1、第五章抛物型方程的有限差分法1 1 最简差分格式最简差分格式2 2 稳定性与收敛性稳定性与收敛性3 Fourier3 Fourier方法方法4 4 变系数抛物方程变系数抛物方程5 5 分数步长法分数步长法型型方方程程（下下一一章章）。曲曲物物型型方方程程（本本章章）和和双双有有关关的的非非驻驻定定问问题题：抛抛在在我我们们讨讨论论与与时时间间改改变变称称为为驻驻定定问问题题。现现随随时时间间（如如温温度度、电电位位）不不椭椭圆圆型型方方程程描描写写的的状状态态tt1 1最简差分格式最简差分格式是是给给定定的的连连续续函函数数。是是正正常常数数，其其中中考考虑虑一一维维热热传传导导方方程程：)(
2、)1.1(,0),(22xfaTtxfxuatu )2.1(),()0,(0),()1.1(),()1.1(22xxxuTtxfxuatuyxuCauchy 和和初初始始条条件件：满满足足方方程程数数偏偏微微商商的的函函数数问问题题）：求求具具有有所所需需次次第第一一、初初值值问问题题（也也称称的的定定解解问问题题分分为为两两类类：可可将将 有有唯唯一一充充分分光光滑滑的的解解。相相容容条条件件，使使上上述述问问题题满满足足在在在在相相应应区区域域光光滑滑，并并且且和和假假定定：、初初始始条条件件和和边边值值条条件件满满足足方方程程商商的的函函数数具具有有所所需需次次数数偏偏微微也也称称混混合
3、合问问题题）第第二二、初初边边值值问问题题lxxxfTttlutulxxxuTtxfxuatuyxu,0)()()3.1(0,0),(),0()3.1(0),()0,(0),()1.1(),(:(2122 。网网格格节节点点为为矩矩形形网网格格分分割割成成将将矩矩形形域域和和两两族族平平行行直直线线都都是是自自然然数数。用用其其中中和和时时间间步步长长步步长长的的差差分分逼逼近近。取取空空间间现现在在考考虑虑边边值值问问题题),(,0;0),1,0(),1,0(,)3.1(),1.1(kjkjtxTtlxGMkkttNjjhxxMNMTNlh 0123N-1l12xy .;点点界界点点集集合合
4、是是网网的的网网点点集集合合表表示示所所有有位位于于闭闭矩矩形形的的网网点点集集合合；位位于于开开矩矩形形表表示示网网格格内内点点集集合合，即即以以hhhhhGGGGGG 分分格格式式。便便得得到到以以下下几几种种最最简简差差中中相相应应的的偏偏微微商商，用用适适当当的的差差分分代代替替方方程程的的函函数数表表示示定定义义在在网网点点其其次次，用用)1.1(.0,0,),(MkNjyxukjkj .1,2,1,1,2,1)4.1(,0),()()4.1(2)(20012111 MkNjuuxuxfffhuuuauukNkjjjjjjkjkjkjkjkj其其中中向向前前差差分分格格式式，即即一一
5、 111112)4.1()21(1)4.1(jkjkjkjkjfuurruukkkhar 在在等等式式左左边边，则则得得层层值值）在在等等式式右右边边，第第层层值值（上上标标为为使使得得第第，改改写写成成便便于于计计算算的的形形式式表表示示网网比比。将将以以)5.1)(0)(0)(21121),()(2,22222)1(2111)1(22hhxurLutxuLuRhuuuauuuLxuatuLukjkjkjhkjkjkjkjkjkjkjh 显显然然截截断断误误差差记记 .1,2,1,1,2,1)6.1(,0),()6.1(2)(20012111111 MkNjuuxufhuuuauukNkjj
6、jjkjkjkjkjkj其其中中向向后后差差分分格格式式，即即一一 1111111)6.1()21()6.1(jkjkjkjkjfuruurru，改改写写成成便便于于计计算算的的形形式式将将 )7.1)(0)(0)(21121),()(222222)2(2111111)2(hhxurLutxuLuRhuuuauuuLkjkjkjhkjkjkjkjkjkjkjh 显显然然截截断断误误差差记记 2kNk0jj0j1j2k1jkjk1j21k1j1kj1k1jkj1kj)8.1(,0uu),x(u)8.1(fhuu2uhuu2u2auu).NicolsonCrank()(称称格格式式：算算术术平平均
7、均，即即得得六六点点对对格格式式和和向向后后差差分分格格式式作作将将向向前前差差分分格格式式六六点点对对称称格格式式三三1111111111)8.1(2)1(22)1(2)8.1(jkjkjkjkjkjkjfurururururur改改写写为为将将 )9.1().(0)()21()(,(),()(222222121)3(2112111111)3(huRkttxLutxuLuRhuuuhuuuauuuLkjkkjkjkjhkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjh 展展开开，则则得得于于将将截截断断误误差差令令)10.1.(2)2(2)10.1(22)(111121111 jkjkjkjkjkj
8、jkjkjkjkjkjfuuuurufhuuuauuRichardson 或或格格式式，即即四四 ）稳稳定定性性。（）收收敛敛性性和和收收敛敛速速度度。（计计算算简简单单决决定定，主主要要有有因因数数经经济济实实用用，由由多多方方面面的的衡衡量量一一个个差差分分格格式式是是否否32)1(:考察考察RichardsonRichardson格式的稳定性格式的稳定性它它是是不不可可用用的的。但但从从稳稳定定性性方方面面来来看看，差差的的阶阶为为格格式式是是显显格格式式，截截断断误误)(022hRichardson )11.1.()2(2)10.1(.1111 kjkjkjkjkjkjkjkjkjee
9、eereefue相相应应的的齐齐次次方方程程：满满足足与与则则的的计计算算是是精精确确的的，假假定定右右端端的的误误差差表表示示用用：误误差差的的传传递递情情况况如如表表中中都都是是精精确确的的，则则初初始始而而在在以以后后计计算算当当发发生生，即即点点设设误误差差只只在在初初始始层层的的原原1,0),00,1;0()0(100000 jjjjejej 表表1 r=1/21 r=1/2时时RichardsonRichardson格式的误差传播格式的误差传播-4-3-2-10 123 40 1 2 3 4 5 6 2 00000000000000000000 7 4 4 6 6 24 17 17
10、 89 8 8 31 31 68 68 10 10 49 49 144 144 273 273 388 稳稳定定。所所以以向向前前误误差差格格式式条条件件误误差差也也无无限限增增长长时时则则误误差差仍仍然然衰衰减减；但但当当若若限限制制是是允允许许的的显显然然如如此此误误差差传传播播所所示示表表此此时时误误差差逐逐渐渐衰衰减减，如如则则误误差差方方程程为为，并并取取如如果果采采用用向向前前差差分分格格式式,21,210.2)12.1()(2121111 rreeerkjkjkj 5.0 5.0 25.0 125.0 0625.0000000000000000000000 375.0 -4-3-
11、2-1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 000 5.00000 375.0 375.000 25.0 25.0 25.0 125.0 0625.02 2 稳定性与收敛性稳定性与收敛性)3.2(.)1.2()2.2(.,.)1()1(,),(,),()1.2(,1.211111111FACUUBACANNABffFuuUFBUAUkkTNTkNkkkk 化化为为则则可可将将并并令令有有逆逆假假定定矩矩阵阵是是和和其其中中记记号号表表成成均均可可用用矩矩阵阵和和向向量量的的前前节节引引进进的的二二层层格格式式，稳稳定定性性概概念念jkjkjkjkjkjfhuuuauu 211121 阵阵形
12、形式式。写写出出向向前前差差分分格格式式的的矩矩例例.)21()4.2(01001000001010,)21()1()21(111rSIrCSrSIrBNIAfuurruujkjkjkjkj 故故其其中中阶阶单单位位矩矩阵阵，显显然然解解 jkjkjkjkjkjfhuuuauu 21111112 式式，即即同同理理：对对于于向向后后差差分分格格.)21(,)21(1 rSIrCIBrSIrA故故.2)1(2)1(,2)1(,2)1(1SrIrSrIrCSrIrBSrIrA 故故对对于于六六点点对对称称格格式式，。新新变变量量化化成成二二层层的的格格式式格格式式，总总可可以以适适当当引引进进至至
13、于于一一般般的的三三层层或或多多层层)7.2(0)2(2)6.2(,),()5.2(.)2(21111 IIISrCCWWUUWUUISrURichardsonkkTkkkkkk其其中中则则化化为为令令格格式式，其其矩矩阵阵形形式式为为例例如如).(),(),(.0)0()(),(,.,)1.2(CCBBAAggghhhBAkFBAt 于于是是连连续续且且其其中中设设为为之之间间满满足足一一定定关关系系，我我们们要要求求可可依依赖赖步步长长，但但均均不不依依赖赖和和中中的的抛抛物物方方程程，所所以以无无关关的的线线性性右右端端与与时时间间我我们们仅仅限限于于讨讨论论系系数数及及.,.00,)9
14、.2()(,00.)1.2()8.2(.)()(,0,1122101000110011 NjjNNkkkkkhuURTkRUUKUCUKUCUCUF一一般般取取中中的的某某一一种种范范数数是是这这里里成成立立和和对对一一切切使使不不等等式式和和常常数数如如果果存存在在按按初初值值稳稳定定我我们们说说差差分分格格式式此此时时先先讨讨论论按按初初值值稳稳定定 )10.2(.0,0,)1.2(0TkKCk 按按处处值值稳稳定定，当当且且仅仅当当显显然然差差分分格格式式)11.2(.0,)(,0000)1.2(.00110100 UFAUCUUTkFKUKUkkkk 程程的的解解：是是下下列列方方其其
15、中中成成立立和和对对一一切切使使不不等等式式和和常常数数存存在在按按右右端端稳稳定定，如如果果我我们们说说差差分分格格式式即即，此此时时认认为为初初值值没没有有误误差差其其次次讨讨论论按按右右端端稳稳定定。FAFACUCFAFAUCCFAUCUkkkk111211111)()()()()()11.2(，得得反反复复利利用用递递推推式式即即知知格格式式按按右右端端稳稳定定。取取则则使使数数，即即存存在在常常又又差差分分格格式式按按初初值值稳稳定定设设,)1(,)(,.)()()()()()(11111122KKTKFKKTFKKkUKCKKAFAICCCFAICFAUCCkkkkk 定定。述述的
16、的稳稳定定均均指指按按初初值值稳稳一一致致有有界界。往往后后我我们们所所即即矩矩阵阵族族，需需要要检检验验不不等等式式为为检检验验格格式式按按初初值值稳稳定定按按右右端端稳稳定定推推出出它它则则由由格格式式按按初初值值稳稳定定可可总总之之，若若)12.2(0,0:)(),10.2(.,01TkCKAk )13.2()(01)(1)()()(1.2 CMCMCC使使无无关关的的常常数数条条件件是是存存在在与与则则差差分分格格式式稳稳定定的的必必要要的的谱谱半半径径，表表示示矩矩阵阵（必必要要条条件件）以以命命题题)(01)(0.0,0,)(log)(10)(KTkkkeKKCTkKTkKCCT种
17、种范范数数因因谱谱半半径径不不超超过过任任何何一一证证明明2.2 2.2 判别稳定性的直接法判别稳定性的直接法.)13.2()(C2.2分分条条件件也也是是差差分分格格式式稳稳定定的的充充是是正正规规矩矩阵阵，则则（充充分分条条件件）若若命命题题 KMMcCCcCTkkkk )1()1()()()(),13.2(),()(由由因因为为此此时时证证明明.,1)(max)()()(的的特特征征值值是是其其中中要要条条件件是是，则则差差分分格格式式稳稳定定的的充充有有理理函函数数：的的实实系系数数是是矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵，若若推推论论SMRSRCSCSsjsjj .1,2,1,sin,1,1
18、,2,1,cos2)4.2(NkhjkuuNhNjhjSjkjsj 的的分分量量特特征征向向量量的的矩矩阵阵时时，其其特特征征值值是是形形如如特特别别当当jkjkjkjkjkjfhuuuauu 211121 定定性性。讨讨论论向向前前差差分分格格式式的的稳稳例例.21,21.21,24,1,2122sin412sin41112sin41cos221,)21(222时时不不稳稳定定当当时时稳稳定定故故向向前前差差分分格格式式当当即即，必必须须且且只只须须或或为为使使解解 rrrrNjMhjrMhjrMMhjrhjrrrSIrCCjCjCj .0,1)cos1(21cos2)21(,)21(111
19、稳稳定定，即即绝绝对对稳稳定定故故对对任任何何解解 rhjrhjrrrSIrCCj jkjkjkjkjkjfhuuuauu 211111122 定定性性：讨讨论论向向后后差差分分格格式式的的稳稳例例.101,2,1,2sin212sin21,2)1(2)1(3221稳稳定定，因因此此绝绝对对稳稳定定有有故故对对任任何何对对六六点点对对称称格格式式例例 CjCjrNjhjrhjrSrIrSrIrC 是是对对称称矩矩阵阵。其其中中格格式式的的稳稳定定性性：讨讨论论例例 0)2(24IIISrCRichardson222222122112121)2122(,)2(2).(0)2(2),(,wrrSw
20、wwwIsrwwwwwwwIsrWCWwwWCT 从从而而得得利利用用第第二二方方程程消消去去零零向向量量显显然然或或的的特特征征向向量量，即即为为相相应应的的特特征征值值为为设设解解.,0,1112sin162sin4max),(max01)2sin8(),cos2(01)2(22122242221222格格式式不不稳稳定定所所以以对对任任意意其其根根的的按按模模最最大大值值或或满满足足方方程程是是的的特特征征值值。于于是是可可见见Richardsonrrrrhjrhjrhjrhjrrrjjjj )13.2()(01)(1)()()(1.2 CMCMCC使使无无关关的的常常数数条条件件是是存
21、存在在与与则则差差分分格格式式稳稳定定的的必必要要的的谱谱半半径径，表表示示矩矩阵阵（必必要要条条件件）以以命命题题)(01)(0.0,0,)(log)(10)(KTkkkeKKCTkKTkKCCT种种范范数数因因谱谱半半径径不不超超过过任任何何一一证证明明2.3 2.3 收敛性和敛速估计收敛性和敛速估计3 Fourier3 Fourier方法方法有有关关。但但和和不不依依赖赖和和负负整整数数的的有有限限集集合合，及及其其附附近近的的正正是是包包含含和和处处的的差差分分方方程程，空空间间。这这里里在在可可设设非非齐齐次次等等于于只只考考虑虑按按初初值值稳稳定定，故故形形式式为为的的一一般般逼逼
22、近近它它的的二二层层差差分分方方程程边边值值条条件件设设周周期期为为期期物物型型方方程程，具具初初值值和和周周考考虑虑线线性性常常系系数数一一维维抛抛方方法法差差分分方方程程的的 jbaxNjubualFouriermmjmkmjmmkmjm0)0()1.3(1,1,0,.)(1.321121 21210210),()(:)(,1,0,21,).(),()(,.)1.3(,1,0),(jjjjjkjkkjkjkNkxxxxxuxjhxxxuxuuFourierjjuuu当当数数下下阶阶梯梯函函数数逼逼近近初初始始函函并并用用如如取取半半整整数数点点为为此此上上的的开开拓拓为为将将我我们们再再方
23、方法法为为了了应应用用成成立立对对所所有有整整数数且且方方程程有有意意义义开开拓拓使使其其对对一一切切周周期期故故可可将将由由于于是是周周期期边边值值条条件件 2121.)(,)().(.),()1.3(,1,0 jjkjkkkjxxxuxuxxuxuxxj当当且且的的周周期期函函数数仍仍是是显显然然解解则则得得具具连连续续变变量量的的差差分分成成立立看看成成在在任任一一再再将将其其中中20210112202222)()()()(2)()(LklkNjNjkNkkjkjkxudxxuuuhuhuhU 此此外外)2.3()211 mmkmmmkmxxubxxuaFourier（的的差差分分方方程
24、程量量方方法法用用于于具具连连续续空空间间变变这这样样，我我们们就就可可将将)4.3(,1,0,)(1)3.3()()(202 pdxexulvevxuFourierxuxlpilkkppxlpikpkk 级级数数：展展成成将将)6.3()2.3()3.3()5.3(.)(0122222122 pmxlpixlpimkppmxlpixlpimkppkpLkeebveeavvlxuParsevalmm 得得代代到到把把等等式式我我们们有有 01)8.3(.),()5.3(,),(2121mxlpimmxlpimkpkpmmebeaphGvphGv 其其中中比比较较对对应应项项的的系系数数，得得)
25、9.3(.),(),()()5.3()7.3(202122 ppkpkpLkvphGlvphGlxu ，则则代代到到将将.)(),()(020220222 pLpkLkxuKvphGlxuK 使使常常数数若若差差分分格格式式稳稳定定，则则有有.)()()9.3(,),(,.),()10.3(,0,0,),(),0()(202202202022定定从从而而差差分分格格式式按按初初值值稳稳得得则则由由一一致致有有界界若若反反之之一一致致有有界界则则稠稠密密，故故由由上上式式可可得得于于由由于于阶阶梯梯函函数数类类 pLpLkkkkxuKvlKxuphGphGTkKphGlLxu .)12.3(1)
26、,()10.3().(),(条条件件上上式式也也称称为为又又等等价价于于显显然然不不等等式式为为增增长长因因子子我我们们称称NeumannVonMphGfatornAmplicatiophG .)12.3(),()1.3(1.3成成立立条条件件一一致致有有界界稳稳定定差差分分格格式式命命题题NeumannVonphGk.0,),(1,1,0,),(,)8.3(1110lxxxxGNplxxxGxphNpkpppp 此此时时一一致致有有界界性性研研究究所所以以只只需需就就为为周周期期的的函函数数是是以以关关于于连连续续关关于于是是空空间间网网点点中中注注意意注注 ).,(,)1.3()13.3(
27、)/2()3.3(.20101111 phGvvebeaveebveavlpevFourierkkximmximmkxiximmkximmkxikmmjjmjmj子子前前面面的的因因子子就就是是增增长长因因即即得得消消去去公公因因子子得得两两端端代代到到的的通通项项展展式式以以增增长长因因子子的的计计算算注注 .2).,()(,)14.3(),3.3()14.3()(21)(32注注计计算算增增长长因因子子的的方方法法如如应应要要求求初初值值有有意意义义为为使使级级数数代代替替积积分分题题，则则需需要要如如果果求求解解的的是是纯纯初初值值问问注注 LxFourierdsesvxuFourier
28、ixskk 的的稳稳定定性性。方方法法讨讨论论向向前前差差分分格格式式用用例例Fourier12sin41)cos1(21)()21(),(,)21(,)21(2)1()1(1111hrhreerrxGevreerreevevuuurruuhihipjhikhjijhihjijhikjhikkjkjkjkjkj 则则知知增增长长因因子子消消去去得得代代入入以以解解.21,21,),(,02/rrNeumannVonxGhp分分格格式式的的稳稳定定条条件件是是所所以以向向前前差差必必须须且且只只需需网网比比条条件件满满足足为为使使中中分分布布稠稠密密在在由由于于 例1的的稳稳定定性性。方方法法讨
29、讨论论六六点点对对称称格格式式用用例例Fourier212sin212sin21),()(21)(21,2)1(2)1(,2)1(22)1(2221)1()1()1(1)1(111111111 hrhrxGveerrveerreevevrevrevevrevrevuururururururpkhihikhihijhihjikhjikjhikhjikhjikjhikjhikkjkjkjkjkjkjkj 得得消消去去得得代代入入以以解解.所所以以格格式式是是无无条条件件稳稳定定例2。其其分分量量为为维维列列向向量量是是但但和和无无关关方方阵阵，一一般般依依赖赖步步长长是是其其中中设设差差分分方方程
30、程组组形形如如方方程程组组的的稳稳定定性性方方法法同同样样可可以以分分析析差差分分注注ksjkjkjmmmkmjmmkmjmuusUssBAUBUAFourier,;,)15.3(,41121 pxlpikpkkskkkjeVxUFourierxuxuxUU 21)(),(,),()(级级数数：并并将将它它展展成成函函数数开开拓拓为为连连续续变变量量的的周周期期将将像像方方程程式式的的情情况况一一样样，的的增增长长矩矩阵阵。就就是是形形如如其其中中，即即得得，消消去去共共同同因因子子代代到到方方程程以以前前一一样样，以以通通项项计计算算增增长长矩矩阵阵的的方方法法跟跟得得增增长长矩矩阵阵，比比
31、较较对对应应项项的的系系数数，将将其其代代入入)16.3(),()18.3(),()15.3()17.3()/2()16.3(.),()5.3(121201 pkpkxixikmxlmimmxlmimpxGVxGVelpeVeBeAxGjjpp 一一致致有有界界。矩矩阵阵族族稳稳定定的的充充要要条条件件是是差差分分格格式式命命题题)19.3(1.,1,0,0,0:),(:)15.3(2.30 NpTkxGpk .)20.3(),(1)(),()19.3(3.3条条件件成成立立即即谱谱半半径径的的有有界界的的必必要要条条件件是是矩矩阵阵族族命命题题NeumannVonoGxGp 讨讨论论其其稳稳
32、定定性性。：格格式式写写成成等等价价的的方方程程组组将将例例 )12.3()2(221111kjkjkjkjkjkjkjuwwuuuruRichardson )12.3()1(cos4,11221121kkkkkjxikkjxikkjvvvvhrvevwevujj 得得代代入入并并消消去去公公因因子子以以解解.,)(0112sin8)(2格格式式绝绝对对不不稳稳定定故故条条件件的的谱谱半半径径不不满满足足知知显显然然增增长长矩矩阵阵nRrichardsoNeumannVonhGhrhG )22.3(),(),0,(),(),0(),()0,()0(,0),(,52222tlxutxutylut
33、yuyxyxualyxyuxuatu 问问题题的的边边值值，考考虑虑二二维维热热传传导导方方程程或或为为超超长长方方体体作作为为例例子子间间分分格格式式求求解解域域或或为为全全空空方方法法也也可可以以用用于于多多维维差差注注nkjnkjnkjnjkynkjnkjnkjnjkxnnkjkjuuuuuuuunttyxkhyyjhxxMTNlh1,1,2,1,1222).(),(,/,/引引进进二二阶阶差差分分算算子子格格，网网点点为为将将求求解解域域分分割割成成矩矩形形网网用用两两族族平平行行线线取取步步长长)24.3(),()23.3(),()22.3(1212212221 njkynjkxnj
34、knjknjkynjkxnjknjkuuhauuuuhauu 和和向向后后差差分分格格式式的的向向前前差差分分格格式式作作逼逼近近。和和，次次为为它它们们的的截截断断误误差差的的阶阶依依格格式式和和)()()()25.3(),(2222221221221hohohouuuuhauuNicolsonCranknjkynjkynjkxnjkxnjknjk )23.3(),(32221njkynjkxnjknjkuuhauu 定定性性研研究究向向前前差差分分格格式式的的稳稳例例)/(,)2sin2(sin41(2,2,2221)(harvhhrvlplpevunnyxinnjkkj ，得得代代到到两
35、两端端并并消消去去公公因因子子取取通通项项解解。，必必须须且且只只须须为为使使从从而而增增长长因因子子41)(01)/(,)2sin2(sin41),(222 rGharvhhrhhGGn 严严了了。增增加加，对对网网比比的的限限制制更更由由此此可可见见，随随着着维维数数的的3.2 3.2 判别差分格式稳定的代数准则判别差分格式稳定的代数准则 一一致致有有界界。矩矩阵阵族族一一致致有有界界的的充充要要条条件件是是则则矩矩阵阵族族连连续续，于于关关于于设设命命题题1.,1,0,0,0:)0,()19.3(0),(1.30 NpTkxGLipschitzxGpkp 1k0i1ik1i0k01k12
36、k102k201k12k1001k11k01k10k.10pp011ppGGGGGGGGGGGGGG)GG(GGGGG)GG(GGG),x(GG),0,x(GG.KG,G)0,x(G),x(GK注注意意则则记记而而使使由由假假设设，有有常常数数性性的的证证明明完完全全类类似似。只只证证充充分分性性，因因为为必必要要证证明明 10110011210220kiikikkkkGGGGGGGGGGG .,/0)1(.1,1101101100100故故不不等等式式右右端端一一致致有有界界又又用用归归纳纳法法不不难难验验证证从从而而得得一一致致有有界界，可可设设由由于于 TkMMGGMGGGGGMGGMG
37、Gkkkiikkiikiikiik 的的稳稳定定性性。的的向向前前差差分分方方程程：物物方方程程考考虑虑逼逼近近带带低低阶阶项项的的抛抛例例kjkjkjkjkjkjbuhuuuuubuxutu 21112223 性性。不不影影响响差差分分格格式式的的稳稳定定这这说说明明低低阶阶项项。一一致致有有界界的的充充要要条条件件是是。一一致致有有界界。由由例例一一致致有有界界等等价价于于于于是是则则知知增增长长因因子子代代入入以以解解kjkkkpjhikkjkjkjkjkjkjburGhrGGGbhrxGevubuuurruu211)2sin41(2sin41),(,)21(02002111 一一致致有
38、有界界。矩矩阵阵族族一一致致有有界界的的充充要要条条件件是是矩矩阵阵族族定定理理)28.3(,2,1,0:)()27.3(2.3 klxxGk ,2,1,0,)()(,0,2,1,)(,00,)(,0242 klkMxGxGlxkMxGMTkMxGlxjkjjkjkjm 是是连连续续函函数数，故故稠稠密密于于而而二二等等份份点点则则令令是是与与划划分分无无关关的的常常数数。永永远远是是网网点点。由由假假设设的的网网点点便便一一旦旦是是等等份份加加密密，则则二二等等份份点点，份份，等等等等份份，性性。假假定定网网格格按按充充分分性性显显然然，只只证证必必要要证证明明定理3.2件件。条条件件也也是
39、是稳稳定定的的充充分分条条一一直直有有界界，则则和和充充分分小小的的关关于于和和且且使使，有有矩矩阵阵一一致致对对角角化化）若若对对任任一一定定理理NeumannVonpHHGHHHs000(3.311 故故结结论论显显然然因因证证明明,1 HHGkk定理3.34 4 变系数抛物方程变系数抛物方程)2.4(),()0,(.0),(,)1.4(0,),(),()(yxyxuyxaaGfaTtGyxyxfuatuG 初初值值条条件件为为上上给给定定的的光光滑滑函函数数，都都是是区区域域其其中中上上的的抛抛物物方方程程考考虑虑平平面面有有界界域域321)1.4()(),()1.4()(),()1.4
40、()(),(第第三三边边值值问问题题第第二二边边值值问问题题第第一一边边值值问问题题一一：边边值值条条件件为为下下列列类类型型之之yxkuuyxuyxuGGG .,)3,2,1()3.4()1.4(.唯唯一一并并且且充充分分光光滑滑即即解解存存在在是是适适定定的的假假定定边边值值问问题题的的单单位位外外法法向向是是其其中中 iGi.11,),(),().,(),(),(,1,0,1,0,.)(,21212121222121 jjiihyyhxxyxyxjiyxjhihjjhyiihxhhhhhyxiiiijijiji或或如如果果是是相相邻邻的的和和说说两两个个节节点点或或记记为为称称为为网网点
41、点或或节节点点，两两族族直直线线的的交交点点直直线线：作作两两族族与与坐坐标标轴轴平平行行的的和和轴轴方方向向的的步步长长轴轴和和取取定定沿沿 否否则则称称为为非非正正则则内内点点。就就称称为为正正则则内内点点相相邻邻点点都都属属于于的的四四个个若若内内点点的的网网点点的的集集合合是是代代替替域域就就则则令令点点为为界界点点交交点点集集合合，并并称称如如此此的的的的与与或或表表示示网网线线以以并并称称如如此此节节点点为为内内点点内内部部的的节节点点集集合合，表表示示所所有有属属于于以以;,),(.,.),(hjihhhhjihjihGyxGGGGGyyxxGGyxG .,1,0,)21()21
42、(.2121,221,121点点的的交交点点为为对对偶偶剖剖分分的的界界点点直直线线与与边边界界内内部部者者为为对对偶偶剖剖分分的的内内交交点点属属于于其其和和行行于于坐坐标标轴轴的的直直线线作作两两族族平平记记对对偶偶剖剖分分为为此此我我们们需需要要作作五五点点格格式式现现在在用用积积分分插插值值法法推推导导 Gjiyyxxhjyhixiiji.),(),(),(),(:),(42121212121212121ijjijijijijiGABCDyxDyxCyxByxAyx区区域域记记为为为为顶顶点点的的矩矩形形，其其内内部部表表示示以以用用分分的的网网点点考考虑虑对对偶偶剖剖，对对于于任任一
43、一正正则则内内点点如如第第四四章章图图 得得，并并除除以以中中心心差差商商代代替替方方向向导导数数分分，用用分分和和沿沿矩矩形形四四边边的的线线积积用用中中矩矩形形公公式式代代替替重重积积作作过过的的那那样样，的的外外法法向向导导数数像像第第四四章章沿沿表表示示式式中中：得得方方程程的的积积分分守守恒恒形形式式公公式式，并并利利用用积积分分抛抛物物方方程程于于,.)1.4(21hhuvufdxdydsvuadxdytuGreenGijijGGij )4.4(.)()(1)()(11,21,1,21,22,1,21,1,2121ijjijijijijijijijijijijijiijfuuauu
44、ahuuauuahtu )5.4.()()()()(,01,21,1,21,2,1,21,1,2111ijkijkjikijjikijkjijikjikijjikijkjijikijfuuuauuaruuauuarut 格格式式偏偏导导数数，则则得得向向前前差差分分的的代代替替对对分分别别用用向向前前和和向向后后差差商商取取步步长长)6.4.()()()()(11,121,111,21,21,11,2111,1,2111ijkijkjikijjikijkjijikjikijjikijkjijikijfuuuauuaruuauuaru 和和向向后后差差分分格格式式).(0,).(0./,/222
45、222211hNicolsonCrankhhrhr 其其截截断断误误差差的的阶阶是是格格式式得得作作算算术术平平均均，则则若若将将向向前前向向后后差差分分格格式式是是它它们们的的截截断断误误差差的的阶阶都都其其中中15),(),(1,1,211,1,211huuahuuahtuyxyxjiijjiijjijiijjiji ”，则则所所示示的的非非正正则则内内点点“是是形形如如图图设设仍仍有有类类似似的的方方程程例例如如对对于于非非正正则则内内点点).(21,),(),(.),(),()7.4(,)()(11111,21111,21,1,21,22hhhyxyxaayxyxhfuuauuahji
46、jijijijiijjiijjiijjiji 之之间间点点的的值值和和在在等等于于的的距距离离与与界界点点是是其其中中)8.4.()()()()()7.4(1,21,1,21,2,1,2111,1,21111ijkijkjikijjikijkjijikjikijjikijkjijikijfuuuauuaruuahhuuahhu 的的向向前前差差分分格格式式是是逼逼近近)9.4.()()()()(11,121,111,21,21,11,211111,1,21111ijkijkjikijjikijkjijikjikijjikijkjijikijfuuuauuaruuahhuuahhu 和和向向后后
47、差差分分格格式式)11.4(1,0.)()()(),()10.4().,(,),(111,11111,21 lABCfurACuuhCBuuhBAABCuuyxyxuyxijkijijijkijkjikijkjikijkijjijikijhji 如如建建立立一一补补充充方方程程。插插值值法法在在分分条条件件，则则仍仍按按第第四四章章积积若若给给的的是是第第二二、三三边边值值，则则若若给给的的是是第第一一边边值值条条件件在在界界点点组组成成的的隐隐格格式式。和和由由方方案案方方程程组组。无无需需解解正正则则点点消消去去界界点点，最最后后计计算算非非再再利利用用点点先先计计算算正正则则组组成成的的
48、显显格格式式和和由由方方案案题题（二二）第第二二、三三边边值值问问组组成成的的隐隐格格式式。和和由由方方案案无无需需解解方方程程组组。再再计计算算非非正正则则点点先先计计算算正正则则点点组组成成的的显显格格式式和和由由方方案案（一一）第第一一边边值值问问题题：出出几几种种实实用用的的计计算算方方案案各各种种计计算算方方案案。现现在在给给可可组组成成和和界界点点上上的的三三类类方方程程，利利用用正正则则点点、非非正正则则点点)11.4()9.4(),6.4(4,)11.4(,)11.4()9.4(),5.4(3)10.4()9.4(),6.4(2,)10.4()9.4(),5.4(1kjijik
49、jijikjijikjijikijjijijijikijuaruaruaruaruaaraaruhhh1,21,21,21,2,1,211,1,21121,21,2,21,2111111)()(1).5.4(,)9.4()8.4(1 写写为为及及右右端端项项为为齐齐次次，将将改改设设边边值值条条件件用用向向前前差差分分格格式式说说在在正正则则和和非非正正则则点点均均并并假假定定代代替替中中用用为为简简便便计计，在在方方案案定定性性和和误误差差估估计计。最最后后研研究究差差分分格格式式的的稳稳0)()(1,max21,21,2,21,21121 jijijijiijijGhaaraarrruUu
50、U满满足足条条件件设设网网比比为为分分量量的的向向量量是是以以其其中中定定义义最最大大模模.)12.4(,)12.4()13.4(),maxmax/(10121,2121稳稳定定足足见见得得则则由由或或 UUUaarrkkjiGhjiGhkijkjijikjijikjijikjijikijjijijijikijkijkijkijkjikijReareareareareaaraareeuRutyxue 1,21,21,21,2,1,211,1,21121,21,2,21,2111)()(1,)(,),(满满足足则则差差表表示示差差分分逼逼近近的的截截断断误误表表示示差差分分解解的的误误差差以以)
