1、应力状态与强度理论应力状态与强度理论及其工程应用及其工程应用第10章返回总目录返回总目录 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 结论与讨论结论与讨论(1)(1)广义胡克定律广义胡克定律 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 第第10章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用 低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验问题的提出问题的提出 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 低碳钢拉伸实验低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验铸铁拉伸实验 应力状态的基本概念应力状态的基本概
2、念 为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿45 螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢扭转实验低碳钢扭转实验 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 受力之前受力之前,表面的正方形表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。应力状态的基本概念应力状态的基本概念 受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。应力状态的基本概念应力状态的基本概念 受扭之前受扭之前，圆轴表面圆轴表面为正为正圆圆。这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。应力。受扭后，变为一斜置椭圆，长轴
3、方向伸长，受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。短轴方向缩短。这是为什么？这是为什么？应力状态的基本概念应力状态的基本概念 xx y xxy拉中有剪拉中有剪xx根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 x y xxy剪中有拉剪中有拉 yx xy yx xy根据微元的局部平衡根据微元的局部平衡 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。研究斜截面上的应力。应力状态的基本概念应力状态的
4、基本概念 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 横截面上的正应力分布横截面上的正应力分布Mz横截面上的剪应力分布横截面上的剪应力分布 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力的面的概念。x y x yx xyxx y x 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 哪一个面上哪一个面上？哪一点哪一点？哪一点哪一点？哪个方向面哪个方向面？过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态这一点的应力状
5、态（State of the Stresses of a Given Point）。应力状态的基本概念应力状态的基本概念 应力状态分析应力状态分析（analysis of stress-state）是用平衡的方法，是用平衡的方法，分析过一点、在不同方向面上的应力以及这些应力之间的相互关分析过一点、在不同方向面上的应力以及这些应力之间的相互关系，并确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。系，并确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。与前几章中所采用的平衡方法不同的是，应力状态分析时的与前几章中所采用的平衡方法不同的是，应力状态分析时的平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或
6、其一部分，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。而是三个方向尺度均为小量的微元局部。此外，本章中除了采用平衡方法导出过一点所有方向面上应此外，本章中除了采用平衡方法导出过一点所有方向面上应力的解析表达式，还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分力的解析表达式，还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些较为复杂的问析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。应力状态分析方法应力状态分析方法 应力状态的基本概念应力状态的
7、基本概念 微元及其各面上微元及其各面上一一点应力状态点应力状态的的描述描述 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 yxz x y z xy yx yz zy zx xz 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 (Plane State of Stresses)xyx y yx xy 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 x yx xy单向应力状态单向应力状态(One Dimensional State of Stresses)(Shearing State of Stresses)应力状态的基本概念应力状态的基本概念 单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态 应力状态的基本概念应力状态的
8、基本概念 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 结论与讨论结论与讨论(1)(1)广义胡克定律广义胡克定律 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 第第10章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用xxxx 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 yx xy剪应力剪应力 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 yxntq方向角方向角q 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 x xy y
9、 yx任意方向面任意方向面 n nx x xy y yx 平衡对象平衡对象 平衡方程平衡方程 y yx 参加平衡的量参加平衡的量dA 0nF 0tF x xy 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 0nF 0 xy y yxdA dAd coscosxAd cossinxyAd sincosyxAd sinsinyAx 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 0tF xy y yxdA 0dAd cossinxAd coscosxyAd sinsinyxAd sinsinyAx 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 cos2
10、sin222sin2cos22xyxyxyxyxy 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 例例 题题 1 1 分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。拉伸时发生屈服的主要原因。xyxx 杆件承受轴向拉伸时，其上杆件承受轴向拉伸时，其上任意一点均为单向应力状态。任意一点均为单向应力状态。根据平面应力状态任意斜截根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上
11、的应力力 根据平面应力状态任意斜截根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy在本例的情形下，在本例的情形下，y0，yx0。cos222xxsin22xntxx 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 根据这一结果，当根据这一结果，当4545时，时，斜截面上既有正应力又有剪应力，其斜截面上既有正应力又有剪应力，其值分别为值分别为 cos222sin22xxx4545,22xx 不难看出，在所有的方向面中，不难看出，在所有的方向面中，45斜截面上的正应力不是最斜截面上的正应力不是最大值，而
12、剪应力却是最大值。大值，而剪应力却是最大值。这表明，轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹这表明，轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹4545角的斜面角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。ntxx 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 例例 题题 2 分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆试样分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。扭转破坏的主要原因。圆轴扭转时，其上任意一点圆轴扭转时，
13、其上任意一点的应力状态为纯剪应力状态。的应力状态为纯剪应力状态。根据平面应力状态任意斜截根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy yx xynt 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy在本例的情形下，在本例的情形下，x y0。sin2xy yx xyntcos2xy 平面应力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 可
14、以看出，当可以看出，当4545或或45时，时，斜截面上只有正应力没有剪应力。斜截面上只有正应力没有剪应力。45时时(自自x轴逆时针方向转过轴逆时针方向转过45)，拉应力最大；拉应力最大；45时时(自自x轴顺时轴顺时针方向转过针方向转过45)，压应力最大，压应力最大：进行进行铸铁圆试样扭转实验时，正是铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即沿着最大拉应力作用面（即45螺旋螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。破坏是由最大拉应力引起的。sin2cos2xyxymax45450 xymax45450 xy_-yx xynt 平面应
15、力状态任意方向面上的应平面应力状态任意方向面上的应力力 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 结论与讨论结论与讨论(1)(1)广义胡克定律广义胡克定律 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 第第10章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用yxxy22tanpcos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxysin2cos2=02xyxy 剪应力剪应力 0的方向面，称为主平面（的方向面，称为主平面（principal plane），），其其方向角用方向角用 p表示。表示。应力状态中的主应力与最大剪应力
16、应力状态中的主应力与最大剪应力 将上式对将上式对 求一次导数，并令其等于零，有求一次导数，并令其等于零，有 d()sin22cos20dxyxy由此解出的角度由此解出的角度角度角度 与与 P P 具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕质，即当坐标系绕z轴轴(垂直于垂直于xy坐标面坐标面)旋转时，主应力为所有坐旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。标系中正应力的极值。yxxy22tancos2sin222xyxyxy 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主
17、应力与最大剪应力 需要指出的是，对需要指出的是，对于平面应力状态，平行于平面应力状态，平行于于xy坐标面的平面，其坐标面的平面，其上既没有正应力，也没上既没有正应力，也没有剪应力作用，这种平有剪应力作用，这种平面也是主平面。这一主面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零。平面上的主应力等于零。0 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 cos2sin222xyxyxyp2tan2xyxypp+2224212xyyxyx224212xyyxyx 0 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 224212xyyxyx224212xyyxyx 0 以后将按三
18、个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用123,表示，即表示，即321 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。以说主应力是反映应力状态本质的特征量。应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 y yx xyxxy x y y y x xxy Py Pxypxp 因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达
19、形式。在无穷因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？质的表达形式？应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 根据上述结果，原来用根据上述结果，原来用 x、y、xy和和 yx表示的应力状态，表示的应力状态，现在可以用主应力表示。现在可以用主应力表示。显然，用主应力表示的应力状态要比用一般应力分量表显然，用主应力表示的应力状态要比用一般应力分量表示的应力状态简单。用主应力表示一点处的应力状态可以说示的应力状态简单。用主应力表示一点处的应力状态
20、可以说明某些应力状态表面上是不同的，但实质是相同的，即其主明某些应力状态表面上是不同的，但实质是相同的，即其主应力和主方向都相同。应力和主方向都相同。y yx xyxxy 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用 s s表示表示sin2cos22xyxy对对 求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到 d()cos22sin20dxyxystan22xyxy 与正应力相类似，不同方向面上的剪应力亦随着坐标的旋与正应力相类似，不同方向面上的剪应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将转而变
21、化，因而剪应力亦可能存在极值为求此极值，将 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 得到得到 的极值的极值 stan22xyxysin2cos22xyxy22421xyyx 需要特别指出的是，需要特别指出的是，上述剪应力极值仅对垂直于上述剪应力极值仅对垂直于xy坐标面坐标面的方向面而言，因而称为的方向面而言，因而称为面内最大剪应力（面内最大剪应力（maximum shearing stresses in plane）与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值所有方向面中剪应力的最大和最小值。应力状态中的主应
22、力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（以将平面应力状态视为有三个主应力（1、2、3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。等于零。考察微元三对面上分别作用着三个主应力考察微元三对面上分别作用着三个主应力（123 0）的应力状态。的应力状态。应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 考察微元三对面上分考察微元三对面上分别 作 用 着 三 个 主 应 力别 作 用 着 三 个 主 应 力（12
23、3 0）的应力的应力状态。状态。应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 x=3,y=2，xy022421xyyx 这就是这就是组方向面内的最大剪应力组方向面内的最大剪应力。232 在平行于主应力在平行于主应力1方向的任意方向面方向的任意方向面上，正应力和剪应力都上，正应力和剪应力都与与1无关。因此，当研究平行于无关。因此，当研究平行于1的这一组方向面上的应力时，所的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：研究的应力状态可视为一平面应力状态：应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 在平行于主应力在平行于主应力2方向的任意方向面方向
24、的任意方向面上，正应力和剪应力都与上，正应力和剪应力都与2无关。因此，当无关。因此，当研究平行于研究平行于2的这一组方向面上的应力时，的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：所研究的应力状态可视为一平面应力状态：x=1,y=3，xy0。22421xyyx 132这就是这就是组方向面内的最大剪应力组方向面内的最大剪应力。x=1,y=2，xy0。22421xyyx 122 在平行于主应力在平行于主应力3方向的任意方方向的任意方向面向面上，正应力和剪应力都与上，正应力和剪应力都与3无无关。因此，当研究平行于关。因此，当研究平行于3的这一组的这一组方向面上的应力时，所研究的应力
25、状方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：态可视为一平面应力状态：这就是这就是组方向面内的最大剪应力组方向面内的最大剪应力。一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者一点应力状态中的最大剪应力，必然是上述三者中最大的，即中最大的，即 12213223213max2 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示如图所示）。已知圆。已知圆管的平均直径管的平均直径D50 mm，壁厚壁厚2 mm。外加力偶的力外加力偶的力偶矩偶矩Me600 Nm，轴向载荷轴向载荷FP20 kN。薄壁管截面的薄壁管截面的扭
26、转截面系数可近似取为扭转截面系数可近似取为 22PdW 1圆管表面上过圆管表面上过D点与圆管母线夹角为点与圆管母线夹角为30的斜截的斜截 面上的应力；面上的应力；2.D点主应力和最大剪应力。点主应力和最大剪应力。应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 取微元，确定微元各个面上的应力取微元，确定微元各个面上的应力 围绕围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力：式计算微元各面上的应力：应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的
27、主应力与最大剪应力 取微元，确定微元各个面上的应力取微元，确定微元各个面上的应力 利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力：式计算微元各面上的应力：3PP-3-320kN 1063 7MPa 50mm 102mm 10.FFAD22-3-3P22 600N m76 4MPa50mm 102mm 10.xMMeWd 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 求斜截面上的应力求斜截面上的应力 在在本例中有本例中有：x63.7 MPa，y0，xy一一76.4 MPa，120。cos2sin222xyxyxy
28、sin2cos22xyxy2sin2cos2230 xyyxyxMPa3501202sinMPa4761202cos20MPa76320MPa763.应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 求斜截面上的应力求斜截面上的应力 在在本例中有本例中有：x63.7 MPa，y0，xy一一76.4 MPa，120。cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy2cos2sin230 xyyxMPa7101202cosMPa4761202sin20MPa763.应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 确定主应力与最大剪应力确定主应力与最大剪应力 22
29、4212xyyxyxMPa6114MPa47640MPa7632120MPa76322.224212xyyxyx MPa950MPa47640MPa7632120MPa76322.0 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 确定主应力与最大剪应力确定主应力与最大剪应力114 6MPa.50 9MPa.0 根据主应力代数值大小顺序排列，根据主应力代数值大小顺序排列，D点的三个主应力为点的三个主应力为1114 6MPa.350 9MPa.20D点的最大剪应力为点的最大剪应力为 13max114.6MPa50.9MPa82.75MPa22 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态
30、中的主应力与最大剪应力 例例 题题 4应力状态如图所示。应力状态如图所示。1.确定主应力确定主应力 应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 1写出主应力写出主应力 1、2、3的表达式；的表达式；2若已知若已知 x63.7 MPa，xy=76.4 MPa，当坐标轴当坐标轴x、y反时针方向反时针方向 旋转旋转=120 后至后至x、y ，求，求:x、xy。221422xyxyxy 221422xyxyxy 1.确定主应力确定主应力应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 因为因为 y0，所以有所以有0421222xyxx0421222 xyxx又因为是平面应力状态，故有又因
31、为是平面应力状态，故有0 221422xyxyxy 221422xyxyxy 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 于是，根据于是，根据 1 2 3的排列顺序，得的排列顺序，得 2232221421204212xyxxxyxx0421222xyxx0421222 xyxx0 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 2.计算方向面法线旋转后的应力分量计算方向面法线旋转后的应力分量 将已知数据将已知数据 x63.7 MPa，y0，xy yx=76.4 MPa，=120 等代入任等代入任意方向面意方向面上应力分量的表达式上应力分量的表达式，求得：，求得：
32、66663 7010 cos 2 1202 76 4 10 sin 2 120282.1 10 Pa82.1MPax.66637 010sin 2 120764 10 cos 2 1202xy.MPa865Pa108656.应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 三向应力状态如图所三向应力状态如图所示，图中应力的单位为示，图中应力的单位为MPa。例例 题题 5主应力及微元内的最主应力及微元内的最大剪应力。大剪应力。应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 故微元上平行于故微元上平行于 的方向面上的应力值与的方向面上的应力值与 无关。因此，无关。因此，当
33、确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主应力应力 和和 时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即60MPa 应力状态中的主应力与最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力 这与这与中的平面应力状态相类似。于是，中的平面应力状态相类似。于是，中所中所得到的主应力得到的主应力 和和 公式可直接应用公式可直接应用 0421222xyxx0421222 xyxx所给的应力状态中有一个主应所给的应力状态中有一个主应力是已知的，
34、即力是已知的，即60MPa 本例中本例中 x x=20 Mpa，xyxy=40 MPa。据此，求得据此，求得 622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22622662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa0421222xyxx0421222 xyxx根据根据 1 2 3的排列顺序，可以写出的排列顺序，可以写出 MPa2351MPa2331MPa60321.微元内的最大剪应力微元内的最大剪应力 55.6MPaMPa1055.6Pa21023511060266631max.622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22622
35、662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 结论与讨论结论与讨论(1)(1)广义胡克定律广义胡克定律 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 第第10章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用11xExxExxy 泊松比泊松比 广义胡克定律广义胡克定律 第第7 7章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用三向应力状态的广义胡克定律三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23111231E 22311E 33121E 广义胡
36、克定律广义胡克定律 第第7 7章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用1xxyE1yyxEzxyE xyxyGxy y x 对于平面应力状态，广义胡克定律为对于平面应力状态，广义胡克定律为 广义胡克定律广义胡克定律 第第7 7章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用12EG 这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，只有两个是独立的。中，只有两个是独立的。广义胡克定律广义胡克定律 第第7 7章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 平面应力状
37、态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 结论与讨论结论与讨论(1)(1)广义胡克定律广义胡克定律 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 第第10章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用微元应变能微元应变能(strain energy)xzyddd11 yzxddd22 zxyddd33 2 1 3 力的力的作用点所产生的位移作用点所产生的位移 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 zyxddd332211dW=1122331d dd21d dd21d dd2y zxx zyx yz力力在位移上所做的功转变为微元的应变能在位移上所做的功转变为微元的应变能=d
38、V 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 应变能密度应变能密度(strain-energy density)1 122331d d dd2dd d dx y zVvVx y z 1 1223312 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 2 13 32131 321将将一般应力状态分解为两种特殊情形一般应力状态分解为两种特殊情形 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 2 13 321不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 2 13 321vdvvv 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 应变能与应变能密度应变
39、能与应变能密度 321 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 1 1223312v 123123132v1231 26vE 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 3211 1223312v 222d12233116vE 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 vdvvv222d12233116vE2v123126vE 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 结论与讨论结论与讨论(1)(1)第第10章章 应力状态与强度理论及其工程应用应力状态与强度理论及其工程应用 关于应力状态的几点重要结论关于应力状态的几点重要结论 结论与讨论结论与讨论(1)(1)结论与讨论结论与讨论(1)(1)平衡方法是分析应力
40、状态平衡方法是分析应力状态 最重要、最基本的方法最重要、最基本的方法 结论与讨论结论与讨论(1)(1)A AA A 关于关于A点的应力状态点的应力状态有多种答案，请用平衡的有多种答案，请用平衡的概念分析哪一种是正确的？概念分析哪一种是正确的？论证论证AA截面将截面将不再保持平面不再保持平面。A AA A论证论证AA截面上截面上必然存在剪应力，而必然存在剪应力，而且是非均匀分布的；且是非均匀分布的；关于应力状态的不同的表示方法关于应力状态的不同的表示方法 结论与讨论结论与讨论(1)(1)请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的请分析图示四种应力状态中，哪几种是等价的?04545 0 0 0 0
41、4545 0 0 结论与讨论结论与讨论(1)(1)注意区分两种最大剪应力注意区分两种最大剪应力 结论与讨论结论与讨论(1)(1)注意区分面内最大剪应力与所有方向面中的最大剪应注意区分面内最大剪应力与所有方向面中的最大剪应力力 一点处的最大剪应力一点处的最大剪应力231max 结论与讨论结论与讨论(1)(1)最大剪应力最大剪应力 xy xoadcbe2 p 1 1 2 23 max231max 结论与讨论结论与讨论(1)(1)正确应用广义胡克定律正确应用广义胡克定律 结论与讨论结论与讨论(1)(1)请判断下列论述的正确性：请判断下列论述的正确性：有应力一定有应变有应力一定有应变 有应力不一定有应变有应力不一定有应变 有应变不一定有应力有应变不一定有应力 有应变一定有应力有应变一定有应力 结论与讨论结论与讨论(1)(1)
