1、电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔第三章 线性系统的时域分析法3.1 绪言3.2 典型输入信号 3.3 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标3.4 控制系统的稳定性和稳定判据控制系统的稳定性和稳定判据3.5 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.6 控制系统暂态响应电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔3.1 绪言 分析控制系统第一步第一步 建立模型建立模型第二步第二步 分析控制性能分析控制性能分析方法包括时域分析法频域分析法根轨迹法一.控制系统的分析方法电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 二.线性系统的时域分析法内容线性系统的时域分析法典型输入信号线性定常系统
2、的时域响应控制系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算一、二阶暂态响应性能指标高阶系统暂态响应分析电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔3.2 典型输入信号 Typical test signals 分析控制系统的分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，数学模型一旦建立，数学模型一旦建立，第第二步二步 分析控制性能分析控制性能，分析有多种方法，主要有，分析有多种方法，主要有时域分析法时域分析法，频域分析法频域分析法，根轨迹法根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章讨论时域法。的适用范围和对象。本章讨论时域法。实际上，控制系统的输入
3、信号常常是不知的，而是随机的。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。道的，可以用解析的方法或者曲线表示。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。入信号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立
4、。许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号即典型输入试验信号即典型输入信号信号来评价系统性能是合理的。来评价系统性能是合理的。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔一、阶跃函数（一、阶跃函数（Step function）通常，给控制系统施加一定的输
5、入信号，考察系统的输通常，给控制系统施加一定的输入信号，考察系统的输出响应来分析系统性能。出响应来分析系统性能。系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和输入信号输入信号的形的形式有关。可将输入信号规定为统一的典型形式。常用的式有关。可将输入信号规定为统一的典型形式。常用的典型典型输入信号有阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数输入信号有阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数和和正弦函数。正弦函数。定义：式中定义：式中A 为常量。为常量。A=1的阶跃函数称为
6、的阶跃函数称为单位阶跃函数单位阶跃函数，记，记为为1（t）如）如式式3-1所示。所示。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为：通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp）对正弦试验信号）对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论电气与新能源学院首页上页下
7、页末页结束电子笔定义：定义：式中式中A为常量。当为常量。当A=1时时,称为单称为单位斜坡函数位斜坡函数,记为记为t1（t），如图），如图3-2所示。所示。它等于对单位阶跃函数对时间的它等于对单位阶跃函数对时间的积分。单位斜坡函数的拉氏变换为积分。单位斜坡函数的拉氏变换为 二、斜坡函数二、斜坡函数（Ramp function）R（S）=Lr(t)=1/s2 (3-4)如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。坡时间函数是比较合适的。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 其定义为：其定义为：式中式中A为常量。为常量
8、。当当A=1时，称为时，称为单位抛物线函数单位抛物线函数，记为，记为t2/21（t）如图如图3-3所示。所示。它等于单位斜坡函它等于单位斜坡函数对时间的积分。其拉氏变换为数对时间的积分。其拉氏变换为：三、抛物线函数三、抛物线函数（Acceleration function）电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 定义为定义为：脉冲函数如图脉冲函数如图3-4所示所示,令令A=1,0,则称为单位脉冲函数则称为单位脉冲函数,记为记为（t）,见图见图3-4（b）,有有单位脉冲函数的单位脉冲函数的拉氏变换拉氏变换为：为：单位脉冲函数是单位阶跃函数对单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数时间的导数 四
9、、脉冲函数四、脉冲函数（Impulse function）电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 定义为：定义为：r（t）A Sint式中式中,A为振幅；为振幅；为角频率。为角频率。用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时的稳态响应，在频率法中广泛使用。的稳态响应，在频率法中广泛使用。五、正弦函数五、正弦函数（Sinusoidal function）电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 如系统的输入为如系统的输入为r（t），输出为），输出为c（t），则用以下常微分），则用以下常微分方程描述其运动行为方程描述其运动行为:3.3 3
10、.3 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标由由:可得可得式中式中 SiG（S）的极点；）的极点；SkR（S）的极点。）的极点。一.线性定常系统的时域响应电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔如果如果Si和和Sk都是互异极点，则系统的零状态响应为都是互异极点，则系统的零状态响应为式中式中Ak，Bk常数常数。由于由于 Si只是只是 G（s）的极点）的极点，所以式（所以式（3-14）等号右侧第）等号右侧第一项与输入无关，即为系统零状态响应中的一项与输入无关，即为系统零状态响应中的暂态响应分量。暂态响应分量。sk只与外部输入只与外部输入r（t）有关）有关，所以式（所以式（3-14）等号右侧
11、第二项即）等号右侧第二项即为系统零状态响应中的为系统零状态响应中的稳态响应分量。稳态响应分量。可从暂态响应和稳态响应中求取系统的性能指标。可从暂态响应和稳态响应中求取系统的性能指标。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔二.动态过程和稳态过程 1.瞬时响应和稳态响应 Transient Response&Steady_state Response在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。稳态响应 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。电气与新能源学院首页
12、上页下页末页结束电子笔2.绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability,Relative Stability,Steady_state Error 控制系统动态特性中，最重要的是绝控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，果线性
13、定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。状态，那么系统便是不稳定的。图3-1稳定性分析示意图电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到系统不稳定产生的后果实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者
14、使系一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。线性的，而使线性微分方程不再适用。绝对稳定性是前提。v相对稳定性：表示稳定的程度。一般用稳定裕度（裕量）表相对稳定性：表示稳定的程度。一般用稳定裕度（裕量）表示示v稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。电气与新能源学院首页上页下页末
15、页结束电子笔 稳态特性：稳态特性：稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。种度量。三.动态性能指标：在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。以确定对输入信号跟踪的误差大小。在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使域量值的形式给出。通常，控制系
16、统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0 0），对），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。响应特性，通常采用下列一些性能指标。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 延迟时间延迟时间 （Delay Time）响）响应曲线第一次达到稳应曲线第一次
17、达到稳态值的一半所需的时态值的一半所需的时间。间。dtdt:rt峰值时间峰值时间 （Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。峰值所需要的时间。pt上升时间上升时间（Rise Time）响应曲线从稳态响应曲线从稳态值的值的10%上升到上升到90%，所需的时，所需的时间。上升时间越间。上升时间越短，响应速度越短，响应速度越快。快。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔()()%100%()ph thh rt或pt评价系统的响应速度；st同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。%评价系统的阻尼程度。调节调节时间：时间：Settling ti
18、me响应曲线达到并永远响应曲线达到并永远保持在一个允许误差保持在一个允许误差范围内，所需的最短范围内，所需的最短时间。用稳态值的百时间。用稳态值的百分数（通常取分数（通常取5%或或2%）作）作一个允许误一个允许误差范围差范围 超调量超调量（MaximumOvershoot）：指）：指响应的最大偏离量响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的于终值之差的百分比，百分比，电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔一、系统稳定性的定义一、系统稳定性的定义 二、线性定常系统稳定的充要条件二、线性定常系统稳定的充要条件:3.4 3.4 控制系统的稳定性和稳定判据控制系统的稳定性和稳定判据 稳定是一个控制系统
19、能否在实际中投入使用的首要条件。稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在系统稳定性：如系统处于初始平衡状态，在受到外界扰动受到外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，若作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则系统稳定系统稳定；否则；否则，系统不稳定。系统不稳定。系统不稳定情况：离初始状态越来越远；达到另一个平衡系统不稳定情况：离初始状态越来越远；达到另一个平衡状态。状态。根据稳定性定义，系统稳定性应当决定于系统响应中的暂根据稳定性定义，系统稳
20、定性应当决定于系统响应中的暂态分量。而暂态分量与系统的参数、结构和初始条件有关，与态分量。而暂态分量与系统的参数、结构和初始条件有关，与外作用无关，因此，分析系统响应中暂态分量的运动形式，即外作用无关，因此，分析系统响应中暂态分量的运动形式，即可找出系统稳定的充分必要条件。可找出系统稳定的充分必要条件。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔设线性定常系统闭环传递函数为：设线性定常系统闭环传递函数为：特征方程为：特征方程为：为阐述简单起见，设前述特征方程不存在重极点（对有重极为阐述简单起见，设前述特征方程不存在重极点（对有重极点的情况，以下结论也是成立的），则在扰动作用下系统响点的情况，以下
21、结论也是成立的），则在扰动作用下系统响应的暂态分量为：应的暂态分量为：:is系统的互异实极点kkj：系统的共轭复数极点电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 但系统阶次较高时，所有极点不易求出。但系统阶次较高时，所有极点不易求出。从从c1(t)的表达式可知，只有当特征方程的的表达式可知，只有当特征方程的所有根（闭环极所有根（闭环极点）点）都具有都具有负的实部负的实部时，随着时间的推移，时，随着时间的推移，c1(t)才能趋于零，才能趋于零，即回到初始状态。即回到初始状态。线性定常系统稳定的充分必要条件为：线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的
22、所有极点）有根（即闭环传递函数的所有极点）均具有负的实部。（或特均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在征方程的所有根均在S平面的平面的左半部）左半部）。根据充要条件，如果能将系统所有极点求出，即可立即判根据充要条件，如果能将系统所有极点求出，即可立即判断稳定性。断稳定性。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔1.系统特征方程如下：系统特征方程如下：三、劳斯三、劳斯（Routh）判据）判据利用特征方程的系数构成劳斯表：利用特征方程的系数构成劳斯表：表中，除第一、二行外需表中，除第一、二行外需要按照下列规律进行计算。要按照下列规律进行计算。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 劳斯判据
23、：劳斯判据：劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数特征方程正实部根的数目。目。注意注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1;如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结
24、可用一个正整数去乘或除劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。果。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔例题例题1例例1：系统特征方程为系统特征方程为S42S33S24S5=0，试用劳斯判，试用劳斯判据判别据判别 因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。故特征方程有两个正实部根。如题意只要求判别稳定性如题意只要求判别稳定性,则计算至出现符号改变即可结则计算至出现符号改变即可结束。否则应计算到束。否则应计算到n+1行。行。解解 根据特征方程系数计算劳斯表根据特征方程系数计算劳斯表电气与新能源
25、学院首页上页下页末页结束电子笔例题例题2例例2：某系统特征方程为某系统特征方程为S43S33S22S2=O，试用劳斯，试用劳斯判据判断系统的稳定性。判据判断系统的稳定性。解解 根据特征方程系数计根据特征方程系数计算劳斯表算劳斯表 因第一列出现负数，系因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。两个正实部根。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔2.两种特殊情况两种特殊情况 特殊情况一特殊情况一：劳斯表的某一行中，出现第一列为零，而其劳斯表的某一行中，出现第一列为零，而其余余各项不全为零。各项不全为
26、零。这时可用这时可用一个一个足够小足够小的正数的正数 代替为零的项，然后继续计代替为零的项，然后继续计算劳斯表余下系数。算劳斯表余下系数。例例3:系统的特征方程为系统的特征方程为S42S3+s2+2s1=0,试判别系统试判别系统的稳定性。的稳定性。解解 :列劳斯表，因第三行符号列劳斯表，因第三行符号变为负，系统不稳定，且有两变为负，系统不稳定，且有两个正实部根。个正实部根。43210111220()1221sssss电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 特殊情况二特殊情况二：计算劳斯表时计算劳斯表时,某一行各项全为零。某一行各项全为零。这表明特征方程具有对称于原点的根这表明特征方程具有对
27、称于原点的根（纯虚根）（纯虚根）。这些对称于原点的根可由令这些对称于原点的根可由令辅助多项式辅助多项式等于零等于零构成的构成的辅辅助方程助方程求得求得 这时可将不为零的最后一行这时可将不为零的最后一行(即全为零行的即全为零行的上面上面一行一行)的各项的各项构成一个构成一个辅助多项式辅助多项式。用对辅助多项式各项对。用对辅助多项式各项对s求导求导后所得的后所得的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔例题例题4例例4:4:系统特征方程为系统特征方程为 S S5 5S S4 4十十3s3s3 3十十3s3s2
28、 22S2S2=02=0，试判，试判别系统的别系统的稳定性。稳定性。解解:列劳斯表列劳斯表构成辅助方程：构成辅助方程：Q（s）=S43S22=0 求导后得求导后得 4S4S3 3十十 6S=06S=0，用其系数构成全为零的行，继续计算余下各行用其系数构成全为零的行，继续计算余下各行电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 可知，系统不稳定，可知，系统不稳定，但第一列元素未改变符号但第一列元素未改变符号，所以系统没有位于，所以系统没有位于S右右半平面的根，有位于虚轴半平面的根，有位于虚轴上的根。上的根。虚轴上根的求取虚轴上根的求取 由辅助方程求得由辅助方程求得 S43s22=0 则有则有（S2
29、1）（）（S22）=0 故故S1、2=j S3、4=j 2电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔四、赫尔维茨（四、赫尔维茨（HurwitzHurwitz）判据）判据 由赫尔维茨由赫尔维茨1895年提出的常用代数判据。年提出的常用代数判据。设系统特征方程为：设系统特征方程为：用特征方程的系数构成赫尔维茨行列式用特征方程的系数构成赫尔维茨行列式：系统稳定的充分系统稳定的充分必要条件是：在必要条件是：在a0 0的情况下，赫尔的情况下，赫尔维茨行列式的各阶维茨行列式的各阶主子式均大于零，主子式均大于零，否则系统不稳定。否则系统不稳定。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 (林纳德林纳德-奇帕
30、特证明的推论：在奇帕特证明的推论：在ai 0的条件下的条件下,系统稳系统稳定的充分必要条件是：所有奇数次赫尔维茨行列式均大于零定的充分必要条件是：所有奇数次赫尔维茨行列式均大于零,或者是所有偶数次赫尔维茨行列式均大于零。或者是所有偶数次赫尔维茨行列式均大于零。)对稳定系统来说要求对稳定系统来说要求 电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔例题例题5例例5:系统特征方程为系统特征方程为 S42S38S2十十4s十十2=0，试判别系试判别系统是否稳定统是否稳定 解解 因因ai 0，故可使用林纳德故可使用林纳德-奇帕特证明的推论进行奇帕特证明的推论进行判断。因为判断。因为 故系统稳定故系统稳定电气
31、与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔五、稳定判据的应用五、稳定判据的应用 1判别系统的稳定性判别系统的稳定性 2分析系统参数变化对稳定性影响分析系统参数变化对稳定性影响 利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定利用代数稳定判据可以确定个别参数变化对系统稳定性的影响，给出使系统稳定的参数范围。性的影响，给出使系统稳定的参数范围。例例6:设控制系统结构图设控制系统结构图如图如图 3-6所示，试确定满所示，试确定满足稳定要求时足稳定要求时K1的临界值的临界值和开环放大系数的稳定临和开环放大系数的稳定临界值界值Kc。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环
32、传递函数为特征方称为：特征方称为：劳斯表：劳斯表：为使系统稳定，必须有为使系统稳定，必须有（1）K10（2）6-K10,得得K16 综合考虑，使系统稳定的综合考虑，使系统稳定的 K1取值范围应为：取值范围应为：0K10,系统稳定。系统稳定。（2）令）令s=z-=z-1,代入特征方程得代入特征方程得：2z2z3 3+4z+4z2 2-z-1=0-z-1=0，（3）利用劳斯判据对新）利用劳斯判据对新系统进行判断系统进行判断,第一列符号变第一列符号变化一次化一次,系统不稳定。原系统系统不稳定。原系统达不到达不到=1的稳定裕度。的稳定裕度。例例7:7:系统特征方程为系统特征方程为 2S2S3 310s
33、10s2 213s13s4=0 4=0，设，设=1=1，试，试检验系统的稳定裕量。检验系统的稳定裕量。1 1sz电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔3.5 3.5 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 系统响应系统响应由由稳态响应稳态响应和和暂态响应暂态响应两部分组成。从稳态响应两部分组成。从稳态响应可以分析系统的可以分析系统的稳态误差稳态误差，从而定量分析系统的稳态性能。，从而定量分析系统的稳态性能。稳态误差反映了控制系统的稳态精度。稳态误差反映了控制系统的稳态精度。因此因此稳态误差分析稳态误差分析是控制系统分析的一项基本内容。是控制系统分析的一项基本内容。一、稳态误差和误差传递函数一
34、、稳态误差和误差传递函数 系统系统误差误差：指系统响应的期望值指系统响应的期望值Co（t）和实际值和实际值C（t）之之差，即差，即 （t）=Co（t）-C（t）系统系统稳态误差：稳态误差：当当t时系统误差称为稳态误差，用时系统误差称为稳态误差，用ess表表示，即示，即 电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 稳态误差是在稳态误差是在初始平衡条件初始平衡条件下加入输入信号，经过足够长下加入输入信号，经过足够长的时间，其的时间，其暂态响应部分暂态响应部分已经已经衰减到微不足道衰减到微不足道时，系统响应的时，系统响应的期望值与实际值之差期望值与实际值之差。因此，只有。因此，只有稳定的系统稳定的系
35、统，讨论稳态误差，讨论稳态误差才有意义。才有意义。单位反馈系统单位反馈系统图图3-7（a图）图）偏差偏差e(t)：e(t)=r(t)-c(t)=co(t)-c(t),即偏差即偏差e(t)等于等于误差误差 (t)，偏差的稳态值偏差的稳态值等于系统的稳态误差。等于系统的稳态误差。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔下一张最后一张非单位反馈系统非单位反馈系统图图3-7（b图）偏差图）偏差e(t)：e(t)=r(t)-b(t)，与，与误差误差 (t)=c0(t)-c(t)不不相等，但具有确定的相等，但具有确定的关系关系：故在系统稳态性能分析中，通常使用偏差代替误差进行研究，故在系统稳态性能分析中
36、，通常使用偏差代替误差进行研究，即用即用 表示系统稳态误差表示系统稳态误差稳态误差的一稳态误差的一般计算式：般计算式：H电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 误差及稳态误差与系统的开环传递函数误差及稳态误差与系统的开环传递函数G(s)H(s)和输入和输入信号信号R(s)有关。有关。系统开环传递函数记为系统开环传递函数记为稳态误差计算式为稳态误差计算式为表明，影响稳态误差的因素有开环增益、输入信号和开表明，影响稳态误差的因素有开环增益、输入信号和开环传递函数中积分环节的数目。环传递函数中积分环节的数目。因此按系统开环传递函数中积分环节的个数对系统进行分因此按系统开环传递函数中积分环节的个数
37、对系统进行分类，即当类，即当 =0，1，2，时，分别称相应系统为时，分别称相应系统为0型，型，I型，型，II型，型，型系统型系统。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔二、给定输入信号作用下的稳态误差二、给定输入信号作用下的稳态误差 1阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数Kp设设r(t)=A.1(t)，则，则R(s)=A/s，则，则 令令下一张最后一张结束授课定义定义Kp为静态位置误差系数，则有为静态位置误差系数，则有 对对0型系统，有型系统，有则则为有限值。为有限值。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔则则ess=0 由于由于0型系统
38、无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与与K有关的一定值，因此常称为有差系统有关的一定值，因此常称为有差系统。对对I型及型及I型以上系统型以上系统有：有：为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下增大为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下增大K值值。若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于类型高于I型。型。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔2.斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系统斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系统Kv 设设r(t)=At，则，则R(s)=A/s2，则有，
39、则有 令令定义定义Kv为为静态速度误差系数静态速度误差系数，则有，则有电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔下一张最后一张结束授课对对0型系统，有型系统，有 此时，此时，ess=对对I型系统，有型系统，有 此时，此时，对对II型及以上系统型及以上系统,有有 此时，此时，ess=0 电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 可见可见,0型系统型系统不能跟踪斜坡输入信号不能跟踪斜坡输入信号,随时间的推移随时间的推移,误差误差越来越大；越来越大；I型系统型系统可以跟踪斜坡输入信号可以跟踪斜坡输入信号。但具有与。但具有与K有关的稳态有关的稳态误差，可用增加误差，可用增加K的方法提高稳态精度；的方
40、法提高稳态精度；II型及以上系统型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为，即稳态误差为零。零。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔下一张最后一张结束授课设设r(t)=(A/2)t2，则，则R(s)=A/s3，则有，则有定义定义Ka为为静态加速度误差系数静态加速度误差系数,有有3.抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数Ka令对于对于0型系统，型系统，=0，Ka=0,ess=;对于对于I型系统，型系统，=1，Ka=0,ess=;对于对于II型系统，型系统，=2，Ka=K,ess=A/K;对于对于III型及以上
41、系统，型及以上系统，=3，Ka=,ess=0。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 可见，可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态有关的稳态误差，可误差，可 用增加用增加K的方法提高稳态精度；的方法提高稳态精度；III型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔4.有限个典型信号构成的组合信号作用下的稳态误差计算有限个典型信号构成的组合信
42、号作用下的稳态误差计算 设给定组合信号设给定组合信号为：为：利用线性系统的利用线性系统的叠加原理，可得叠加原理，可得显然，只有显然，只有II型以上系统才能跟踪上述给定信号。型以上系统才能跟踪上述给定信号。各静态误差系数的大小反映了系统限制或消除稳态误差的各静态误差系数的大小反映了系统限制或消除稳态误差的能力，系数值越大，则给定输入时的稳态误差越小。能力，系数值越大，则给定输入时的稳态误差越小。电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔各种不同输入信号作用下的稳态误差见各种不同输入信号作用下的稳态误差见表表电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔例题7例例7：已知两控制系统如已知两控制系统如右
43、右图图 所所示。当给定输入为示。当给定输入为r（t）=46t3t2时，分别求稳态误差。时，分别求稳态误差。解解 （1）右右图图(a)的开环传递的开环传递函数为：函数为：这是一个这是一个I型系统，型系统，K=2.5,，Kp=,Kv=K=2.5，Ka=0,不能跟踪不能跟踪抛物线输入，所以抛物线输入，所以ess=电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔（2）图）图3-36（b）系统的开环传递函数为：）系统的开环传递函数为：这是一个这是一个II型系统，型系统，K=2.5,，Kp=,Kv=,Ka=K=2.5,能跟踪抛物线输入，所以能跟踪抛物线输入，所以电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔三、扰动
44、输入引起的稳态误差三、扰动输入引起的稳态误差 根据式根据式以及终值定理得扰动输入时的稳态误差为以及终值定理得扰动输入时的稳态误差为 1阶跃扰动信号下的稳态误差阶跃扰动信号下的稳态误差 因因则有则有 当开环增益足够大时，则有当开环增益足够大时，则有212()()()()1()()()nG s H sE sN sG s G s H s电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔当当G1(s)为比例环节时为比例环节时当当G1(s)为积分环节时为积分环节时 为使阶跃扰动下的稳态误差为零，则应在误差信号与扰动为使阶跃扰动下的稳态误差为零，则应在误差信号与扰动作用点之间至少应设置一个积分环节。实际系统所受到
45、的干扰作用点之间至少应设置一个积分环节。实际系统所受到的干扰以阶跃信号居多以阶跃信号居多,此结论很有意义此结论很有意义 。2、斜坡扰动信号下的稳态误差、斜坡扰动信号下的稳态误差 因因则有则有电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 为使斜坡扰动下的稳态误差为零，应在误差信号与扰动为使斜坡扰动下的稳态误差为零，应在误差信号与扰动作用点之间，至少应设置两个积分环节。但积分环节的增多作用点之间，至少应设置两个积分环节。但积分环节的增多，会使系统的阶数升高，将会降低系统的稳定性。，会使系统的阶数升高，将会降低系统的稳定性。实际系统一般总是同时受到给定信号和扰动作用实际系统一般总是同时受到给定信号和扰
46、动作用,因此系统因此系统总的稳态误差应等于给定信号和扰动信号分别作用于系统时总的稳态误差应等于给定信号和扰动信号分别作用于系统时,其其稳态误差的代数和，即稳态误差的代数和，即 电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔四、用动态误差系数法计算系统的稳态误差四、用动态误差系数法计算系统的稳态误差 利用静态误差系数求稳态误差，实际上是计算在利用静态误差系数求稳态误差，实际上是计算在t时系时系统误差的极限值。它不能反映误差随时间变化的规律。统误差的极限值。它不能反映误差随时间变化的规律。为此为此,引入动态误差系数的概念引入动态误差系数的概念,用于分析误差随时间变化用于分析误差随时间变化的规律的规律由
47、由前面所学前面所学可知，系统在给定信号下的误差传递函数为可知，系统在给定信号下的误差传递函数为 将将 e（s）在）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，即的邻域内展开成泰勒级数，即 电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔 误差误差E(s)=e(S)R(s)也可表示为如下级数也可表示为如下级数 上述无穷级数称为误差级数上述无穷级数称为误差级数,它的收敛域是它的收敛域是s=0的邻域的邻域,相当于相当于t。所以当初始条件为零时。所以当初始条件为零时,对上式求拉氏反变换对上式求拉氏反变换,可得到稳态可得到稳态误差的时域表达式为误差的时域表达式为 令令电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔则稳态误差可
48、以写成则稳态误差可以写成 其中其中C0，C1，C2，称为动态误差系数称为动态误差系数。C0为动态位置误为动态位置误差系数；差系数；C1为动态速度误差系数为动态速度误差系数；C2为动态加速度误差系数为动态加速度误差系数.。（1）将已知开环传递函数写成分子、分母多项式的比值形式将已知开环传递函数写成分子、分母多项式的比值形式（2）写出多项式比值形式的误差传递函数（按）写出多项式比值形式的误差传递函数（按s的升幂排列写）的升幂排列写）通常使用的求动态误差系数的方法：通常使用的求动态误差系数的方法：电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔（3）使用多项式除法，得到一个）使用多项式除法，得到一个S的升
49、幂级数的升幂级数 （4）得到用动态误差系数表示的得到用动态误差系数表示的E(s)例例8 8：已知两系统的开环传递函数分别为已知两系统的开环传递函数分别为 试比较两系统的静态误差系数和动态误差系数。若输入信号为试比较两系统的静态误差系数和动态误差系数。若输入信号为 其中其中A0、A1、A2、A3均为正常数均为正常数，试写出两个系统的稳态误试写出两个系统的稳态误差表达式差表达式例例8 8电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔解解 由于两个系统都是由于两个系统都是I型系统，且具有相同的开环放大倍数，因此有完全相型系统，且具有相同的开环放大倍数，因此有完全相同的静态误差系数，即同的静态误差系数，即
50、 对系统对系统1有有 用长除法可求得用长除法可求得 可得动态误差系数为可得动态误差系数为对系统对系统2有有 用长除法可求得用长除法可求得 可得动态误差系数为可得动态误差系数为两系统虽有相同的静态误差系数，但动态误差系数却不相同两系统虽有相同的静态误差系数，但动态误差系数却不相同 电气与新能源学院首页上页下页末页结束电子笔最后一张系统系统1 系统系统2 当当A2 0时，尽管在时，尽管在t时，两系统的稳态误差都将趋于时，两系统的稳态误差都将趋于无穷大，但在趋向无穷大的过程之中，两者的稳态误差是不无穷大，但在趋向无穷大的过程之中，两者的稳态误差是不同的。同的。在组合信号作用下，两系统的稳态误差分别为
