1、第七章：小波和多分辨率处理数字图像处理数字图像处理A A第七章：小波和多分辨率处理n小波变换小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。基础。n多分辨率理论多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显一起，其优势很明显某种分辨率下所无法发某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。n本章将从多分辨率的角度解释小波变换。本章将从多分辨率的角度解释小波变换。数字图像处理数字图像处理A A主
2、要内容7.1 背景背景7.2 多分辨率展开多分辨率展开7.3 一维小波变换一维小波变换7.4 快速小波变换快速小波变换7.5 二维小波变换二维小波变换7.6 小波包小波包数字图像处理数字图像处理A A主要内容7.1 7.1 背景背景n图像金字塔图像金字塔n子带编码子带编码n哈尔变换哈尔变换7.2 7.2 多分辨率展开多分辨率展开7.3 7.3 一维小波变换一维小波变换7.4 7.4 快速小波变换快速小波变换7.5 7.5 二维小波变换二维小波变换7.6 7.6 小波包小波包数字图像处理数字图像处理A A7.1 7.1 背景背景从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像从数学的观点看，图像是
3、一个亮度值的二维矩阵，像边界和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产边界和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产生统计值的局部变化。如图生统计值的局部变化。如图7.1所示。所示。图图7.17.1 一幅自然图像和它的局部直方图变化一幅自然图像和它的局部直方图变化数字图像处理数字图像处理A A7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构。效但概念简单的结构。图图7.2(a)7.2(a)一个图像金字塔一个图像金字塔第0级（顶点）第1级第2级第J-1级第J级（底部）数字图像处理数字图像处理A A7.1
4、.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。移动时，尺寸和分辨率就降低。图图7.2(a)7.2(a)一个图像金字塔一个图像金字塔第0级（顶点）第1级第2级第J-1级第J级（底部）基础级基础级J J的大小为的大小为N NN N （J=logJ=log2 2N N）顶点级顶点级0 0的大小为的大小为1 11 1 第第j j级的大小为级的大小为2 2j j2 2j j（0 0 j j J J）共有共有J+1J+1级，但是
5、通常级，但是通常 我们截短到我们截短到P P1 1级，其级，其中中1 1 P P J J数字图像处理数字图像处理A A7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔如图如图7.2(b)7.2(b)框图所表明的，近似值和预测残差框图所表明的，近似值和预测残差金字塔都是以一种金字塔都是以一种迭代的方式进行计算。迭代的方式进行计算。图图7.2(b)7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统近似滤波器下采样器（行和列）第j级输入图像上采样器（行和列）第j-1级近似插值滤波器预测第j级预测残差数字图像处理数字图像处理A A7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像
6、金字塔n传传递由递由3个连续步骤组成个连续步骤组成：n1.1.计算输计算输入入图像减少的分辨率近似值。通过对输图像减少的分辨率近似值。通过对输入入进行滤波并以进行滤波并以2 2为步长进行抽样为步长进行抽样实现实现(即子抽样即子抽样)。没。没有滤波器，在金字塔的上一层混淆变有滤波器，在金字塔的上一层混淆变得得显著，子抽显著，子抽样点对所采取的区域没有样点对所采取的区域没有很很好的代表性。好的代表性。图图7.2(b)7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统数字图像处理数字图像处理A A7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔n传传递由递由3个连续
7、步骤组成个连续步骤组成：n2.2.对上一步的输出进行内插对上一步的输出进行内插因子仍为因子仍为22并进行并进行过滤。这将生成与输入等分辨率的预测图像。由于过滤。这将生成与输入等分辨率的预测图像。由于在步骤在步骤1 1的输出像素之间进行插值运算，插的输出像素之间进行插值运算，插入入滤波滤波器决定了预测值与步骤器决定了预测值与步骤1 1的输的输入入之间的近似程度。之间的近似程度。如果插入滤波器被忽略了，预测值将是步骤如果插入滤波器被忽略了，预测值将是步骤1 1输出输出的内插形式，复制像素的块效应将变得很明显的内插形式，复制像素的块效应将变得很明显。图图7.2(b)7.2(b)创建近似和预测残差金字
8、塔的一个简单系统创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统数字图像处理数字图像处理A A7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔n传传递由递由3个连续步骤组成个连续步骤组成：n3 3.计算步骤计算步骤2 2的预测值和步骤的预测值和步骤1 1的输的输入入之间的差异。之间的差异。以以j j 级预测残差进行标识的这个差异将用于原始图级预测残差进行标识的这个差异将用于原始图像的重建像的重建(见例见例7.1)7.1)。在没有量化差异的情况下，预。在没有量化差异的情况下，预测残差金字塔可以用于生成相应的近似金字塔，包测残差金字塔可以用于生成相应的近似金字塔，包括原始图像，而没有误差。括原始图像，而没有误差
9、。图图7.2(b)7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统数字图像处理数字图像处理A A7.1.1 7.1.1 图像金字塔图像金字塔n例例7.1 7.1 高斯和拉普拉斯金字塔高斯和拉普拉斯金字塔 图图7.37.3显示了图显示了图7.17.1中花瓶的一种可能中花瓶的一种可能的近似值和的近似值和预测残差金字塔。预测残差金字塔。图图7.3 7.3 两种图像金字塔及它们的直方图两种图像金字塔及它们的直方图：（：（a a）近似金字塔；）近似金字塔；（b b）预测残差金字塔）预测残差金字塔（a a）(b)b)数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.
10、2 子带编码子带编码n子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量的几何，称为分量的几何，称为子带子带。n子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。n每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。n子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息损失的抽样损失的抽样n原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个子带来完成子带来完成
11、数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n因为分解和重建是借助数字滤波器实现的，所以因为分解和重建是借助数字滤波器实现的，所以我们的讨论从数字信号处理（我们的讨论从数字信号处理（DSPDSP）和数字信号）和数字信号滤波的简介开始。图滤波的简介开始。图7.47.4为简单数字滤波器。为简单数字滤波器。f(n)f(n-0)f(n-1)f(n-2)f(n-K+1)h(0)+单位延迟单位延迟单位延迟单位延迟单位延迟单位延迟h(1)h(2)h(K-1)h(0)f(n)+h(1)f(n-1)h(0)f(n)+h(1)f(n-1)+h(2)f(n-2)图图7.4 7.4（a a）
12、数字滤波器）数字滤波器数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n数字滤波器由延迟单元、乘法器和加法器组数字滤波器由延迟单元、乘法器和加法器组成。从滤波器的顶部开始，延迟单元依次连成。从滤波器的顶部开始，延迟单元依次连接建立输入法延迟形式。接建立输入法延迟形式。n如图如图7.4(a)中的注释所指出的，输入序列中的注释所指出的，输入序列f(n)的延迟单元输出的的延迟单元输出的K-1延迟序列分别与常延迟序列分别与常数数h(0),h(1),h(k-1)相乘后求和，可产生滤波相乘后求和，可产生滤波后的输出序列：后的输出序列：(7.1.3)其中，其中，*表示卷积，乘数表示卷积
13、，乘数K 称为滤波系数。称为滤波系数。数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n如果输入到图如果输入到图7.4(a)7.4(a)的滤波器是图的滤波器是图7.47.4（b b）和）和4.2.34.2.3节中的离散单位冲激，则式（节中的离散单位冲激，则式（7.1.37.1.3）变）变为为(7.1.4)图图7.4 7.4（b b）单位离散冲激响应）单位离散冲激响应;（c c）滤波器的冲激响应）滤波器的冲激响应数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n图图7.57.5显示了显示了6 6个功能上相关的滤波器的冲激个功能上相关的滤波器的冲激响应。
14、响应。图图7.5 67.5 6个功能上相关的滤波器的冲激响应个功能上相关的滤波器的冲激响应:(a):(a)参考响应参考响应;（b b）符号的反转符号的反转;（cdcd）顺序反转）顺序反转;(e);(e)调制调制;（f f）顺序反转和调制）顺序反转和调制h2(n)=-h1(n)h3(n)=h1(-n)h1(n)h4.(n)=h1(K-1-n)h5(n)=(-1)nh1(n)h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n图图7.5(c)7.5(c)和和(d)(d)中的滤波器中的滤波器h3(n)和和h4(n)的顺序的顺序反转形式：反转
15、形式：h3(n)=h1(-n)h4.(n)=h1(K-1-n)n滤波器滤波器h3(n)是是h1(n)关于垂直轴的映像；滤关于垂直轴的映像；滤波器波器h4(n)是是h1(n)的映像和平移形式。忽略的映像和平移形式。忽略平移两个滤波器的响应相同。图平移两个滤波器的响应相同。图7.57.5（e e）中）中的滤波器的滤波器h5(n)由下式定义由下式定义,称之为称之为h1(n)的调的调制形式：制形式：(7.1.6)(7.1.7)h5(n)=(-1)nh1(n)(7.1.8)数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n最后图最后图7.57.5（f f）显示的序列是）显示的序列是
16、h1(n)h1(n)的顺序的顺序反转形式，它被调制了：反转形式，它被调制了：n综上综上6 6个序列说明了这样一个事实，即在规个序列说明了这样一个事实，即在规定两个滤波器之间的关系时，符号反转、顺定两个滤波器之间的关系时，符号反转、顺序反转和调制有时时合并在一起的。序反转和调制有时时合并在一起的。h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)(7.1.9)数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码图图7.6(a)7.6(a)显示了两段子带编译码系统的基本部分显示了两段子带编译码系统的基本部分f分析滤波器组综合滤波器组低频带高频带图图7.6 7.6（a a）一个二带子带编码和
17、解码系统；）一个二带子带编码和解码系统；（b b）频谱分裂属性）频谱分裂属性ab数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n因此，因此，FIFIR R综合滤波器是分析滤波器的交叉调制的综合滤波器是分析滤波器的交叉调制的副本，有且仅有一个符号相反副本，有且仅有一个符号相反。为完美重构，综合。为完美重构，综合滤波器和分析滤波器的冲激响应必须按如下两种方滤波器和分析滤波器的冲激响应必须按如下两种方式之一联系起来：式之一联系起来：或或n更有普遍意义的表达式更有普遍意义的表达式1,0,)()()(),2(jinjikgknhjin满足该条件的滤波器组称为具有双正交满足该条件的
18、滤波器组称为具有双正交(7.1.10)(7.1.12)(7.1.11)数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码(正交镜像滤波器正交镜像滤波器)(共轭正交滤波器共轭正交滤波器)表表7.0 7.0 完美重建滤波器族完美重建滤波器族n在双正交的基础上进一步要求在双正交的基础上进一步要求1,0,)()()2(),(jimjimngngjin这对可完美重建的滤波器族定义了正交性。这对可完美重建的滤波器族定义了正交性。(7.1.13)数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码(7.1.14)n除式（除式（7.1.137.1.13）外，可以证明正交滤
19、波器满）外，可以证明正交滤波器满足如下两个条件：足如下两个条件：其中，其中，K Keveneven的下标指出滤波器系数值必须是能被的下标指出滤波器系数值必须是能被2 2整整除的数。正如除的数。正如7.147.14指出的那样，综合滤波器指出的那样，综合滤波器g g1 1通过顺通过顺序反转和调制与序反转和调制与g g0 0建立联系。建立联系。数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n表表7.07.0中的一维滤波器也可用于图像处理的二维可分中的一维滤波器也可用于图像处理的二维可分离滤波器。如图离滤波器。如图7.77.7所示。可分离滤波器首先应用于所示。可分离滤波器首先应
20、用于某一维某一维(如垂直向如垂直向)，再应用于另一维，再应用于另一维(如水平向如水平向)。行（沿m）行列（沿n）列列列图图7.7 7.7 子带图像编码的一个二维子带图像编码的一个二维4 4带宽滤波器组带宽滤波器组数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n例例7.2 7.2 图图7.17.1中花瓶的中花瓶的4 4带宽子带编码带宽子带编码 图图7.87.8显示了一个显示了一个8 8抽头正交滤波器的冲激响应抽头正交滤波器的冲激响应。数字图像处理数字图像处理A A7.1.2 7.1.2 子带编码子带编码n使用使用7.77.7所示的子带编码系统对图所示的子带编码系统对图7.
21、17.1中的花瓶进行中的花瓶进行4 4个子带分离得到图个子带分离得到图7.97.9ba cd图图7.9(a)7.9(a)近似子带；（近似子带；（b b）水平细节子带；（）水平细节子带；（c c）垂直细）垂直细节子带；（节子带；（d d）对角线细节子带）对角线细节子带数字图像处理数字图像处理A A7.1.3 7.1.3 哈尔变换哈尔变换n哈尔变换哈尔变换(Haar)(Haar)是与多分辨率分析有关的图是与多分辨率分析有关的图像处理手段之一。像处理手段之一。n哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：以用下述矩阵形式表达：T=HFHT其中，其
22、中，F F是一个是一个N NN N图像矩阵，图像矩阵，H H是是N NN N变换矩阵，变换矩阵，T T是是N NN N变换的结果变换的结果(7.1.15)数字图像处理数字图像处理A A7.1.3 7.1.3 哈尔变换哈尔变换n哈尔变换的变换矩阵哈尔变换的变换矩阵HH包含哈尔基函数包含哈尔基函数h hk k(z z)，它们定义在连续闭区间，它们定义在连续闭区间z z0,10,1，k k=0,1,2,=0,1,2,N N-1-1，这里，这里N N=2=2n n。n为生成为生成HH矩阵，定义整数矩阵，定义整数k k，即，即k k=2=2p p+q q-1(-1(这这里里00p pn n-1,-1,p
23、 p=0=0时，时，q q=0=0或或1 1，p p00时，时，00q q22p p)。n 可得哈尔基函数为：可得哈尔基函数为：1,0 1)()(000zNzhzh(7.1.16)数字图像处理数字图像处理A A7.1.3 7.1.3 哈尔变换哈尔变换且且 1,0 ,02/)/25.0(22/)5.0()/21(21)()(22zotherwiseqzq-qzq-NzhzhpppppppqknN NN N哈尔变换矩阵的第哈尔变换矩阵的第i i行包含了元素行包含了元素h hi i(z z)，其中其中z z=0/=0/N N，1/1/N N，2/2/N N，(N N-1)/-1)/N N。(7.1.
24、17)数字图像处理数字图像处理A A7.1.3 7.1.3 哈尔变换哈尔变换n2 22 2哈尔变换矩阵哈尔变换矩阵HH4 41111 21 2H(7.1.18)n它的基函数仅定义了它的基函数仅定义了2 2抽头抽头FIRFIR滤波器族，滤波器族，可满足表可满足表7.17.1中第一行第一列的中第一行第一列的QMFQMF滤滤波器原型的规范。波器原型的规范。n相应相应QMFQMF分析滤波器分析滤波器h h0 0(n)(n)和和h h1 1(n)(n)的系数的系数分别是矩阵分别是矩阵HH2 2的第一行和第二行的元素。的第一行和第二行的元素。数字图像处理数字图像处理A A7.1.3 7.1.3 哈尔变换哈
25、尔变换n例如，例如，N N=4=4时，时，k k，q q和和p p值如下：值如下：n4 44 4哈尔变换矩阵哈尔变换矩阵HH4 42200002211121111 41 4H(7.1.19)数字图像处理数字图像处理A A7.1.3 7.1.3 哈尔变换哈尔变换例例7.3 7.3 离散小波变换的哈尔函数离散小波变换的哈尔函数6464128128256256图图7.10(a)7.10(a)用用H2H2哈尔基函数的离散小波变换，并显示了哈尔基函数的离散小波变换，并显示了局部直方图的变化；（局部直方图的变化；（b b）（d d）几种不同的近似）几种不同的近似数字图像处理数字图像处理A A主要内容7.1
26、 7.1 背景背景7.2 7.2 多分辨率展开多分辨率展开n级数展开级数展开n尺度函数尺度函数n小波函数小波函数7.3 7.3 一维小波变换一维小波变换7.4 7.4 快速小波变换快速小波变换7.5 7.5 二维小波变换二维小波变换7.6 7.6 小波包小波包数字图像处理数字图像处理A A7.2 7.2 多分辨率展开多分辨率展开n图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学理论多分辨率分析中扮演了重要角色。理论多分辨率分析中扮演了重要角色。n在在多分辨率分析多分辨率分析(MRA)(MRA)中，尺度函数被用中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相于建
27、立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差邻两近似值之间的近似度相差2 2倍。倍。n被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。间的差异进行编码。数字图像处理数字图像处理A A7.2.1 7.2.1 级数展开级数展开n信号或函数常常可以被很好地分解为一系列信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合展开函数的线性组合kkkxxf)()(7.2.1)n展开集合的闭合跨度，表示为：展开集合的闭合跨度，表示为：)(anSpxVkk(7.2.2)xxfxxfxkkkd)()()(),(*(7.2.3)数字图像处理数字图像处
28、理A A7.2.1 7.2.1 级数展开级数展开n由于展开集合的正交性，该计算可以是由于展开集合的正交性，该计算可以是3 3种种可能形式中的一种。可能形式中的一种。n情况情况1 1：如果该展开函数构成了：如果该展开函数构成了V V的一个正的一个正交基，即：交基，即：kjkjxxjkkj 1 0)(),(7.2.4)n基与它的对偶相等。即：基与它的对偶相等。即：)()(xxkk)(),(xfxkk(7.2.5)数字图像处理数字图像处理A A7.2.1 7.2.1 级数展开级数展开n情况情况2 2：如果该展开函数本身不正交，而是：如果该展开函数本身不正交，而是V V的正交基，则：的正交基，则：kj
29、xxkj 0)(),(7.2.6)n基函数及其对偶称为双正交。使用式基函数及其对偶称为双正交。使用式(7.2.3)(7.2.3)计算计算 ，有：，有：kkjkjxxjkkj 1 0)(),(7.2.7)数字图像处理数字图像处理A A7.2.1 7.2.1 级数展开级数展开n情况情况3 3：如果展开集合对：如果展开集合对V V来说不是函数基，但支持式来说不是函数基，但支持式(7.2.1)(7.2.1)中定义的展开，那么它是一个跨度集合，对于中定义的展开，那么它是一个跨度集合，对于任一任一f(x)V V有一个以上有一个以上 k k集合。展开函数及其对偶称集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们
30、组成了一个框架，其中：为超完备或冗余。它们组成了一个框架，其中：222|)(|)(),(|)(|xfBxfxxfAkkn对于某些对于某些A0A0，BB，及所有，及所有f(x)VV。若。若 A=BA=B(7.2.8)()(),(1)(xxfxAxfkkk(7.2.9)数字图像处理数字图像处理A A7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数n由整数平移和实数二值尺度、平方可积由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数组成的展开函数集合，即集合函数组成的展开函数集合，即集合)(x)(,xkjn其中，其中，)2(2)(2/,kxxjjkj(7.2.10)都成立。和对于)()(2RZLxj,k称作尺度函数。发
31、生变化，故的形状随由于)()(xjxj,k数字图像处理数字图像处理A A7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数n设设j j=j j0 0，展开集合，展开集合)(,0 xkj)(,xkj将是将是的子集的子集n该子空间定义为：该子空间定义为：)(anSp,00 xVkjkj(7.2.11)上的一个跨度。在是即kxVkjj)(,00，则如果0)(jVxfkkjkxxf)()(,0(7.2.12)n更一般的情况下，定义下式代表对任何更一般的情况下，定义下式代表对任何j j,k k上上的跨度子空间：的跨度子空间：)(anSp,xVkjkj(7.2.13)数字图像处理数字图像处理A A7.2.2 7.2
32、.2 尺度函数尺度函数例例7.4 7.4 哈尔尺度函数哈尔尺度函数otherwisexx 010 1 )(7.2.14)xx0,0 xx220,1 11,0 xx 1221,1xx 1Vxf 10,0Vx 当当j=1j=1时与时与j=0j=0相反，展开相反，展开函数更窄更密集函数更窄更密集对于左下角的函数对于左下角的函数将将 0 0，0 0(x)分解作为分解作为V V1 1展展开函数的和，可以得到开函数的和，可以得到从数学角度看，从数学角度看，V V0 0是是V V1 1的的一个子空间，记做一个子空间，记做图图7.11 7.11 一些哈尔尺度函数一些哈尔尺度函数数字图像处理数字图像处理A A7
33、.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数n简单的尺度函数遵循了多分辨率分析的简单的尺度函数遵循了多分辨率分析的4 4个个基本要求：基本要求：nMRAMRA要求要求1 1：尺度函数对其积分变换是正交的：尺度函数对其积分变换是正交的n在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要尺度函数的值是尺度函数的值是1 1，其积分变换就是，其积分变换就是0 0，所以二，所以二者的乘积是者的乘积是0 0。哈尔函数是紧支撑的，即，除被。哈尔函数是紧支撑的，即，除被称为支撑区的有限区间外，函数值都为称为支撑区的有限区间外，函数值都为0 0。事实。事实上，其支撑区是上，其支撑区是1
34、1，半开区间，半开区间0,1)0,1)外的支撑区外的支撑区的值是的值是0 0。必须注意，当尺度函数的支撑区大于。必须注意，当尺度函数的支撑区大于1 1时。积分变换正交的要求将很难满足。时。积分变换正交的要求将很难满足。数字图像处理数字图像处理A A7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数nMRAMRA要求要求2 2：由低尺度的尺度函数跨越的字空间在：由低尺度的尺度函数跨越的字空间在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内。低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内。n如图如图7.107.10所示，包含高分辨率函数的子空间必须同所示，包含高分辨率函数的子空间必须同时包含所有低分辨率函数。也就是说，时包含所
35、有低分辨率函数。也就是说，VVVVVV2101(7.2.15)V2V1V0子空间还满足直观条件，即，如果f(x)Vj,，那么f(2x)Vj+1。哈尔尺度函数满足该要求并不意味着任何支撑区为1的函数都自动满足该条件。数字图像处理数字图像处理A A7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数nMRAMRA要求要求3 3：惟一包含在所有：惟一包含在所有V Vj j中的函数是中的函数是f(x)=0=0。n如果考虑可能的最粗糙的展开函数如果考虑可能的最粗糙的展开函数(即即j j=-)=-)，惟一可表达的函数就是没有信息的函数，即，惟一可表达的函数就是没有信息的函数，即，0V(7.2.16)数字图像处理数字图
36、像处理A A7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数nMRAMRA要求要求4 4：任何函数都可以以任意精度表示。：任何函数都可以以任意精度表示。n 虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定f(x)是几乎不可能的，像图是几乎不可能的，像图7.9(e)7.9(e)中所示的函数中所示的函数一样，但所有可度量的、平方可积函数都可以用一样，但所有可度量的、平方可积函数都可以用极限极限jj表示，即，表示，即，)(2RLV n在这些条件下，子空间在这些条件下，子空间V Vj j的展开函数可以被表述的展开函数可以被表述为子空间为子空间V Vj+1j+1的展开函数的加权和。的展开
37、函数的加权和。(7.2.17)数字图像处理数字图像处理A A7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函数n使用式使用式(7.2.12)(7.2.12)，令，令 nnjnkjxx)()(,1,njjkjnxnhx)2(2)()(12/)1(,nnxnhx)2(2)()(7.2.18)n任意子空间的展开函数都可以从它们自身的任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨双倍分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨率的空间中得到。对引用子空间率的空间中得到。对引用子空间V V0 0的选择是的选择是任意的。任意的。数字图像处理数字图像处理A A7.2.2 7.2.2 尺度函数尺度函
38、数n例例7.5 7.5 哈尔尺度函数系数哈尔尺度函数系数21)1()0(hh)12(221)2(221)(xxxn附加的简化产生了附加的简化产生了)12()2()(xxx00.51-1.5-1-0.500.511.5 Haar Scaling Function00.51-1.5-1-0.500.511.5 Haar Wavelet FunctionnHaarHaar尺度和小波函数是不连续和紧支撑的，在支撑的尺度和小波函数是不连续和紧支撑的，在支撑的有限区域外是有限区域外是0.0.数字图像处理数字图像处理A A7.2.3 7.2.3 小波函数小波函数n给定满足上述给定满足上述MRAMRA要求的尺
39、度函数，能够要求的尺度函数，能够定义小波函数定义小波函数 (与它的积分变换及其二进制与它的积分变换及其二进制尺度尺度)，跨越了相邻两尺度子空间，跨越了相邻两尺度子空间V Vj j和和V Vj+1j+1的的差异。图差异。图7.137.13说明了这种情况说明了这种情况。)2(2)(2/,kxxjjkj(7.2.19)图图7.13 7.13 尺度函数与小波函数空间之间的关系尺度函数与小波函数空间之间的关系数字图像处理数字图像处理A A7.2.3 7.2.3 小波函数小波函数n使用尺度函数，可得：使用尺度函数，可得：)(anSp,xWkjkj(7.2.20)n如果如果 f(x)Wj，kkjkxxf)(
40、)(,(7.2.21)n尺度和图尺度和图7.117.11中的小波函数子空间由下式相中的小波函数子空间由下式相关联：关联：jjjWVV10)(),(,.xxljkj(7.2.22)(7.2.23)数字图像处理数字图像处理A A7.2.3 7.2.3 小波函数小波函数n将所有可度量的、平方可积函数空间表示如下：将所有可度量的、平方可积函数空间表示如下：1002)(WWVRL2112)(WWVRL20122)(WWWWRL(7.2.24)(7.2.25)(7.2.26)n上式中不出现尺度函数，函数仅用小波项进行表示。注意，上式中不出现尺度函数，函数仅用小波项进行表示。注意，如果如果f(x)是是V V
41、1 1而不是而不是V V0 0的元素，使用式的元素，使用式(7.2.24)(7.2.24)的展开式的展开式包含包含f(x)使用使用V V0 0尺度函数的近似尺度函数的近似;来自来自WW0 0的小波将对近似的小波将对近似与真实函数之间的差异进行编码。与真实函数之间的差异进行编码。n由式由式(7.2.24)(7.2.24)到式到式(7.2.26)(7.2.26)可得：可得：12000)(jjjWWVL R(7.2.27)数字图像处理数字图像处理A A7.2.3 7.2.3 小波函数小波函数n因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中函数跨越的空间中
42、(见图见图7.11)7.11)，任何小波函，任何小波函数数类似式类似式(7.2.18)(7.2.18)中其尺度函数的对应部中其尺度函数的对应部分分可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和。可以写成：的加权和。可以写成：nnxnhx)2(2)()()1()1()(nhnhn(7.2.28)(7.2.29)数字图像处理数字图像处理A A7.2.3 7.2.3 小波函数小波函数例例7.6 7.6 哈尔小波系数哈尔小波系数哈尔小波函数为哈尔小波函数为otherwisexxx 015.0 15.00 1 )(7.2.30)n哈尔尺度向量定义哈尔尺度向量定义n相应的小波
43、向量相应的小波向量 2/110hh 2/111112/1011010hhhh数字图像处理数字图像处理A A7.2.3 7.2.3 小波函数小波函数n哈尔小波函数系数哈尔小波函数系数nW1W1比比W0W0窄，可以标志窄，可以标志更细微的细节；更细微的细节；n函数展开函数展开 这里这里 V V0 0尺度函数的近似尺度函数的近似W0W0小波函数小波函数 xx0,0 22,0 xx xx220,1 001WVVxf 0Vxf 0Wxfd0,04/232,08/22,08/20,04/2 xfxfxfda xxxfa2,00,082423 xxxfxfxfad2,00,08242图图7.14 W7.14
44、 W0 0和和WW1 1中的哈尔小波函数中的哈尔小波函数数字图像处理数字图像处理A A主要内容7.1 7.1 背景背景7.2 7.2 多分辨率展开多分辨率展开7.3 7.3 一维小波变换一维小波变换n小波级数展开小波级数展开n离散小波变换离散小波变换n连续小波变换连续小波变换7.4 7.4 快速小波变换快速小波变换7.5 7.5 二维小波变换二维小波变换7.6 7.6 小波包小波包数字图像处理数字图像处理A A7.3 7.3 一维小波变换一维小波变换n小波级数展开、离散小波变换和连续小波级数展开、离散小波变换和连续小波变换在傅里叶域的对应部分分别小波变换在傅里叶域的对应部分分别是傅里叶序列展开
45、、离散傅里叶变换是傅里叶序列展开、离散傅里叶变换和连续傅里叶变换。和连续傅里叶变换。数字图像处理数字图像处理A A7.3.17.3.1小波级数展开小波级数展开n定义小波级数展开定义小波级数展开000)()()()()(,jjkkjjkkjjxkdxkcxf(7.3.1)n展开系数计算如下展开系数计算如下：xxxfxxfkckjkjjd)()()(),()(,000(7.3.2)xxxfxxfkdkjkjjd)()()(),()(,(7.3.3)数字图像处理数字图像处理A A7.3.17.3.1小波级数展开小波级数展开n例例7.7 7.7 y=x2 的哈尔小波序列展开。的哈尔小波序列展开。201
46、0 xxy其它313d)()0(103102100,020 xdxxxxxc41dd)()0(15.025.002100,020 xxdxxxxxd322d22d)()0(5.025.0225.002100,121xxdxxxxxd3223d22d)()1(175.0275.002101,121xxdxxxxxd数字图像处理数字图像处理A A7.3.17.3.1小波级数展开小波级数展开n例例7.7 7.7 y=x2的哈尔小波序列展开的哈尔小波序列展开 100112100100)(3223)(322)(41)(311,10,10,00,0WWVWVVWWVVWVxxxxy数字图像处理数字图像处理
47、A A7.3.17.3.1小波级数展开小波级数展开n例例7.7 7.7 y=x2的哈尔小波序列展开的哈尔小波序列展开图图7.15 7.15 使用哈尔小波的使用哈尔小波的y=x2小级数展开小级数展开数字图像处理数字图像处理A A7.3.2 7.3.2 离散小波变换离散小波变换n与傅里叶序列展开相似，前节的小波序列展开与傅里叶序列展开相似，前节的小波序列展开将一个连续变量函数映射成一系数序列。将一个连续变量函数映射成一系数序列。n如果待展开函数是一个数字序列，如连续函数如果待展开函数是一个数字序列，如连续函数 f(x)的抽样值，得到的系数就称为的抽样值，得到的系数就称为 f(x)的离散小的离散小波
48、变换波变换(DWT)(DWT)。)()(1),(,00 xxfMkjWkjx(7.3.5)()(1),(,xxfMkjWkjx(7.3.6)00)().(1)(),(1)(,0jjkjkkkjxkjWMxkjWMxf(7.3.7)数字图像处理数字图像处理A A7.3.2 7.3.2 离散小波变换离散小波变换n例例7.87.8计算一维离散小波变换计算一维离散小波变换n考虑四点的离散函数：考虑四点的离散函数：f(0)=10)=1，f(1)=41)=4，f(2)=-3(2)=-3和和f(3)=03)=0。因为。因为M=4=4，J=2=2且由于且由于j j0 0=0=0，对，对x=0=0，1 1，2
49、2，3 3，j=0=0，k k=0=0，或者对于，或者对于j=1 1，k k=0=0求和。求和。n将使用哈尔尺度和小波函数，并假定将使用哈尔尺度和小波函数，并假定f(x)的的4 4个采样个采样值分布在基函数的支撑区上，基函数的值为值分布在基函数的支撑区上，基函数的值为l l。n将将4 4个采样点代入式个采样点代入式(7.3.5)(7.3.5)，可得：，可得：1 10131411 21)()(21)0,0(0,030 xxfWx数字图像处理数字图像处理A A7.3.2 7.3.2 离散小波变换离散小波变换n例例7.87.8计算一维离散小波变换计算一维离散小波变换n这里采用的是哈尔尺度函数对于这里
50、采用的是哈尔尺度函数对于j=0 0且且k=0=0的均的均匀空间采样。该值对应于匀空间采样。该值对应于7.1.37.1.3节的哈尔变换节的哈尔变换矩阵矩阵H H4 4的第一行。继续使用式的第一行。继续使用式(7.3.6)(7.3.6)和相似间和相似间隔的采样点隔的采样点 j j,k(x)(它对应于它对应于H H4 4的第的第2,3,42,3,4行行)，可得：可得：4)1(0)1(31411 21)0,0(W25.10003)2(421 21)0,1(W25.1)2(0230401 21)1,1(W数字图像处理数字图像处理A A7.3.2 7.3.2 离散小波变换离散小波变换n例例7.87.8计算
