1、第三章第三章量子力学导论量子力学导论第三章量子力学导论第三章量子力学导论3-1玻尔理论的局限性玻尔理论的局限性3-2实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性3-3海森堡不确定关系海森堡不确定关系3-4波函数及其统计解释波函数及其统计解释3-5薛定谔方程薛定谔方程*3-6量子力学中的一些理论和方法量子力学中的一些理论和方法*3-7氢原子的薛定谔方程解氢原子的薛定谔方程解玻尔量子理论打开了认识原子结构的大门玻尔量子理论打开了认识原子结构的大门,取得成功取得成功.但它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识但它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识.玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点玻尔理论将微观
2、粒子视为经典力学中的质点,把经典把经典力学的规律用于微观粒子力学的规律用于微观粒子,使其理论中有难以解决的内使其理论中有难以解决的内在矛盾在矛盾,故有重大缺陷故有重大缺陷.如：为什么核与电子间的相互作用存在如：为什么核与电子间的相互作用存在,但处于定态但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？电磁波的根本原因何在？薛定谔薛定谔的非难的非难“糟透的跃迁糟透的跃迁”在两能级间跃迁的在两能级间跃迁的电子处于什么状态？电子处于什么状态？de Broglie,法法(1892-1987)获获1929年诺贝尔物理学奖年诺贝
3、尔物理学奖“过去过去,对光过分强调对光过分强调波性而忽视它的粒性；波性而忽视它的粒性；现在对电子是否存在另现在对电子是否存在另一种倾向一种倾向,即过分强调它即过分强调它的粒性而忽视它的波性的粒性而忽视它的波性.”德布罗意德布罗意关系式：关系式：phhE 不论粒子静质量是否为不论粒子静质量是否为0,德布罗意关系式均成立德布罗意关系式均成立.电子枪电子枪KD之间有之间有U电子束透过电子束透过D打在打在M上上它在晶面被散射进入探测器它在晶面被散射进入探测器BG检测电子束检测电子束(电流电流)的强度的强度I电子束电子束强度强度U0510152025实验发现实验发现:加速电压加速电压U=54V,散射角散
4、射角=50时时,探测器探测器B中的电流有极值中的电流有极值.(晶体对电子束的衍射晶体对电子束的衍射,用于验证德布罗意波）用于验证德布罗意波）此前此前,玻尔据其角动量量子化条件导出氢原子的第一玻尔据其角动量量子化条件导出氢原子的第一玻尔半径、能量和动量的量子化结果玻尔半径、能量和动量的量子化结果.以下介绍德布罗以下介绍德布罗意将原子中的定态和驻波联系起来意将原子中的定态和驻波联系起来,自然地得到角动量自然地得到角动量的量子化条件的量子化条件.电子的波长为电子的波长为mvhph 将此关系用于氢原子的电子将此关系用于氢原子的电子.欲使电子稳定存在欲使电子稳定存在,与电子相应与电子相应的波就必须是一个
5、的波就必须是一个,即电子即电子绕核一圈后其位相不变绕核一圈后其位相不变.氢原子中的电子氢原子中的电子相应的驻波示意图相应的驻波示意图要求圆周长是波长的整数倍要求圆周长是波长的整数倍l=4 德布罗意把原子定态与驻波联系起来德布罗意把原子定态与驻波联系起来,即把粒子能量即把粒子能量量子化和有限空间中驻波频率分立性联系起来量子化和有限空间中驻波频率分立性联系起来.rnrnhnrhhp 22,3,2,1,nnL将玻尔第一速度将玻尔第一速度v=c代入代入得到得到而而 是折合电子康普顿波长的是折合电子康普顿波长的137倍倍,即第一玻尔半径即第一玻尔半径a1故故 所得的结果满足驻波条件所得的结果满足驻波条件
6、.mvhph mc2 mc12 a 设一个速度为设一个速度为v的粒子在宽为的粒子在宽为d的刚性盒子中作一维的刚性盒子中作一维运动运动,由经典理论知由经典理论知,粒子的动能和周期分别为：粒子的动能和周期分别为：vdTmvEk2;212用用分析：此粒子要在盒内永存分析：此粒子要在盒内永存,其德布罗意其德布罗意波必为驻波波必为驻波,x=0,x=d必为波节必为波节.盒子宽至少为半波长盒子宽至少为半波长.即波长必满足即波长必满足:,2,1,2ndn dx=0 x=d 结论：结论：1 1）被束缚粒子的动量和能量均呈量子化）被束缚粒子的动量和能量均呈量子化.2 2）只要粒子被束缚在某一空间（）只要粒子被束缚
7、在某一空间（oror势阱内）势阱内）,粒子的粒子的最小动能不能为最小动能不能为0.0.（即使在（即使在T T0 0时）时）事实上事实上,若若EK可为可为0,则要求则要求x,x,这也说明粒子不这也说明粒子不可能被束缚住可能被束缚住.以上内容可归纳为：以上内容可归纳为：mpEhpk22 22282mdhnEdnhpk所以，原子能级图中不存在所以，原子能级图中不存在E0的能级。的能级。2nd 氢原子实际上是一个德布罗意波被禁闭在库仑场中氢原子实际上是一个德布罗意波被禁闭在库仑场中的情形的情形.假设电子在库仑场中是一简单的正弦波假设电子在库仑场中是一简单的正弦波,匣子近似为匣子近似为刚性边界刚性边界(
8、V),设匣子的线度是半波长设匣子的线度是半波长,即粒子处于即粒子处于基态基态,在此假设下粒子的动能为：在此假设下粒子的动能为：222222222)2(21)(88mrhmrrmhmdhEk 以上考虑到匣内一周期的路程与圆周长对应以上考虑到匣内一周期的路程与圆周长对应(2d=2r)总能量为动能和势能之和：总能量为动能和势能之和：rkemrE2222 0 r假设的氢原假设的氢原子的波函数子的波函数123EEE123EEE)(rU实际的波实际的波函数函数实际的势实际的势能函数能函数由由0drdE122minamker得电子最小半径：得电子最小半径：进而可得氢原子基态能量：进而可得氢原子基态能量：eV
9、kemE6.132)(222所得结果与所得结果与玻尔所给的玻尔所给的结果相同！结果相同！rkemrE2222 不确定关系的常见形式：不确定关系的常见形式：)3(2)2(2)1(2 pEtpxx角动量与角位移：角动量与角位移：能量与时间：能量与时间：动量与位置：动量与位置：)1(2xpx动量与位置：动量与位置：不确定关系揭示了一条重要的规律：不确定关系揭示了一条重要的规律：例例:原子的线度约为原子的线度约为 10-10 m,求原子中电子速度的不确定量求原子中电子速度的不确定量.解解:原子中电子的位置不确定量原子中电子的位置不确定量 10-10 m=105fm2xpx由不确定关系由不确定关系得电子
10、速度的不确定量为得电子速度的不确定量为m/s.fmMeV.m/sfmMeVxmcccxmmpvxx55821085105110210319722)2(2Et能量与时间：能量与时间：反映了原子能级宽度反映了原子能级宽度E 和原子在该能级的平均寿和原子在该能级的平均寿命命t 之间的关系之间的关系.E2EE 2EE 寿命寿命t基态基态电磁辐射电磁辐射基态基态:t;E0激发态激发态:t10-8s;E10-8eV“不能同时精确地测量不能同时精确地测量”只是这一客观规律的一个只是这一客观规律的一个必然结果必然结果.从这个意义上看从这个意义上看,“测不准关系测不准关系”这一名称不这一名称不妥妥.认为不能同时
11、测准粒子的位置坐标认为不能同时测准粒子的位置坐标x及相应的动量的及相应的动量的解释是不确切的解释是不确切的,易误认为不确定关系是测量过程的一易误认为不确定关系是测量过程的一个限制个限制.不确定关系在宏观世界不能得到直接体现不确定关系在宏观世界不能得到直接体现,但它并不但它并不为为0.基态氢原子的电子基态氢原子的电子r1=0.053nm,p=mc.从不确定关从不确定关系看系看,假定电子在假定电子在r1范围内运动且位置确定范围内运动且位置确定,即即x=r1,则则相应的动量不确定度相应的动量不确定度:5.0137053.0511.0219722/12nmMeVMeVfmrmccpxpp 可见动量的不
12、确定程度甚大可见动量的不确定程度甚大,以致无法确切说以致无法确切说明在此范围内运动的电子动量为多大明在此范围内运动的电子动量为多大.一个一个10g的小球以的小球以10cm/s的速度运动的速度运动,小球的瞬间位置小球的瞬间位置可精确确定可精确确定,如如x=10-4cm(已是很高的精度已是很高的精度),则相应的则相应的动量不确定度：动量不确定度：可见动量的不确定度甚小可见动量的不确定度甚小,目前没有任何方法目前没有任何方法可觉察可觉察,完全可忽略不计完全可忽略不计.24634103.510/1.001.0210055.122/msmkgsJxmvpxpp说明说明:教材中的此上两个例子均采用较为粗糙
13、的不确教材中的此上两个例子均采用较为粗糙的不确定关系定关系xph进行运算，因此所得结果与此有差异进行运算，因此所得结果与此有差异(相差相差1/4).x“波包波包”在实验上在实验上,可采取可采取“拍拍”的方法的方法测一个波的波长测一个波的波长.两列振幅相同频两列振幅相同频率不同的波相干涉即形成率不同的波相干涉即形成“拍拍”.由数学上的富里哀分析知由数学上的富里哀分析知,为得到一个位置确定的孤为得到一个位置确定的孤立波（波包）立波（波包）,须用多个频率不同的波相叠加须用多个频率不同的波相叠加.“观察观察”一个一个“拍拍”的时间：的时间：)1(11 tt式（式（1）表示）表示,要无限精确地测准频率（
14、要无限精确地测准频率（0）就）就需要无限长的时间需要无限长的时间(t).在在t内波（波速为内波（波速为v）通过的路程为：）通过的路程为：vtvx 222vxvdvdv)2(2 x式（式（2）表示）表示,要无限精确地测准波长要无限精确地测准波长(0),就需就需要在无限扩展的空间要在无限扩展的空间()中进行观察中进行观察.式（式（1）、（）、（2）是从经典物理学的概念出发得到的）是从经典物理学的概念出发得到的.现将它用于微观粒子现将它用于微观粒子,将其与德布罗意关系相结合将其与德布罗意关系相结合,则立则立刻产生了新的观念刻产生了新的观念.hhhhppxpphxxpphpphdpphdphxxxxx
15、x22222222 即得即得hpxx同样的处理方法同样的处理方法,有有1hEtthEhE hEt这样即得不确定关系的一种表示形式：这样即得不确定关系的一种表示形式：hEthpxx 假如入射电子具有确定的动量假如入射电子具有确定的动量p,经过单缝（经过单缝（d=x）后后,即使只考虑中心区即使只考虑中心区(75%的电子落在此区域的电子落在此区域),也至少也至少有有psin的动量不确的动量不确定性定性,即即px psin0 0电子束电子束xph xx sin sinpm=1m=2m=3m=3m=2m=1确定中区位确定中区位置的关系式：置的关系式：d sindm sin决定中区旁各极决定中区旁各极小值
16、的关系式：小值的关系式：hxpxpppxx sin设质量为设质量为m的粒子被束缚在线度为的粒子被束缚在线度为r的范围内的范围内,则则rppxxx22据统计规律据统计规律,对于束缚在空间的粒子对于束缚在空间的粒子,其动量在任何方其动量在任何方向的平均分量必定为向的平均分量必定为0,即即,故有：故有：0 xp2222231)()(pppppppxxxxxdefx束缚粒子的最小平均动能：束缚粒子的最小平均动能：与上一节所得结论一致与上一节所得结论一致.说明此结论与形式无关说明此结论与形式无关,只要粒子束缚在空间（或只要粒子束缚在空间（或称势阱内）称势阱内）,则粒子的最小动能就不能为则粒子的最小动能就
17、不能为0,0,即粒子不可能落到阱底即粒子不可能落到阱底.当电子距核的距离越来越近时当电子距核的距离越来越近时,将从原子的线度将从原子的线度（0.1nm）过渡到原子核的线度（）过渡到原子核的线度（1fm）22832minmrmpEk当电子距核越来越近时电子所需的平均动能当电子距核越来越近时电子所需的平均动能将越来越大将越来越大,但电子无这样大的能量补充但电子无这样大的能量补充,故而故而电子不能继续靠近核电子不能继续靠近核,更不可能落入核内更不可能落入核内.光谱线系中光谱线系中,电子在两能级间跃迁电子在两能级间跃迁,在初能级上必有一在初能级上必有一（能级寿命会受外界的影响）（能级寿命会受外界的影响
18、）,即即t不能无限不能无限长长.按不确定关系按不确定关系,此能级必存在相应的宽度此能级必存在相应的宽度E,这正是这正是谱线的自然宽度谱线的自然宽度,已由实验证实已由实验证实.例如：假定原子中某激发态寿命为例如：假定原子中某激发态寿命为st810则则eVssMeVtctE8822103.31021058.622谱线的自然宽度为谱线的自然宽度为要注意能级的寿命常受外界条件影响。要注意能级的寿命常受外界条件影响。/8.0MHzE h。一些经典概念的应用不可避免地排除另一些经典概念一些经典概念的应用不可避免地排除另一些经典概念的应用的应用,而而“另一些经典概念另一些经典概念”在另一些条件下又是描述在另
19、一些条件下又是描述现象不可缺少的现象不可缺少的.必须而且只须将这些互斥又互补的概念必须而且只须将这些互斥又互补的概念汇集起来汇集起来,才能也定能形成对现象的详尽无遗的描述才能也定能形成对现象的详尽无遗的描述.海森堡的不确定关系从数学上表达了物质的波粒二海森堡的不确定关系从数学上表达了物质的波粒二象性象性.玻尔的互补原理从哲学的角度概括了波粒二象性玻尔的互补原理从哲学的角度概括了波粒二象性.玻尔认为：粒子的波粒二象性不可能玻尔认为：粒子的波粒二象性不可能在同一测量中同时出现在同一测量中同时出现,两个概念在描述两个概念在描述微观现象时是互斥的微观现象时是互斥的,不会在同一实验中不会在同一实验中直接
20、冲突直接冲突.二者在描述微观时都是不可缺二者在描述微观时都是不可缺少的少的,它们是互补并协的它们是互补并协的.在任一时刻我们只能看到银币的一面在任一时刻我们只能看到银币的一面,而而只有当银币的正、反两面都被看到后只有当银币的正、反两面都被看到后,才可能银币有完整才可能银币有完整的认识的认识.例例1 1 设电子与设电子与 的子弹均沿的子弹均沿x x方向运动，方向运动，精确度为精确度为 ，求测定，求测定x x坐标所能达到的最大准确度。坐标所能达到的最大准确度。0.01mkgsmx/500%01.0smsmx/105/10500242/xpxxxmpx/2.3xmm mx31101.2 解：对于数量
21、级为解：对于数量级为1014m大小的核，位置的不确定度取为大小的核，位置的不确定度取为按照不确定关系，动量不确定度为按照不确定关系，动量不确定度为pmpsmkg10102014动能约为动能约为24222cmcmpcEook+=例例题题2在在衰变中，若电子是从原子核中逃逸出来的，衰变中，若电子是从原子核中逃逸出来的，试估计它在核中的动能试估计它在核中的动能通常通常衰变的动能远小于该值。衰变的动能远小于该值。mx1410Mev20 例题例题3 3 估算宏观物体的不确定性估算宏观物体的不确定性 数值是极其微小的，因此，球类运动员大可不必为球数值是极其微小的，因此，球类运动员大可不必为球的波动性而担忧。的波动性而担忧。m104%1m/s40kg1045sJ10632334x解：以高尔夫球为例，一个质量解：以高尔夫球为例，一个质量45g45g的高尔夫球，以的高尔夫球，以40m/s40m/s的速度飞行，如果动量的不确定度是的速度飞行，如果动量的不确定度是1%1%，位置的不确定度，位置的不确定度可估算为可估算为Class is Over!作业：作业：3-7 3-8
