1、第五章第五章 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器及一些特殊滤波器5.3 5.3 简单滤波器的设计简单滤波器的设计5.2 5.2 理想数字滤波器理想数字滤波器5.4 5.4 数字谐振器数字谐振器5.8 5.8 梳状滤波器梳状滤波器5.9 5.9 正弦波发生器正弦波发生器5.5 5.5 数字陷波器数字陷波器5.7 5.7 最小相位滤波器最小相位滤波器5.6 5.6 全通滤波器全通滤波器特殊滤波器特殊滤波器5.1 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念5.1 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念1.数字滤波器与数字滤波滤波的涵义：滤波的涵义：将输入信号的
2、某些频率成分或某个频带进行压缩、放大;对信号进行检测;对参数估计;数字滤波器：数字滤波器：通过对输入信号的进行数值运算的方法来实现滤波 模拟滤波器：模拟滤波器：用电阻、电容、电感及有源器件等构成滤波器对信号进行滤波2.数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片 用硬件返回返回3.数字滤波器的可实现性 要求系统因果稳定 设计的系统极点全部集中设计的系统极点全部集中 在单位圆内。在单位圆内。要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系数为实数 系统的零极点必须共轭成对出现，或者系统的零极点必须共轭成对出现，或者是实数。是实数。4.数字滤波器的种类现代滤波器经典滤波器 滤波特性
3、数字高通、数字低通、数字带通、数字带阻；返回返回 实现方法无限脉冲响应滤波器无限脉冲响应滤波器，简称IIR(Infinite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为无限长，网络中有反馈回路。其系统函数为：有限脉冲响应滤波器有限脉冲响应滤波器，简称FIR(Finite Impulse Response)它的单位脉冲响应为有限长，网络中没有反馈回路。其系统函数为：10,NnnHzh nzh n式 中是 其 单 位 脉 冲 响 应011MrrrNrrrbzHzaz返回返回理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能够达到理想的效果，但是他只能近似实现近似实现。设计的时候可以把理想
4、滤波器作为逼近标准用。本节主要讲述：5.2 5.2 理想数字滤波器理想数字滤波器5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类5.2.2 理想滤波器的可实现性返回返回理想滤波器的特点特点：在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中幅度为零；幅度为零；具有线性相位；具有线性相位；单位脉冲响应是非因果无限长序列单位脉冲响应是非因果无限长序列。理想滤波器的传输函数传输函数：012,0,jwnjwCewwwH eCn其它式中，和 是常数。5.2.1 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类理想数字滤波器的特点及分类返回返回回到本节回到本节幅度放大了C倍时间延迟 幅度
5、特性为：相位特性为：群时延为：则信号 通过滤波器输出的频率响应为：其时域表达式：输入信号 输出信号，表示输出信号相对输入信号没有发生失真。CjwHe 0wwn 0gdwwndw 012,jwnjwjwjwjwYeXeHeCXeewww 0y nCx nn0n x n返回返回回到本节回到本节假设低通滤波器的频率响应频率响应为式中，是一个正整数，称为通带截止频率。其幅度特性和相位特性图形如下：0,0,jwncjwcewwH eww0ncw w cw wOw w)(jw wH1Ow wcw wcw w w w 返回返回回到本节回到本节滤波器的单位脉冲响应单位脉冲响应为：举例：假设 由此图看出此理想低
6、通物理不可实现由此图看出此理想低通物理不可实现 00012sin12ccjwjwnwcjwnjwnwh nH eedwnnweedwnn05,4cnw-50050-0.200.20.4nx(n)返回返回回到本节回到本节理想滤波器可以分为低通、高通、带通低通、高通、带通及带阻带阻滤波器。它们的幅度特性如下：低通高通带通带阻返回返回回到本节回到本节5.2.2 5.2.2 理想滤波器的可实现性理想滤波器的可实现性非因果序列 不能物理实现不能物理实现近似实现办法：近似实现办法：1）的波形向右移动，忽略 的部分成为因果序列2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位 理想低通滤波器 的单位脉冲响应
7、 理想低通的近似实现 h n0n-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)-1001020304050-0.200.20.4nx(n)返回返回回到本节回到本节 处理以后滤波器的传输函数 与理想 低通的传输函数 的不同不同是：1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数；2）阻带的幅度不再是零；3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。jwNHejwH e返回返回回到本节回到本节5.3 5.3 简单滤波器的设计简单滤波器的设计 用Z平面零极点放置法设计简单滤波器的基本原理基本原理：极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点越
8、靠近单位圆频率响应的峰值越高；零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆频率响应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。返回返回5.3.1 一阶数字滤波器5.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算5.3.3 二阶数字滤波器5.3.4 低通到高通的简单变换5.3.1 5.3.1 一阶数字滤波器一阶数字滤波器特点：具有一个极点，具有一个极点，零点可以有一个也可以没有。零点可以有一个也可以没有。00.511.5200.511.5w/(a)0.9501200.511.5w/(b)0.95,-1-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1.5-1-0.500.
9、511.5-1-0.500.51Real PartImaginary Part 11,0.95aHzaza 121112 1azHzaz返回返回回到本节回到本节-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part-1-0.500.51-1-0.500.51Real PartImaginary Part00.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5w/(d)-0.95,100.20.40.60.811.21.41.61.8200.511.5w/(c)-0.95 11,0.95aH zaz a 121112 1azH zaz以上是低通滤
10、波，以下是高通滤波：返回返回回到本节回到本节 零极点的作用结合起来考虑：假设系统函数为 式中 ，以保证系统因果稳定；幅度特性用下图讨论：13111zbbzHzzaaz01a-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part00.510246810w/结论结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离级点。设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离级点。0.8,1,0,0.7ab 返回返回回到本节回到本节5.3.2 5.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算一阶低通滤波器带宽的计算 一阶低通滤波器的系统函数 设 ，幅度降到
11、-3 ,则 因为滤波器系数是实数，因此 1211121azHzazpw wdB223 10320 lg10 lg101 2pppjwjwjwHeHeHe20.5pppppjwjwjwjwjwHeHeHeHeHe返回返回回到本节回到本节将其系统函数带入上式，可推出：一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为式中，称为 带宽。推导方法：22arccos1pawa1pwa 3dB返回返回回到本节回到本节a精 确 带 宽近似带宽0.60.70.80.90.850.950.490.350.220.160.100.050.400.300.200.150.100.05一阶低通滤波器的带宽返回返回回到本节回到本
12、节例例5.15.1 假设模拟信号 ，设计一个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。解:确定采样间隔T：显然要选择T/200=0.0157，确定T=0.015。低通滤波器：低频分量 高频分量 选择带宽 利用 计算出a=0.8 数字低通滤波器的系统函数为a()sin 7sin 200 xttt7 0.015 0.105rad200 0.0153rad0.2rad1 0.811()20.8108zzH zzz1pwa 返回返回回到本节回到本节(a)输入波形 ax t ayt(b)实际输出波形及理论波形sin7t（虚线）返回返回回到本节回到本节5.3.3 5.3.3 二阶数字滤波器二阶数字滤波器特点：
13、特点：2 2个极点，个极点，零点可以有零点可以有1 1个或个或2 2个，也可以没有个，也可以没有且滤波器的零点和极点是共轭成对出现的且滤波器的零点和极点是共轭成对出现的适当地放置零级点可得到各种滤波器：返回返回回到本节回到本节二阶数字滤波器的系统函数一般表示式为式中：G是常数，一般取G使幅度特性的最大值为1；为共轭极点；为共轭零点。1212zbzbH zGzpzp12,pp12,bb返回返回回到本节回到本节例例5.25.2 假设二阶数字滤波器的系统函数为试确G和p使幅度特性满足：幅度下降到最大幅度的 ，即解：在 处，幅度为1，得到 在 处，幅度为 ，得到 211GHzpz01,4,jHew12
14、241 2jwHe。0w2021,11jGH eGpp即24222411cos4sin41122jjpGGH epjppepj p4w12返回返回回到本节回到本节上式解出p=0.32，则滤波器的系统函数为例例5.35.3 设计一个二阶带通滤波器，是通带中心，在 两点，频率响应为零，在 处，幅度为解：极点设计在通带中心 ，极点 零点在 处，即 和 得系统函数 210.4610.32H zz2w0,w49w12。2w21,2;jpr ejr 0,w11z21z 222111zzzH zGGzjrzjrzr返回返回回到本节回到本节幅度最大处幅度为1，因此上式中r的值由在 的幅度值确定，因此 2222
15、112jrHeGGr即49w22249422224122 cos 891412cos 8921.94 111.88,0.7jrHerrrrrr即解 得返回返回回到本节回到本节最后得到带通滤波器的系统函数为它的幅度特性和相位特性如下图：2210.1510.7zH zz二阶带通滤波器的幅度特性和相位特性返回返回回到本节回到本节先设计一个低通滤波器 转换成高通滤波器 是高通滤波器的传输函数 是低通滤波器的传输函数 对上式进行傅里叶反变换，得到对上式进行傅里叶反变换，得到也可写成也可写成5.3.4 5.3.4 低通到高通的简单变换低通到高通的简单变换j wjwhplpHeHejwhpHejwlpHe1
16、njnhplplphnehnhn1nlphphnhn返回返回回到本节回到本节 低通滤波器的差分方程为 得到低通滤波器的传输函数为 将的 用 代替，得到高通滤波器的传输函数 10NMkkkky na y nkb x nk 011MjwkkjwklpNjwkkkb eHea e00111111MMkj wkjwkkkjwkkhpNNkj wkjwkkkkkb eb eHea ea eww返回返回回到本节回到本节由所得传输函数得到高通滤波器的差分方程为例例5.45.4 已知低通滤波器的差分方程为将低通滤波器装换成相应的高通滤波器，写出高通滤波器的差分方程。解：高通滤波器的差分方程为相应的传输函数为
17、1011NMkkkkkky na y nkb x nk 0.910.1y ny nx n 0.910.1y ny nx n 0.110.9jwhpjwHee返回返回回到本节回到本节5.4 5.4 数字谐振器数字谐振器特点：特点：是一个二阶滤波器，也是一个特殊双极点带通滤是一个二阶滤波器，也是一个特殊双极点带通滤波器；它有一对共轭极点波器；它有一对共轭极点 ，r r接近于接近于1 1，幅度特性在，幅度特性在 附近最大，相当于在该频率发生了谐振。附近最大，相当于在该频率发生了谐振。应用：应用：适合作带通滤波器，以及语音发生器。数字谐波器根据零点放置的位置分为两种：1.1.零点在原点，一对共轭极点为
18、零点在原点，一对共轭极点为 的的数字谐波器其系统函数为数字谐波器其系统函数为0jwre0w01,2,01jwprer 0001111jwjwbH zrezrez返回返回幅度特性为：对任意r，可以推导出 的乘积在处取最小值，即幅度取最大值：同样为谐振器精确的谐振频率。200112 cos 2brrrwj012(e)()()bHUUwww221020()12 cos(),()12 cos()UrrUrrwwwwww12()()UUww和2r01arccoscos2rrwwrww返回返回如果两个极点非常接近单位圆，则 可以证明它的3 dB带宽为 。举例 ，r=0.8和0.95，零极点分布及幅度特性如
19、下0,rww2 1wr03w(a)零极点分布 (b)幅度特性返回返回2.2.两个零点分别放置在两个零点分别放置在z=1z=1和和z=-1z=-1处，一对共轭极点为处，一对共轭极点为 的数字滤波器的数字滤波器系统函数为传输函数为它的幅度特性为式中上式中 是两个零点z=1和z=-1到点w的矢量长度之积。01,2,01jwprer 00112001221101111 2 cos11jwjwbzzbzH zrw zr zre zrez0020111jwjwj wwj wwbeHerere 12jwN wH eUw Uw 2 1 cos2N ww N w返回返回举例 ，r=0.8,0.95，画出零极点分
20、布和幅度特性如下图：03w (a)零极点分布 (b)幅度特性 返回返回例例5.55.5 模拟信号 ，设计一个数字谐振器，以滤除模拟信号中的低频分量sin7t。解:谐振器的谐振频率放在200 采样间隔 模拟频率200对应的数字频率是:模拟频率7对应的数字频率是:选择带宽0.02，则2(1-a)=0.02，a=0.99。得到系统函数为：()sin7sin200 x ttt0.002Ts200 0.002 0.47 0.002=0.014200j0.4j0.42(1)(1)(1)()(0.99e)(0.99e)1.82370.9801b zzb zH zzzzz返回返回为选择系数 ，使峰值幅度等于1
21、，将 代入上式，得到 。该滤波器的输出波形如图：0bj0.4ez 01 100.49b 返回返回5.5 5.5 数字陷波器数字陷波器特性：特性：一个二阶滤波器，它的幅度特性在一个二阶滤波器，它的幅度特性在 处为处为零，在其他频率上接近于常数，是一个滤除单频干扰的零，在其他频率上接近于常数，是一个滤除单频干扰的滤波器。滤波器。用途：用途：一般仪器或设备都用50 Hz的交流电源供电，因而信号中时常带有50 Hz的干扰，希望将它滤除，又不影响该信号。系统函数：系统函数：式中，0a1。0ww 0000jjjj(e)(e)()(e)(e)zzH zzazawwww返回返回a=0，滤波器变成FIR滤波器，
22、缺少极点的作用。a比较小，缺口将比较大，对 近邻频率分量影响显著缺口的宽度和a之间的关系：0ww返回返回对上图分析得出结论：陷波器的3 dB带宽为 例例5.65.6 假设信号 ，式中是低于50 Hz的低频信号，试设计一个陷波器将50 Hz干扰滤除。解:50 Hz的周期是0.02 s，采样周期T应小于0.01 s，选择T=0.002 s。50 Hz对应的数字频率是:选择a=0.95，陷波器的系统函数为22 1as()sin(502)()x ttxt250 0.0020.628radj0.628j0.628j0.628j0.628(e)(e)()(0.95e)(0.95e)zzH zzz返回返回为
23、测试陷波器的特性，令 ，由 可得数字陷波器的输入信号波形如下图。2222212122 cos0.628120.95cos0.6280.951.61811.5370.902511.61811.5370.9025zzzzzzzzzzzs()2(200)x nns()()sin(100 )()tnTx nx tnTxn返回返回 (a)输入信号波形 (b)陷波器输出波形返回返回5.6 5.6 全通滤波器全通滤波器定义：定义：滤波器的幅度特性在整个频带滤波器的幅度特性在整个频带002 2 上均等上均等于常数，或者等于于常数，或者等于1 1，即，即 则该滤波器称则该滤波器称为全通滤波器。为全通滤波器。特点
24、：特点：信号通过全通滤波器后，其输出的幅度特性保持不变，仅相位发生变化。全通滤波器的系统函数的一般形式为：1,02jwH ew00NNkkkNkkkazHzaz返回返回 全通滤波器的系统函数的全通滤波器的系统函数的幅度特性为幅度特性为1 1 因为上式中系数是实数，因此 全通滤波器的零级点分布特性全通滤波器的零级点分布特性倒易关系倒易关系 因为 和 的系数是实数，零点和极点均以共轭对形式出现。10000NNNkkkkNNkkNNkkkkkka za zDzHzzzDza za z11jwjwjwzejwjwjwDzDeDeDeHeDe1D z D z返回返回全通滤波器的零极点分布 是零点，也是零
25、点，是极点，也是极点，形成四个极零点一组的形式。kzkz1kkpz1kkpz返回返回如果将零点 和极点 组成一对，零点 和极点 组成一对，则全通滤波器的系统函数可以表示成式中的N称为阶数。举例：当N=1时，零极点均为实数，系统函数为应用：应用：一般作为相位校正。kz1kkpzkz1kkpz111()1NkkkzzH zz z11()1zaH zaz返回返回5.7 5.7 最小相位滤波器最小相位滤波器 定义：定义：对于全部零点位于单位圆内的因果稳定滤波器，称对于全部零点位于单位圆内的因果稳定滤波器，称 为最小相位滤波器为最小相位滤波器 。最小相位滤波器的性质性质：1）任何一个因果稳定的滤波器 均
26、可以用一个最小相位滤波器和一个全通滤波器 级联构成，即2）对同一系统函数幅度特性相同的所有因果稳定系统中，最小相位系统的相位延迟最小。3）最小相位系统保证它的逆系统因果稳定。minHz Hz apHz minapHzHz Hz返回返回例例5.75.7 确定下面FIR系统的零点，并指出系统是最小，最大相位系统还是混合相位系统。解：将各系统函数因数分解，可得到它们的零点并进而判定系统的性质。1212121212346,6653521,12233HzzzHzzzHzzzHzzz 11,221,231,221,2:1 2,1 3,:2,3,:1 2,3,:2,1 3,HzzHzzHzzHzz 为最小相
27、位系统。为最大相位系统。为混合相位系统。为混合相位系统。返回返回5.8 5.8 梳状滤波器梳状滤波器梳状滤波器的原理：梳状滤波器的原理：例例5.85.8 已知 ，利用该系数函数形成N=8的梳状滤波器。解：的零点是1，极点是a，是一个高通滤波器，画出它的零极点分布和幅度特性曲线如下：111,011zHzaaz H z系统函数 传输函数 H z jwH eNzz系统函数 传输函数NH zjwNH e 周期2 周期2N返回返回上例中梳状滤波器零极点分布和幅度特性曲线返回返回将 的变量z用 代替，得到式中，N=8，零点极点为画出它的零极点分布和幅度特性曲线如上页图：注意：注意：此时的幅度特性的过渡带比
28、较窄，或者说比较陡峭，有利于消除点频信号而又不损伤其它信号。H zNz 1111zH zaz28,0,1,2,7;jkkzek288,0,1,2,7jkkpaek。返回返回例例5.95.9 设计一个梳状滤波器，用于滤出心电信号中的50Hz及其谐波100Hz干扰，设采样频率为200Hz。解：系统函数为N的大小决定于要滤除的点频的位置，a要尽量靠近1。由采样频率算出50Hz及其谐波100Hz所对应的数字频率分别为：零点频率为 由 ，求出N=4。2500 1 2002和，2,k Nk=0 1 2 3，。2N2 11NNzHzaza=0.9时的幅频特性-3-2-10123-101R eal PartI
29、maginary Part00.511.52012?/p?返回返回5.9 5.9 正弦波发生器正弦波发生器定义：定义：滤波器系统函数的极点在单位圆上，则可以形滤波器系统函数的极点在单位圆上，则可以形 成一个正弦滤波器。成一个正弦滤波器。基本原理基本原理:假设有两个系统函数，即令 ，得到11011201202120s in12c o s1c o s12c o sYzwzHzXzwzzYzwzHzXzwzz ,x nAnX zA返回返回经变换得时域信号分别为：说明系统函数 和 在 的激励下可以分别产生正弦波和余弦波。实现结构实现结构1.1.数字正弦波发生器（如下图数字正弦波发生器（如下图1 1）2.2.数字正弦波、余弦波发生器（如下图数字正弦波、余弦波发生器（如下图2 2）3.3.软件查表发软件查表发101120102120sin12cos1cos12cosAwzYzwzzAwzYzwzz 1020sincosynAw n unynAw n un 2Hz 1H z x nAn返回返回+1z1z x n+0sin w02cosw v n+-+1yn图（）图（）+1z1z+-x n v n20cosw0sinw 1yn 2y n-1返回返回
