机变量离散型随机变量 E1E1：抛一枚硬币出现正反面。抛一枚硬币出现正反面。E2E2：检查一件产品是否合格。检查一件产品是否合格。E3E3：射击，观察是否命中。射击，观察是否命中。E4E4：考一门课，是否通过。考一门课，是否通过。我们称之为我们称之为贝努贝努里试验里试验。特点特点：试验只有：试验只有两个结果，两个结果，A和和A。设贝努里试验的两个基本事件设贝努里试验的两个基本事件 之一
3、为之一为A，P(A)=p令随机变量令随机变量 X=1，若事件，若事件A 发生；发生；0，若事件，若事件A 不发生。不发生。则则X 的分布律为的分布律为X01PX=xi 1-pp称称X 服从服从(0-1)分布分布思考思考:X 的的分布函数分布函数怎样怎样?2022-11-264离散型随机变量离散型随机变量 ：将试验将试验E 按下述条件重复进行按下述条件重复进行n次。次。（1）每次试验的条件不变每次试验的条件不变；（2）各次试验的结果互不影响各次试验的结果互不影响。则称这则称这n次试验为次试验为n次重复独立试验次重复独立试验。若试验若试验E 恰好是贝努里试验，则称这恰好是贝努里试验，则称这n次试验
4、为次试验为n重贝努里试验重贝努里试验，或称，或称贝努里概型贝努里概型。对于一个贝努里试验对于一个贝努里试验，我们可以考察如下问题：，我们可以考察如下问题：（1）事件事件A 首次发生时的试验次数首次发生时的试验次数；（2）事件事件A 在试验第在试验第t次发生次发生k 次时的试验次数次时的试验次数；（3）n次试验中事件次试验中事件A 发生的次数发生的次数。在贝努里试验中，设事件在贝努里试验中，设事件A 发生的概率为发生的概率为p.2022-11-265离散型随机变量离散型随机变量 1）在贝努里试验中在贝努里试验中,设设事件事件A 首次发生的试验次数首次发生的试验次数则则 =k 表示首次试验成功在第
5、表示首次试验成功在第k次次.k=1,2,.,的分布律为：的分布律为：P=k=pqk-1;(q=1-p)服从服从参数为参数为p的几何分布的几何分布。几何分布几何分布的一个的一个重要性质：无后效性（无记忆性）重要性质：无后效性（无记忆性）P =n+m|n=P =m nmnP 证证明明：nmnPnP1 ,mnPpq11nk1k 1mnnpqq1 1mpq 2022-11-266离散型随机变量离散型随机变量 2）在贝努里试验中在贝努里试验中,设设事件事件A发生发生k 次时的试验次数为次时的试验次数为YY 的分布律为：的分布律为：ktk1k1tqpCtYP ,.,1kkt 称称Y 服从服从负二项分布负二
6、项分布（帕斯卡分布帕斯卡分布）负二项分布可看作几何分布的更一般情况。负二项分布可看作几何分布的更一般情况。设随机变量设随机变量X 表示事件表示事件A 发生的次数，则发生的次数，则X=0,1，2，n.3）在）在n次次贝努里贝努里试验中事件试验中事件A 发生的次数发生的次数。：在：在n重贝努里试验中重贝努里试验中,事件事件A 发生的概率为发生的概率为P(A)=p,0 p 1,则事件则事件A 发生的次数发生的次数X 的分布律为的分布律为 kXP kPn knkknp1pC n210k.,2022-11-267离散型随机变量离散型随机变量 证证:在在n重贝努里试验中，事件重贝努里试验中，事件A 在指定
7、的在指定的k次试验次试验中出现的概率为中出现的概率为 pk(1-p)n-k.在在n次试验中，选出次试验中，选出k 次试验来有次试验来有 且各种方式的事件互不相容，由概率的有限且各种方式的事件互不相容，由概率的有限所以结论成立所以结论成立.我们称随机变量我们称随机变量X 服从服从二项分布二项分布，记为，记为X B(n,p).特别地，特别地，0-1 分布可以看作分布可以看作X B(1,p)。种不同的方种不同的方式式.knC可加性可得可加性可得 knkknnp1pCkP 产品抽检试验产品抽检试验例如例如强弱对抗试验强弱对抗试验设备排障试验设备排障试验2022-11-268离散型随机变量离散型随机变量
8、 k=0,1,;l l 0 0。则称随机变量则称随机变量X 服从参数为服从参数为l l 的泊的泊松分布松分布。记为。记为 X P(l l )l lkk!泊松分布的泊松分布的重要性重要性在于在于:(1)现实中大量随机变量服从泊松分布现实中大量随机变量服从泊松分布;(2)泊松分布可视为二项分布的极限分布泊松分布可视为二项分布的极限分布.：若随机变量：若随机变量 X 的分布律为的分布律为PX=k=e-l l宇宇 宙宙 粒粒 子子2022-11-269离散型随机变量离散型随机变量 ：设随机变量序列设随机变量序列Xn B(n,pn),n=1,2,即即 P Xn=k =C (pn)k(1 pn)n-k,k
9、=0,1,nkn若若 lim npn=l l 0,0,则有则有nlim P Xn=k =e-l l.nl lkk!若若 lim npn 不存在时，是否有不存在时，是否有n思考思考:lim P Xn=k =e-l l？nl lkk!2022-11-2610离散型随机变量离散型随机变量 (2)实际问题中实际问题中,n 次独立重复试验中次独立重复试验中,“稀有事件稀有事件”出现的次数可认为服从泊松分布。出现的次数可认为服从泊松分布。注注:lim npn=l l n即数列即数列 pn 与与 是同阶的无穷小是同阶的无穷小.故可得故可得1n(1)当当n 够大够大,p较小时较小时,有有Pn(k)=C pk(
10、1-p)n-k e-l l.knl lkk!其中其中l l n p.设备排障试验设备排障试验 lim =l l npn1n2022-11-2611例例1 1 某种产品在生产过程中的废品率为某种产品在生产过程中的废品率为p p（00p p1 P X N =1 P X N =1-C (0.01)k(1-0.01)300-kk300k=0N 即是求上述不等式成立的最小即是求上述不等式成立的最小N 值。值。2022-11-2616例例4 4：有：有300300台独立运转的同类机床，每台发生故障的台独立运转的同类机床，每台发生故障的概率都是概率都是0.010.01，若一人排除一台的故障。问至少需要，若一
11、人排除一台的故障。问至少需要多少名工人，才能保证不能及时排除故障的概率小于多少名工人，才能保证不能及时排除故障的概率小于0.010.01。解：设解：设X 表示同一时刻发生故障的机床数表示同一时刻发生故障的机床数,X B(300,0.01)。配配N 个工人个工人,应使应使 0.01 0.01 P X N =1 P X N =1-C (0.01)k(1-0.01)300-kk300k=0N 即是求上述不等式成立的最小即是求上述不等式成立的最小N 值。值。2022-11-2617 因为因为3003000.01=3(0.01=3(此值很小此值很小),),故可近似认为故可近似认为X服从服从l l 为为3
12、 3 的泊松分布。即的泊松分布。即 X P(3)。查附表查附表1 可得可得P X 7 =0.011905 0.01P X 8 =0.003803 P X N =e-3 k=N+13kk!所以，至少需要配备所以，至少需要配备8 个修理工人。个修理工人。2022-11-2618例例 同时抛掷两颗骰子同时抛掷两颗骰子,观察它们出现的点数观察它们出现的点数,求两求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布颗骰子中出现的最大点数的概率分布.解解:设两颗骰子中出现最大点数为设两颗骰子中出现最大点数为X,则则X的可能取的可能取值为值为:1,2,3,4,5,6 基本事件总数基本事件总数:36.1只只包包含含一一个个基
13、基本本事事件件X包包含含的的基基本本事事件件个个数数kX 两颗骰子都出两颗骰子都出现现k点点 1一颗出现一颗出现k点点,另另一颗小于一颗小于k点点11121kCC的的分分布布律律为为XX1 23456p1/361/125/367/361/411/362022-11-2619 例例 已知运载火箭在飞行中已知运载火箭在飞行中,进入它的仪器舱的宇进入它的仪器舱的宇宙粒子数服从参数为宙粒子数服从参数为的泊松分布的泊松分布.而进入仪器舱的而进入仪器舱的每个粒子落到仪器的重要部位的概率等于每个粒子落到仪器的重要部位的概率等于p,试求恰试求恰有有k个粒子落到仪器重要部位的概率个粒子落到仪器重要部位的概率.分
14、析：粒子落到仪器重要部位的试验是由相关联分析：粒子落到仪器重要部位的试验是由相关联的两个试验所组成：第一个试验是宇宙粒子进入仪器的两个试验所组成：第一个试验是宇宙粒子进入仪器舱，再是进入仪器舱的这些粒子落到仪器舱重要部位，舱，再是进入仪器舱的这些粒子落到仪器舱重要部位，这类问题可用全概率公式求解。这类问题可用全概率公式求解。解：从第一个试验入手，划分样本空间。解：从第一个试验入手，划分样本空间。设设 X表示宇宙粒子进入仪器舱的个数。由题设表示宇宙粒子进入仪器舱的个数。由题设XP()即即 ,.,!210memmXPm l ll l显然显然 X=m,(m=0,1,2,.)构成样本空间的一个划分。构
15、成样本空间的一个划分。设设 Y表示落到重要部位的粒子数，由题意知表示落到重要部位的粒子数，由题意知 m210kp1pCmXkYPkmkkm,.,由全概率公式得所求概率为由全概率公式得所求概率为2022-11-2620 mXkYPmXPkYPom ommme!l ll l kmkkmp1pC *km l ll l ekpk!kmkmkmkmp1!l lkmn l ll l ekpk!0nnnp1!l l l ll l ekpk!p1e l l*pkekpl ll l !,.,210k 落到仪器重要部位的粒子数服从参数为落到仪器重要部位的粒子数服从参数为p 的泊松分布。的泊松分布。2022-11-2621祝您成功！祝您成功！
