1、机械工程测试原理机械工程测试原理与技术与技术:误差误差机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础第一章第一章 误差理论与数据处理误差理论与数据处理 测量误差的基本理论测量误差的基本理论 测量精度的基本概念测量精度的基本概念 数据处理的一般方法数据处理的一般方法本章内容：本章内容：测试技术基础测试技术基础x 测量误差测量误差 x 测量结果测量结果 x0 真值真值定义：测量结果与其真值的差异定义：测量结果与其真值的差异真值：被测量的客观真实值真值：被测量的客观真实值0 xxx理论真值：理论上存在、计算推导出来理论真值：理论上存在、计算推导出来如：三角形内角和180约定真值：国际上公认的最高基准值约定
2、真值：国际上公认的最高基准值如：基准米如：基准米 1m=1 650 763.73(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值：相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值量结果作为近似真值定性概念，定量表示定性概念，定量表示2.1 测量误差的基本理论测量误差的基本理论误差误差 绝绝对对误误差差相相对对误误差差粗粗大大误误差差系系统统误误差差随随机机误误差差表示形式表示形式性质特点性质特点2.1.1 测量误差的分类测量误差的分类 绝对误差是示值与被测量真值之间的差值。设被绝对误差是示值与被测量真值之间的差值。设被测量的真值为测量的真值为A A0
3、 0，器具的标称值或示值为，器具的标称值或示值为x x，则绝对误，则绝对误差为差为0AxxAxx2.1.2 测量误差的表示形式测量误差的表示形式绝对误差绝对误差 由于一般无法求得真值由于一般无法求得真值A A0 0，在实际应用时常用精，在实际应用时常用精度高一级的标准器具的示值，即实际值度高一级的标准器具的示值，即实际值A代替真值代替真值A0。x与与A之差称为测量器具的示值误差，记为之差称为测量器具的示值误差，记为通常以此值来代表绝对误差。通常以此值来代表绝对误差。相对误差是绝对误差与被测量的约定值之比。相对相对误差是绝对误差与被测量的约定值之比。相对误差有以下表现形式：误差有以下表现形式：%
4、AxA100%xxx100%xxmm100相对误差相对误差 实际相对误差：实际相对误差：绝对误差绝对误差x x与被测量的实际值与被测量的实际值A A的百分比。的百分比。示值相对误差：示值相对误差：绝对误差绝对误差xx与测量仪器的示值与测量仪器的示值x x的百分比。的百分比。满度（引用）相对误差：满度（引用）相对误差：绝对误差绝对误差x x与仪器满度与仪器满度值值x xm m之比之比 ,是应用最多的误差表示方法。是应用最多的误差表示方法。2.1.2 测量误差的表示形式测量误差的表示形式例：经检定发现，量程为例：经检定发现，量程为250V的的2.5 级电压表在级电压表在123V处示值误差最大为处示
5、值误差最大为5V，问该电压是否合格，问该电压是否合格?%.%5221002505结果：小于最大允许引用误差，表合格结果：小于最大允许引用误差，表合格 解：按表精度等级规定，解：按表精度等级规定，2.5级表最大允许引用误级表最大允许引用误差为差为2.5%，而该表实际情况为：，而该表实际情况为：2.1.2 测量误差的表示形式测量误差的表示形式 为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。几乎所有因素都将引入测量误差。主要来源主要来源
6、测量原理测量原理误差误差 测量装置测量装置误差误差 测量环境测量环境误差误差 测量人员测量人员误差误差 2.1.3 测量误差的来源测量误差的来源2.1.3 测量误差的来源测量误差的来源电路：电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声电源波动、元件老化、漂移、电气噪声（1）原理误差：原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：近似：理论分析与实际情况差异。如：非线性比较理论分析与实际情况差异。如：非线性比较小时可以近似为线性小时可以近似为线性 假设：假设：理论上成立、实际中不成立。如：误差因素理论上成立、实际中不成立。如：误差因素互不相关互不相关 方法：方法：
7、测量方法存在错误或不足。如：采样频率低、测量方法存在错误或不足。如：采样频率低、测量基准错误测量基准错误（2）装置误差：装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程变化、蠕变、空程（3 3）环境误差：）环境误差：测量环境、条件引起的测量误差测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动气流扰动(4)(4)使用误差：使用误差：读数误差、违规操作读数误差、违规操作2.1.3 测量误
8、差的来源测量误差的来源2.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类(1)随机误差随机误差 (random error)正正态态分分布布性质性质：原因原因：装置误差、环境误差、使用误差：装置误差、环境误差、使用误差处理：处理：统计分析、计算处理统计分析、计算处理 减小减小对称性对称性单峰性单峰性有界性有界性抵偿性抵偿性次数统计绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值相等的正负误差出现的次数相等绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多偶然误差绝对值不会超过一定程度偶然误差绝对值不会超过一定程度当测量次数足够多时，偶然误差算术平均值趋于当测量次数足
9、够多时，偶然误差算术平均值趋于0)(f分布密度分布密度随机误差的正态分布随机误差的正态分布大多数随机误差服从正态分布，其应用范围包大多数随机误差服从正态分布，其应用范围包括各种物理、机械、电气、化学等特性分布括各种物理、机械、电气、化学等特性分布例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变化、噪声发声器输出电压噪声发声器输出电压正态分布常用：正态分布常用：密度函数、分布函数、数学期密度函数、分布函数、数学期望、方差、平均误差和或然误差表示望、方差、平均误差和或然误差表示2.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类性质性质：有规律，可再现，可以预测：有规律
10、，可再现，可以预测原因原因：原理误差、方法误差、环境误：原理误差、方法误差、环境误 差、使用误差差、使用误差处理处理：理论分析、实验验证：理论分析、实验验证 修正修正夏天摆钟变慢的原因是什么？夏天摆钟变慢的原因是什么？(2)系统误差系统误差 (system error)2.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类2.1.4 测量误差的性质与分类测量误差的性质与分类(1)特点：特点：多次测量下，保持不变，或按一定规律变化多次测量下，保持不变，或按一定规律变化(2)原因：原因：a)仪器结构不良：装置设计不合理，采用近似方法仪器结构不良：装置设计不合理，采用近似方法 b)环境改变：温度影响环
11、境改变：温度影响(3)鉴别方法：鉴别方法：a)观测值总往一个方向偏差观测值总往一个方向偏差 b)误差大小和符号在多次重复多次观测中几乎相同误差大小和符号在多次重复多次观测中几乎相同 c)经过矫正和处理可以消除误差经过矫正和处理可以消除误差性质性质：偶然出现，误差很大，异常数据与有用数据混在：偶然出现，误差很大，异常数据与有用数据混在 一起一起原因原因：测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强：测量人员的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强 大的干扰所引起大的干扰所引起处理处理：判断、剔除：判断、剔除(3)粗大误差粗大误差 (abnormal error)2.1.4 测量误差的性质与分类测量误
12、差的性质与分类精密度精密度(precision)：概念：概念：反映随机误差的影响程度反映随机误差的影响程度 表述：表述：随机误差的标准差随机误差的标准差(standard deviation)准确度准确度(accuracy)：性质：性质：测量结果与真值的接近程度，反映系统误差的测量结果与真值的接近程度，反映系统误差的 影响程度影响程度 表述：表述：平均值与真值的偏差平均值与真值的偏差(deviation)精确度精确度(正确度正确度)：性质：性质：反映系统误差和随机误差综合影响程度反映系统误差和随机误差综合影响程度 表述：表述：不确定度不确定度(uncertainty)工程表示：工程表示：引用误
13、差，最大允许误差相对于仪表测量范引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围的百分数围的百分数0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0 七级七级minmaxmaxxxA2.2 测量精度的基本概念测量精度的基本概念精度精度：测量结果与真值吻合程度：测量结果与真值吻合程度定性概念定性概念测测量量精精度度举举例例准准确确不不精精密密不不精精密密不不准准确确精精密密不不准准确确精精密密准准确确2.2 测量精度的基本概念测量精度的基本概念常用的数据处常用的数据处理方法（消理方法（消除随机误除随机误差）：差）：1）算术平均）算术平均值法值法 2）异常数据）异常数据剔除剔除 3）最小二乘）最小二乘
14、法法2.3 数据处理一般方法（假设没有数据处理一般方法（假设没有系统误差）系统误差）问题：问题：这些实验数据中哪这些实验数据中哪些数据是合理的？怎么样些数据是合理的？怎么样获取真值？获取真值？（相关知识可参（相关知识可参与数理统计教材与数理统计教材及参考教材）及参考教材）表述：表述：式中式中x1,x2,xn 测量数据测量数据原理：原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平多次重复测量时，取全部测量数据的算术平 均值为测量结果均值为测量结果 niinxnnxxxx1211xxi真值ix残余误差残余误差iv随机误差随机误差i2.3.1 算术平均值法算术平均值法依据：依据：随机误差服从正态分布随机
15、误差服从正态分布问题：随机误差的影响到底有多大？问题：随机误差的影响到底有多大？随机误差的评定（关键求出随机误差的评定（关键求出的大小）的大小）求标准偏差求标准偏差的的理论公式理论公式Llnniiniin1222221关键关键:L未知未知1、标准偏差、标准偏差2.3.1 算术平均值法算术平均值法估算估算Bessel公式：公式：实测数据的标准偏差实测数据的标准偏差S（标准不确定度）（标准不确定度）112nniis1、标准偏差、标准偏差2.3.1 算术平均值法算术平均值法2、随机误差的极限误差、随机误差的极限误差3limx3、求算术平均值的实验标准偏差、求算术平均值的实验标准偏差nssL2.3.1
16、 算术平均值法算术平均值法 22221efy4、随机误差服从正态分布、随机误差服从正态分布 22221Llelfy随机误差随机误差测量值测量值 ：标准偏差，反映测量结果的分散性：标准偏差，反映测量结果的分散性 L ：真值：真值2.3.1 算术平均值法算术平均值法()lL 为概率。，令讨论zz:%.%.%.99.7399730z23459595450z22276868270z2，当2.3.1 算术平均值法算术平均值法说明：说明：测量误差为随机变量，且符合正态分布测量误差为随机变量，且符合正态分布(2)真值必然处于一个有限的范围真值必然处于一个有限的范围原理：原理：当测量结果超出正常范围时，给予剔
17、除当测量结果超出正常范围时，给予剔除准则：准则：测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的测量数据与算术平均值的偏差大于标准差的3 倍倍(3)此法只适合于测量数据大于此法只适合于测量数据大于10个的情况个的情况3xxi概率概率 95.4%2 xxi概率概率 99.73%，即，即3以外的以外的概率为概率为0.27%3 xxi3准则准则(莱以特准则莱以特准则)2.3.2 异常数据剔除异常数据剔除数据处理过程数据处理过程 发现和消除系统误差发现和消除系统误差 求算术平均值求算术平均值 求求“残差残差”及标准偏差及标准偏差 判别和消除粗大误差判别和消除粗大误差 求算术平均值的标准偏差求算术平均值的标准偏差
18、 写出测量结果写出测量结果2.3.2 异常数据剔除异常数据剔除计算举例计算举例2.3.2 异常数据剔除异常数据剔除330.0480.008l最后真实结果：最后真实结果：算术平均值的标算术平均值的标准误差：准误差：x分组重复多次测量，以每组分组重复多次测量，以每组算术平均值作为处理数据算术平均值作为处理数据进一步降低随机误差的方法：分组测试法进一步降低随机误差的方法：分组测试法2.3.2 异常数据剔除异常数据剔除 直线拟合直线拟合 一元线性回归方程一元线性回归方程 曲线拟合曲线拟合 一元非线性回归方程一元非线性回归方程 多项式回归多项式回归 多元线性回归多元线性回归 2.3.3 最小二乘法最小二
19、乘法一元线性回归方程一元线性回归方程拟合直线形式：拟合直线形式：实际测量值实际测量值 与回归值与回归值 之差：之差：tytyttttbxbyyy0ty 与与 偏差平方和：偏差平方和：ty因因min),(0bbQ0)(20)(210100tNtttNtttxbxbybQbxbybQ正规方程正规方程ttbxby0NtttNtttbxbyyybbQ120120)()(),(2.3.3 最小二乘法最小二乘法解正规方程得：解正规方程得：xbybllbxxxy0NtNtNtNtxyNtNtNtxxyxNxyyyxxlxNxxxl111121121211其中：其中：NtNtyNyxNx1111一元线性回归方
20、程一元线性回归方程2.3.3 最小二乘法最小二乘法 曲线问题曲线问题 直线问题（变量代换）直线问题（变量代换）回归曲线回归曲线 回归多项式回归多项式n步骤：步骤：(1)确定函数的类型确定函数的类型 （如双曲线、指数曲线、对数曲线等（如双曲线、指数曲线、对数曲线等）(2)求解相关函数中的未知参数求解相关函数中的未知参数n举例举例:指数曲线指数曲线bxaey 一元线性回归方程一元线性回归方程2.3.3 最小二乘法最小二乘法例例1 为了测定刀具的磨损速度，每隔一小时，测量为了测定刀具的磨损速度，每隔一小时，测量一次刀具的厚度，得到一组试验数据如下：一次刀具的厚度，得到一组试验数据如下：iitiy顺序
21、编号01234567时间 /小时01234567刀具厚度 /mm27.026.826.526.326.125.725.324.32.3.3 最小二乘法最小二乘法tyo1247356824252627解：首先确定的类型。如图，在坐标纸上画出这些点，观察可以认为 是线性函数，并设 其中 和 是待定常数。)(tfy ,)(battf ab2.3.3 最小二乘法最小二乘法因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的取这样的 ，使得，使得 在在 处的函数值与实验数据处的函数值与实验数据 相差都很小。相差都很小。ba,battf )(710,ttt710
22、,yyy就是要使偏差就是要使偏差 )7,2,1,0()(itfyii都很小都很小因此可以考虑选取常数因此可以考虑选取常数 ，使得，使得 ba,702)(iiibatyM最小来保证每个偏差的绝对值都很小。最小来保证每个偏差的绝对值都很小。2.3.3 最小二乘法最小二乘法M把把 看成自变量看成自变量 和和 的一个二元函数，那么问的一个二元函数，那么问题就可归结为求函数题就可归结为求函数 在那些点处取在那些点处取得最小值。得最小值。ab),(baMM 70700)(20)(2iiiiiiibatybMtbatyaM即即70700)(0)(iiiiiiibatytbaty令令2.3.3 最小二乘法最小
23、二乘法将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和 分离出来，得ab)1(.8,70707070702 iiiiiiiiiiiybtatytbta计算得计算得,2870 iit,140702 iit,5.20870 iiy0.71770 iiity2.3.3 最小二乘法最小二乘法代入方程组代入方程组(1)得得解此方程组，得到解此方程组，得到这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为)2(.125.273036.0)(ttfy5.20882871728140baba.125.27,3036.0ba2.3.3 最小二乘法最小二乘法知识扩展：误差处理的实质：从测试数据中发掘出真实值误差处理的实质：从测试数据中发掘出真实值如何从一堆数据中发现知识？如何从一堆数据中发现知识？数据挖掘知识发现人工智能人工智能学习要求q 掌握误差的性质、分析产生原因。掌握误差的性质、分析产生原因。q 理解实验数据的处理方法，合理计算取得理解实验数据的处理方法，合理计算取得的结果，以便在一定条件下得到真实值的的结果，以便在一定条件下得到真实值的数据。数据。q 了解误差补偿方法，为精确设计与实验数了解误差补偿方法，为精确设计与实验数据处理打基础据处理打基础测试技术基础测试技术基础
