1、 根的判别式和根与系数的关系情境引入情境引入 一元二次方程的求根公式是什么？用一元二次方程的求根公式是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？一般地，对于一元二次方程一般地，对于一元二次方程 ，当，当 时，时，它的根是：它的根是：bbacxa24.2 axbxca200bac240 一元二次方程的求根公式是什么？用一元二次方程的求根公式是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先要把它化为一般形式，进而确定首先要把它化为一般形式，进而确定
2、 的值，再求出的值，再求出 的值，在的值，在 的前提下，再代入公式求解；当的前提下，再代入公式求解；当 时，方程无实数解（根）时，方程无实数解（根）.bac240 bac24 bac240 abc，用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：xxxxx x221 21;2 32 310;3 2110.xx121,12 xx1233无无解解新课讲授新课讲授 观察上面解一元二次方程的过程，一元观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出一
3、元二次方程的根据这个关系不解方程得出一元二次方程的根的情况呢？根的情况呢？思考思考 借助于借助于 的取值可以确定一元二的取值可以确定一元二次方程的根的情况次方程的根的情况.bac24 不解方程，你能判断下列方程的根的情况吗？不解方程，你能判断下列方程的根的情况吗？xxxxxx222160;269;325 从上面的解答，你能从上面的解答，你能得出什么结论？得出什么结论？有两个不相有两个不相等的实等的实数根数根有两个相有两个相等的实等的实数根数根没有实数根没有实数根 一元二次方程一元二次方程 的根的根的情况可由的情况可由 的值的符号来判定：的值的符号来判定：24bac 200axbxca 当当 时
4、，方程有两个不相等的时，方程有两个不相等的实数根；实数根；240bac 当当 时，方程有两个相等的实时，方程有两个相等的实数根；数根；24=0bac 当当 时，方程没有实数根时，方程没有实数根.240bac 我们把我们把 叫做一元二次方程叫做一元二次方程 的的根的判别式根的判别式，利，利用根的判别式可以不解方程判断一元二次用根的判别式可以不解方程判断一元二次方程的根的情况方程的根的情况.24bac 200axbxca 不解方程，判断下列方程的根的情况：不解方程，判断下列方程的根的情况：xxxxyyxmxm222211 352;2 420;43 410;42410 xxabcbac解解：原原方方
5、程程化化为为：、，原原方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根.22213520,352,4543210 不解方程，判断下列方程的根的情况：不解方程，判断下列方程的根的情况：xxxxyyxmxm222211 352;2 420;43 410;42410 abcbac解解：、，原原方方程程有有两两个个相相等等的的实实数数根根.221242,41424 404 不解方程，判断下列方程的根的情况：不解方程，判断下列方程的根的情况：xxxxyyxmxm222211 352;2 420;43 410;42410 yyabcbac解解：原原方方程程化化为为：、，原原方方程程没没有有实实数数根根22
6、23440,414,414 4 4630.不解方程，判断下列方程的根的情况：不解方程，判断下列方程的根的情况：xxxxyyxmxm222211 352;2 420;43 410;42410 abmcmbacmmm解解：、，原原方方程程有有两两个个实实数数根根22241241,424 1 41240.xxk xkk例例：已已知知关关于于 的的方方程程22123420.（1）当）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当当 取何值时，方程有两个相等的实数根？取何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当当 取何值时，方程没有实数根？取何值时，方程没有实数根？k
7、kkabkckk解解：,22(34)2,222434422169.backkkk （1）若方程有两个不相等的实数根，则）若方程有两个不相等的实数根，则 ，即，即 bac240kk91690,;16 xxk xkk例例：已已知知关关于于 的的方方程程22123420.（1）当）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当当 取何值时，方程有两个相等的实数根？取何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当当 取何值时，方程没有实数根？取何值时，方程没有实数根？kkkabkckk解解：,22(34)2,222434422169.backkkk （2）若方程有两个相
8、等的实数根，则）若方程有两个相等的实数根，则 ，即，即 bac24=0 kk9169=0,=;16 xxk xkk例例：已已知知关关于于 的的方方程程22123420.（1）当）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）当当 取何值时，方程有两个相等的实数根？取何值时，方程有两个相等的实数根？（3）当当 取何值时，方程没有实数根？取何值时，方程没有实数根？kkkabkckk解解：,22(34)2,222434422169.backkkk （3）若方程没有实数根，则）若方程没有实数根，则 ，即即 bac240kk91690,.16 综上所述，当综上所述，当
9、 时，方程有两个不时，方程有两个不相等的实数根；相等的实数根；当当 时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当当 时，方程没有实数根时，方程没有实数根.k916 k9=16 k916 例例2：已知关于：已知关于 的方程的方程 有两个不相等的实数根，试确定有两个不相等的实数根，试确定 的取值范围的取值范围.x 22130mxmxmm 2-21-430,1.8mm mm 错错误误解解答答：方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根，解解得得：20-21-430,10.8mmm mmm正正确确的的解解答答：方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根，且且解解得得：且且 利
10、用一元二次方程的根的判别式来解题利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤：的一般步骤：（1）将方程化成）将方程化成 的形式；的形式；（2）判断）判断 的值是否为零；的值是否为零；（3）若）若 ，则再考虑，则再考虑 的取值的取值.20axbxc0a 24bac a小结小结 1.取什么值时，方程取什么值时，方程 有有两个相等的实数根？求这时方程的根两个相等的实数根？求这时方程的根.k2210kxx121,1kxx 巩固练习巩固练习 2.已知关于已知关于 的方程的方程 有有两个不相等的实数根，求两个不相等的实数根，求 的取值范围的取值范围.x2210mxxm mmmm解解：由由且且解解得得：且且
11、22400,10.3.方程方程 有实数根，则有实数根，则 的取值应满足（的取值应满足（）20axbxcabc、bacbacbac以以上上都都不不对对222A.40 B.40C.40 D.D 220ab xcxab 4.已知已知 分别是分别是 的三边，若的三边，若关于关于 的一元二次方程的一元二次方程 有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则 是（是（）ABCabc、锐锐角角三三角角形形直直角角三三角角形形钝钝角角三三角角形形无无法法确确定定A.B.C.D.xABCB2221 32 310.xxxx；设下列方程的两根分别为设下列方程的两根分别为 和和 xx：12 （1）分别计算）分别计算 和
12、和 的值；的值；（2）观察）观察 和和 的值与相应方程中的系的值与相应方程中的系数数 之间的关系，你能发现什么规律？之间的关系，你能发现什么规律？12+xx12x x12x x12+xxabc、xxxxx x解解:():()对对于于方方程程，2121211121+=.22xxxxx x对对于于方方程程，212122 3132 3+10+=.33bcxxx xaa()()，12122+=.一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程的根与系数的关系：设一元二次方程设一元二次方程 的两根为的两根为 和和 ，则，则 .200axbxca 12=cx xabxxa、12+=12 xx小结小结bbacbb
13、accx xaaa221244=.22 证明证明：当：当 时，由公式法可得一元时，由公式法可得一元二次方程二次方程 的两根为的两根为：200axbxca 240bac bbacbbacxxaa221244=,22 bbacbbacbxxaaa则则，221244+=+=22 你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？韦达定理韦达定理 例例1：不解方程：不解方程 ，求出其，求出其两根之和与两根之积两根之和与两根之积.xx2260121212.216,11:,2263.2xxabcbxxacx xa 解解：设设方方程程的的两两根根分分别别为为、根根据据韦韦达达定定理理得得 若方程若方程 的两根分别为的
14、两根分别为 ，试求下列代数式的值：试求下列代数式的值：12xx、221212121+222.x xx xxx；xxx x解解：由由韦韦达达定定理理得得：、12121=3.2xx2260 x xx xx xxx22121212121313.22 xxx xxx1212122222413242.2 1.不解方程，写出下列方程的两根和与不解方程，写出下列方程的两根和与两根积两根积.xxxxxx；22215302 92;3 6320.xxx x，12125=3练习练习xxx x，12129=2xxx x，121211=23 2.已知方程已知方程 的两根为的两根为 和和 ，试求代数式，试求代数式 的值的
15、值.xx224501x2x1221xxxx xxx xxxx xxxxxxxx xx x解解：由由韦韦达达定定理理得得：1212222121212122112125+2,.2218=.5 例例2：已知方程：已知方程 的一个根的一个根为为 ，求另一个，求另一个根根以及以及 的值的值.xx m23+01 mxxxmm解解：设设另另一一个个根根为为则则由由韦韦达达定定理理得得：即即解解得得：另另一一根根为为，的的值值为为212,1,4,4.44.123,xx12,x xm 2-1+3,x 2-1,xm 拓展拓展 1.关于关于 的方程的方程 两根互两根互为倒数，求为倒数，求 的值的值.22510 xx
16、kkx1212.11.21.xxkx xk 解解：设设方方程程的的两两根根为为和和由由题题意意得得：解解得得：练习练习121212.328.4.1313.4xxxxmmx xm 解解：设设方方程程的的两两根根为为和和由由题题意意得得：解解得得：矩矩形形的的面面积积 2.已知矩形的长和宽是方程已知矩形的长和宽是方程 的两根，且该矩形的周长为的两根，且该矩形的周长为 ，试确定，试确定 的值以的值以及该矩形的面积及该矩形的面积.232130mxx16m课堂小结课堂小结 通过本节课的学习，同学们获得了哪通过本节课的学习，同学们获得了哪些收获？些收获？作业作业教材第教材第36页习题页习题22.2的的79题题.
