1、概率论与数理统计2022-11-111概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。2概 率 论概率论的基本概念34关键词：样本空间 随机事件频率和概率条件概率事件的独立性概率论的基本概念51 随机试验确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象确定不确定不确定自然界与社会生活中的两类现象例：向上抛出的物体会掉落到地上 明天天气状况 买了彩票会中奖6概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。随机试验。它具有以下特性：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生 例：抛一枚硬币
2、，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；72 样本空间随机事件(一一)样本空间样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间样本空间，记为S=e，称S中的元素e为基本事件基本事件或样本点样本点S=0,1,2,；S=正面，反面；S=(x,y)|T0yxT1；S=x|axb 记录一城市一日中发生交通事故次数 例：一枚硬币抛一次记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y 记录一批产品的寿命x8(二)随机事件随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S=0,1,2,；
3、记 A至少有10人候车10,11,12,S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数，如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件必然事件。为方便起见，记为不可能事件不可能事件，不包含任何样本点。9(三)事件的关系及运算事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）例：记A=明天天晴，B=明天无雨记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面 2 ABABBA1 ABAB：事件 发生一定导致 发生BABABASAB10 事件的运算|ABx xAxBAB或：与 至少有一发生。121121,nininin
4、iAAAAAAAA：至 少 有 一 发 生：同 时 发 生SBASABSBAAB A与B的和事件，记为,AB A B AB A与B的积事件，记为|ABx xAxBAB且：与 同时发生。当AB=AB=时，称事件A A与B B不相容的，或互斥的。11“和”、“交”关系式1211nniiniiAAA AA；1211nniiniiAAAAA；AB AB ABABABABSABASA|A BABx xAxB且,AASABSAAA BA BA A 的记为,若逆事件互逆、对立,称互为UU 例：设A A=甲来听课，B B=乙来听课 ，则：甲、乙至少有一人来甲、乙都来甲、乙都不来甲、乙至少有一人不来123 频率
5、与概率(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A=听课迟到，则#频率 反映了事件A发生的频繁程度。An()nAfAnn；()nfA1 n；()15 1788%nfA()nfA试验序号n=5n =50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.622252125242
6、1182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表表 1 1 例：抛硬币出现的正面的频率14实验者nnHfn(H)德摩根204810610.5181蒲 丰404020480.5069K皮尔逊1200060190.5016K皮尔逊24000120120.5005表表 2 215*频率的性质：且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p()nfA121110()12()13,()()nnkkknin
7、iiifAfSA AAfAfA。若,两两互不相容，则 16(二)概率 定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率概率。()nfA10()1P A。2()1P S。12113,()()niiiiA AAPAP A。若,两两互不相容，则 172()()()()()ABP BAP BP AP BP A，若则有 3 ()()()()P ABP AP BP AB概率的加法公式：1 ()1()P AP A性质：AAS()()1P AP A()0P BAAB()()()P BP AP AB()()()()0P BP AP ABP BA()()
8、P BP A()ABABAB()()()P ABP AP BAB2()()()BABP BABP BP AB。又，由 知()()()()P ABP AP BP AB#3。的推广：1111121()()()()(1)()nniiijiij ninijknij k nPAP AP A AP A A AP A AA ()0()1P AAP AAS 不能；不能；184 等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：1.S中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)AP AS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型等可能概型(或古典概型或古典概型)。19例1：一袋中有8个球，编号
9、为18，其中13 号为红球，48号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球，记A=摸到红球，求P(A)解：S=1,2,8 A=1,2,3 38P A20例2：从上例的袋中不放回的摸两球，记A=恰是一红一黄，求P(A)解：11235815()/53.6%28P ACC C()/,0,1,kn knkDN DNP AC CCkn0LmC（注：当Lm或L0，i=1,2,n；则称：12nAASABABAB1()(|)(|)()(|)iiinjjjP B P A BP BAP B P A B()(|)()iiP B AP BAP AijABABij与不相容1()()(|)njjjP AP BP
10、 A B为全概率公式全概率公式1()()njjP AP AB1()(|)njjjP BP A BB1B2BnSA证明：证明：定理：接上定理条件，称此式为BayesBayes公式。公式。36*全概率公式可由以下框图表示：设 P(Bj)=pj,P(A|Bj)=qj,j=1,2,n易知：11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A B37例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。()0.80,(|)0.20
11、,(|)0.90P AP B AP B A已知 1 ()()P BP ABAB()(|)()(|)P A P B AP A P B A0.8 0.2 0.2 0.9 34%()()1682 (|)()()()34 17P ABP ABP A BPBP ABP ABABAB与不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：设A=甲出差，B=乙出差38 例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性，C=被诊断患有癌症 则有：已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？(|)5%,(|)5%,P A CP A C()(|)(
12、)P ACP C AP A()(|)0.087()(|)()(|)P CP A CP C P A CP C P A C若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987说明这种试验方法可在医院用解：考察P(C|A)的值若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8.7个，所以不宜用于普查。396 独立性 例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A()0,()0P AP B不放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，A1的发生对A2的发生
13、概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响定义：设A，B为两随机事件，若P(B|A)=P(B)，即P(AB)=P(A)*P(B)即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立相互独立。40 注意：,1A BA BA BA BP ABP AP BP ABP AABP AP ABP AP BP A P B相互独立相互独立相互独立相互独立当时1212112,2,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA定义：设为 个随机事件，若对 均有：则称相互独立1 两两独立不能相互独立2 实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性，而是由实际情形来判断其独立性。41 例：甲、乙两人同时
14、向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被击中的概率。()()()()CABP CP AP BP AB则：，()0.70.80.560.94P C 解：设 A=甲击中,B=乙击中C=目标被击中 甲、乙同时射击，其结果互不影响，A，B相互独立42 例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的 概率。,1,2,3,4 iAiiA解：设第 个元件运行正常系统运行正常1432注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同1234AAA AA则：1234,A A A A由题意知，相互独立231234()()()()P AP AP A AAp p
15、pp32512314()()P AP A A AA Appp另解，对吗？43 1,2p p 例：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？设各局胜负相互独立。,1,2,5iiAiP Ap i解：设第 局甲胜A 再设甲胜 22121231231121P AP A AA A AA A Apppp 三局二胜制：22213121PPPPPNoImageNoImage44总结：1.2.;3.01;1 1 1 2AnSeASAB ABAB AB AnfAnP AP SABP ABP AP BP AP AABP AP 样本空间 随机事件事件的关系：事件
16、的运算：频率：概率的定义：满足当时，概率的性质：当时 1211 3 =4.|,()(|)()()(|),(|)()(|)5.nniijjinjjjjBP ABP AP BP ABP ABP B AP ABP A P B AP AB BBSP B P A BP AP B P A BP BAP B P A B条件概率：当为 的一划分时，事件独立性45复习思考题复习思考题 1 1,3.,A BABABABABA BA BABABA BAB设 和 为两事件即“至少有一发生”事件 为“恰有一发生”事件与“同时发生”事件的和事件。此结论成立吗？1.“事件A不发生，则A=”,对吗？试举例证明之。2.“两事件
17、A和B为互不相容，即AB=,则A和B互逆”，对吗？反之成立吗？试举例说明之。4.甲、乙两人同时猜一谜，设A=甲猜中，B=乙猜中，则AB=甲、乙两人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8,则“P(AB)=0.7+0.8=1.5”对吗？5.满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？12 10,19 ,6.AAS SA ASAP A一口袋中有个球 其中有 个白球及 个红球。从中任意取一球 设取到白球则取到红球且设样本空间为中有两个样本点 而 是其中一个样本点问对吗？467.如何理解样本点是两两互不相容的？8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。10.什
18、么条件下称两事件A和B相互独立？什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？11.设A和B为两事件，且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问：(1)当A和B独立时,P(AB)为何值？(2)当A和B互不相容时,P(AB)为何值？,0,|1|9.ABP AP B AP BP B AP B AP B A 设 和 为随机事件问是否成立？是否成立？4713.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样为本空间 的一个划分？14.设A,B,C为三随机事件，当AB，且P(A)0,P(B)0时，P(C|A)
19、+P(C|B)有意义吗？试举例说明。15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0,问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？若成立，与概率的加法公式比较之。随机变量及其分布关键词：随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数 在上一章中，我们把随机事件看作样本空间在上一章中，我们把随机事件看作样本空间的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，用随机变量的取值来描述随机事件。用随机变量的取值来描述随机事件。一、随机变量一、随机变量引例：引例：E1:将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。将一枚硬币连掷
20、两次，观察正反面出现的情况。e1=（正，正）（正，正）2e2=（正，反）（正，反）1e3=（反，正（反，正)1e4=（反，反）（反，反）0 令令X=“正面出现的次数正面出现的次数”，则则X是一个随着试是一个随着试验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：由上可知，对每一个样本点由上可知，对每一个样本点e，都有一个，都有一个X的取值的取值X(e)基本结果基本结果(e)正面出现的次数正面出现的次数X(e)与之对应。与之对应。我们把我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。称为定义在这个试验上的随机变量。E2：掷一枚骰子，观察出现的点数：掷一枚骰子，观察出现的
21、点数.令令X=“正面出现的点数正面出现的点数”E3：某产品的使用寿命：某产品的使用寿命X,X=0.反面反面正面正面令令,0,1X E4：掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的：掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况情况.一般地，对每一个随机试验，我们都可以引入一般地，对每一个随机试验，我们都可以引入一个变量一个变量X，使得试验的每一个样本点都有一个，使得试验的每一个样本点都有一个X的取值的取值X(e)与之对应，这样与之对应，这样就得到随机变量的概念就得到随机变量的概念.设设E是一个随机试验，其样本空间为是一个随机试验，其样本空间为S=e，在，在E上引入一个变量上引入一个变量X，如果对，如果
22、对S中每一个样本点中每一个样本点e，都，都有有一个一个X的取值的取值X(e)与之对应，我们就与之对应，我们就称称X为定义为定义在随机试验在随机试验E的一个的一个随机变量随机变量.（2）引入随机变量的目的：）引入随机变量的目的：用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数学的工具研究随机现象。学的工具研究随机现象。事件事件“正面至少出现一次正面至少出现一次”可表示为可表示为:“X1 1”；2、随机变量的表示：随机变量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示;例如：上例中，事件例如：上例中，事件“正面出现两次正面出现两次”可表示为可表示为:“0X2
23、”表示事件表示事件“正面至少出现一次正面至少出现一次”。“X=2”；例如：上例中例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X)=3/4；P(0X 2)=3/4；随机变量的取值具有一定的概率随机变量的取值具有一定的概率：(4)随机变量的类型：随机变量的类型：这两种类型的随机变量因其取值方式的不同这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式的不同。式的不同。具有随机性具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。随机变量的特点随机变量
24、的特点:离散型与连续型随机变量离散型与连续型随机变量。例例1（用随机变量的取值表示随机事件）用随机变量的取值表示随机事件）一报童一报童卖报，每份报卖报，每份报0.50元元,其成本为其成本为0.30元。元。报馆每天给报馆每天给报童报童1000份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。解：分析解：分析报童赔钱报童赔钱 卖出报纸的钱不够成本卖出报纸的钱不够成本当当 0.50 X1000 0.3时，报童赔钱时，报童赔钱.故故报童赔钱报童赔钱 X 600 令令X=“报童每天卖出的报纸份数报童每天卖出的报纸份数”试将试将“报童赔钱报童赔钱”这一事件用这一事件用X的取值表的取值
25、表示出来。示出来。（1）随机变量）随机变量X可能取哪些值？可能取哪些值？（2）随机变量）随机变量X取某个值的概率是多大？取某个值的概率是多大？3、随机变量的概率分布、随机变量的概率分布引入随机变量后引入随机变量后,上述说法相应变为下列表述方式：上述说法相应变为下列表述方式：对于一个随机试验，我们关心下列两件事情：对于一个随机试验，我们关心下列两件事情：（1）试验会发生一些什么事件？）试验会发生一些什么事件？（2）每个事件发生的概率是多大？）每个事件发生的概率是多大？对一个随机变量对一个随机变量X，若给出了以上两条，我们，若给出了以上两条，我们就说给出了就说给出了随机变量随机变量X的概率分布的概
26、率分布(也称分布律）。也称分布律）。这一章我们的中心任务是学习这一章我们的中心任务是学习离散型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布与连续型随机变量的概率分布.2 离散型随机变量及其分布 如果随机变量如果随机变量X X所有可能的取值是有限个或无所有可能的取值是有限个或无穷可列个，则穷可列个，则称称X X为离散型随机变量。为离散型随机变量。一、一、离散型随机变量的离散型随机变量的2.离散型随机变量离散型随机变量的分布律的分布律 要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须且只需知道以下两点：且只需知道以下两点：(1)X所有可能的取值所有可能的取值:(2)
27、(2)X取每个值时的概率取每个值时的概率:,3,2,1,)(,21 kpxXPxxxXkkk称称(1)式为式为离散型随机变量离散型随机变量X X的分布律的分布律.)1(,3,2,1)(kpxXPkk离散型离散型随机变量随机变量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格法描述。法描述。1)1)公式法公式法:2)2)表格法表格法:,3,2,1)(kpxXPkk21kpppxxX21X012pk1/42/41/4 例例1：将一枚硬币连掷两次，求将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次正面出现的次数数X”的分布律。的分布律。解：解：在此试验中，所有可能的结果有：在此试验中，所有可能的结果有：e1=
28、（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）；e3=（反，正（反，正)；e4=（反，反）。（反，反）。于是，正面出现的次数于是，正面出现的次数X”的分布律：的分布律：图形表示程序x=0,1,2;pk=1/4,2/4,1/4;figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3),Font
29、Size,21);figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)hold onplot(x,pk,r-.)ylim(0 0.6)hold offxlim(0,2.3)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3),FontSize,21);figure(color,w)bar(x,pk,0.1,r)ylim(0 0.6)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1
30、),FontSize,21);xlim(0,2.3)text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3),FontSize,21);figure(color,w)stem(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1),num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3),FontSize
31、,21);离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质 例例:设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：1)2,3,2,1,0)1kkkpkp.10,2,1,10)(kakXP试求常数试求常数a.11101apkk解：由为常数。为常数。0,.,2,1,0,!)(kkakXPk例例3:设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：xkkekx 0!提示：提示：试求常数试求常数a.0001,!.kkkkkkpaaaekkae解解：由由得得，练习练习:设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：,3,2,1,)32(kbkXpk试确定常数试确定常数b.解：由分布律的性质，有解：由分布律
32、的性质，有 11)32()(kkkbkXP1213232 bb21 b297.003.03 X所有可能的取值为：所有可能的取值为：0，1，2，3；取到正品；取到次品令AA97.0)(,03.0)(APAP则：则：)()0(AAAPXP )()1(AAAAAAAAAPXP 设有产品设有产品100件，其中件，其中3件是次品。从中有放回件是次品。从中有放回地任取地任取3件，求件，求“取得次品件数取得次品件数X”的分布律。的分布律。211397.003.0 C397.0 30397.0C 3,2,1,0,97.003.0)(33 kCkXPkkk97.003.03297.003.0223 C33303
33、.0C)()2(AAAAAAAAAPXP 这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来看一个重要的试验看一个重要的试验伯努利（伯努利（Bernoulli）试验。）试验。303.0)()3(AAAPXP(1)n(1)n次独立重复试验次独立重复试验1、伯努利（、伯努利（Bernoulli）试验）试验将试验将试验E重复进行重复进行n次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,则称这则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的.(2)n重重努利试验努利试验满足下列条件的试验称为伯努利（满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验）试验:每次
34、试验都在相同的条件下每次试验都在相同的条件下重复重复进行；进行；每次试验只有每次试验只有两个两个可能的结果可能的结果:A及及 每次试验的结果相互每次试验的结果相互独立。独立。nkppCkXPknkkn,.,2,1,0,)1()(若用若用X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数,则则n次试验中事件次试验中事件A发生发生k次的概率为：次的概率为：证明：证明：在在n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A在前在前k次出次出现，而在后现，而在后n-k次不出现的概率为次不出现的概率为:若满足上述条件的试验重复进行若满足上述条件的试验重复进行n次次,则称这则称这一串试验为一
35、串试验为n重伯努利重伯努利(Bernoulii)试验。试验。.)(pAPA 且且knkknppCkXP )1()(.,2,1,0nkknkknkppAAAAAAP )1()(_ 而事件而事件A在在n次试验中发生次试验中发生k次的方式为：次的方式为：knC 所所以以为为二二项项展展开开式式中中的的一一项项而而由由于于,)1(,1)1()1(0knkknnknknkknppCppppC :,记记作作的的二二项项分分布布服服从从参参数数为为称称pnX),(pnBX 用用X表示表示n重重Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次发生的次数，数，则，则X的分布律为的分布律为:;.,2,1,0)1(
36、nkppCkXPknkkn 此时此时称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为 XB(n,p).将将 一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子掷4次，求次，求3次掷出次掷出5点点pAP)(且且 解：解：令令A=“掷出掷出5 5点点”，点点”“掷掷不不出出5 A65)(,61)(APAP且且)61,4(bX32456561)3(334 CXP程序和结果x=0:4;y=binopdf(x,4,1/6);figure(color,w)plot(x,y,r.,MarkerSize,31)figure(color,w)bar(x,y,0.1,r)pxequal3=y(4)pxequal3=0.
37、01543209876543例例2 2：设有设有8080台同类型设备，各台工作是相互独台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是立的，发生故障的概率都是0.010.01，且一台设备，且一台设备的故障能有一个人处理。的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，考虑两种配备维修工人的方法，其一是由其一是由4 4个人维护，每人负责个人维护，每人负责2020台；台；其二是由其二是由3 3个人共同维护个人共同维护8080台。台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。维修的概率的大小。1,2,3,420iXA ii解：以 记“第
38、一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。以表示事件“第 人维护的台中发生故障不能 及时维修”，则知80台中发生故障不按第一种方法。能及时维修的 概率为：123412P AAAAP AP X20,0.01,Xb而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 12340.0169P AAAA即有：80,80,0.01,80YYb按第二种以 记台中同一时刻发生故障的台数，此时故台中发生故障而不能及时维修方法。的概率为：380800410.010.990.0087kkkkP YC 例例3 3：某人骑了自行车从学校到火车站，一路 上 要经过3个独立的交通灯，设
39、各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。(3,)Ybp 331 ()(1),0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp 解：这是三重伯努利试验例例4 4：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p0为一常数，为一常数，n是任意正整数。设是任意正整数。设npn=,则对任一固定的非负整数则对任一固定的非负整数k，有，有 考虑到直接计算上式较麻烦，当考虑到直接计算上式较麻烦，当n很大很大p很小时，很小时，有下列近似计算公式：有下列近似计算公式：1、故故证明：设证明：设,np
40、n knkknnnknnnk )1()1()1()1(!ennkn）时，（时，（当当对固定的对固定的-1,knkknnknknnnkknnnppC )1()(!)1()1()1(!)1(limkeppCkknnknknn !)1(limkeppCkknnknknn 若随机变量若随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为0,1,2,而取而取每个值的概率为每个值的概率为:.2,1,0,!kekkXPk 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布(Poisson),记为记为:1)泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的X().说明说明：数学模型都是数学模
41、型都是Bernoulli概型。概型。Poisson分布分布是二项分布当是二项分布当n很大很大p 很小时的近似计算。很小时的近似计算。20,0.05,1,kn kkknnpeC ppnpk二项分布与泊松分布有以下近 公 式 似：当时其中！程序对比程序对比泊松分布与二项分布泊松分布与二项分布 poisspdf(k,Lambda)（a)n=20;p=0.04;(b)n=8;p=0.4;上两图程序代码figure(color,w)n=20;p=0.04;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,r,LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*p;z=poisspdf(
42、x,lama);hold onplot(x,z,g-.,LineWidth,3)hold offlegend(二项分布:n=20,p=0.04,lambda=n*p=0.8)figure(color,w)n=8;p=0.4;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,r,LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);hold onplot(x,z,g-.,LineWidth,3)hold offlegend(二项分布:n=8,p=0.4,lambda=n*p=3.2)上述例上述例2的解答：的解答：53003000(5)0.
43、010.99kkkkP XC 5030030099.001.0)5(kkkkCXP求解求解3503!kkek0.9161查查表表300 0.013np3、Poisson分布的应用分布的应用分别用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,Lambda)函数编程解上一题 n=300;p=0.01;n1=5;x=0:n1;y=binopdf(x,n,p);binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);Poissonsum=sum(z)binosum=0.91709643671569Poissonsum=0.91608205796870分别用binocd
44、f(x,n,p)和poisscdf(k,Lambda)函数编程解上一题 n=300;p=0.01;n1=5;y=binocdf(n1,n,p)%binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisscdf(n1,lama)%Poissonsum=sum(z)y=0.91709643671569z=0.91608205796870 X 0 1 pk 1-p p 一个只有两个结果的随机试验，都可以一个只有两个结果的随机试验，都可以用（用（0）分布来描述。如新生婴儿的性别，）分布来描述。如新生婴儿的性别，打靶中与不中等等。打靶中与不中等等。即即X的分布律为：的分布律为：1,0,)1()(,1)
45、,(1kppkXPnpnBXkk则中，若在二项分布则称则称X服从（服从（0）分布。）分布。作业题P55：2、4、7、11、12、153 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数引例：设引例：设X=“掷一颗骰子时掷出的点数掷一颗骰子时掷出的点数”，记，记PX1=F(1）PX2=F(2）PX3=F(3）一般地：对任意的实数一般地：对任意的实数记记,x)()(xFxXP 我们把我们把 称为称为)(xF设设X X为一随机变量为一随机变量,为任意实数为任意实数,称称为为定义域为：定义域为：值域为：值域为：x)()(xXPxF xa函数函数F(a)的值等于的值等于X的取值落入区间的取值落入区间(-,a内的
46、概率值。如何求？内的概率值。如何求？),(x1,0)(xF 3）)()()()()()2(aFbFaXPbXPbXaP )()()1(bFbXP 0（ab)(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF)(xF()()()P aXbF bF a()P aXb()()()F bF aP Xa()P aXb()()()()F bF aP XaP Xb()P aXb()()()F bF aP Xb ；0 0 01 0 0 aFaXaFbFbXaaFaXaFbFbXaaFaFaXaFbFbXaPPPPPP例例1：已知随机变量已知随机变量X的分布律为的分布律为:X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/
47、4)23()23()1(:XPF解解),(),()2(xxF求求.23)(处的值处的值在在 xxF.),(并作图并作图xF(1)求求X的分布函数的分布函数(2)求求X的分布函数的分布函数43)1()0(XPXP0)()(0 xXPxFx时，时，当当)()(10 xXPxFx 时时，当当)()(21xXPxFx 时时，当当)()(2xXPxFx 时时，当当 2,121,4/310,4/10,0)(xxxxxF41)0(XP43)1()0(XPXP1)2()1()0(XPXPXPP(0 x 1)=F(1)-F(0)=?P(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0)=3/4-1/4+1/4 =3
48、/4 是右连续函数，即是右连续函数，即0)(lim)(xFFx是一个单调不减函数是一个单调不减函数且且,1)(0)2(xF)()1(xF)()3(xF1)(lim)(xFFx)()(lim0 xFxFxx 试说明试说明F(x)能否作为某个随机变量能否作为某个随机变量X的的分布函数分布函数其他,00,sin)(xxxF例例1：设有函数设有函数求求:(1)常数常数A，B的值；的值；(2)P(0X1)例例2：设随机变量设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：xBarctgxAxF,)(1)(0)()1(FF由性质由性质解：解：1)2(0)2(BABA 121BA)0()1()10()2(FFXP 4
49、1 0,10,0)()(xxxxxFC例例3:下列函数中可作为随机变量分布函数的是下列函数中可作为随机变量分布函数的是()arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 说明：021)()(FB 12)()(FD)0()(lim)1)(,0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx单增为正确答案易证C4 连续型随机变量及其概率密度定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：(),f x()()()xP XxF xf t dt(),F x,x()f x其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度。则称X为
50、连续型随机变量，连续型随机变量的取值充满一个区间，对这连续型随机变量的取值充满一个区间，对这种类型的随机变量不能象离散型的那样用种类型的随机变量不能象离散型的那样用分分布律布律描述，而是用描述，而是用概率密度概率密度描述。描述。与物理学中的质量线密度的定义相类似()()P xXxxf xx00()()()()()xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx()f x 的性质：1)()0f x+2)()1f x dx2112211221 ()()()()xxxx xxP xXxf t dtF xF x3)对于任意的实数，4)()()()f xx F xf x在连续点，()f x即在
