1、 数学教学方法的核心是学生的“再创 造”,就是让学生在现实活动中通过自己的实践和思考去创造、去获取数学知识,而不是生吞活剥的将数学知识灌输给学生。弗赖登塔尔（国际上极负盛名的荷兰数学家和弗赖登塔尔（国际上极负盛名的荷兰数学家和 数学教育家。数学教育家。代表作：代表作：作为教育任务的数学作为教育任务的数学）原来问题看来不可解时，人类的高明之处就在于迂回绕过不能直接克服的障碍，就在于能想出某个适当的辅助问题。G.波利亚（美国。当代伟大数学家和波利亚（美国。当代伟大数学家和 数学教育家。数学教育家。代表作：代表作：怎样解题怎样解题）学生们在初中、高中接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应
2、用这种知识的数学，所以通常出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他从事什么业务，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，使他们终身受益。米山国藏：日本。当代著名数学家和数学教育家。米山国藏：日本。当代著名数学家和数学教育家。代表作：代表作：数学的精神数学的精神 思想和方法思想和方法 以合理的学习材料为教学载体；以学习的能力立意为教学主线；以学生的思维提升为教学核心；以自我的发展为教学最高境界。曹宝龙：杭州市普通教育研究室主任，博士，特曹宝龙：杭州市普通教育研究室主任，博士，特级教师级教师 。提炼于。提炼于有效教学的几个问题有效教学的几个问题 根据数
3、学教育大师的教育思想，数学教学的本根据数学教育大师的教育思想，数学教学的本质到底是什么？我们不妨这样来认识：质到底是什么？我们不妨这样来认识：如何让学生通过数学内容的学习去发挥数学资如何让学生通过数学内容的学习去发挥数学资源的再创造价值。源的再创造价值。数学教学的目的不仅仅是把题目做出来，而且数学教学的目的不仅仅是把题目做出来，而且更重要的是培养学生自主探求问题的更重要的是培养学生自主探求问题的数学精神数学精神和提和提高对数学的高对数学的欣赏水平欣赏水平。以此，借助于以此，借助于2019年杭州市数学中考试题年杭州市数学中考试题第第24题题为载体，结合再创造思想谈谈个人的一点为载体，结合再创造思
4、想谈谈个人的一点认识。认识。浙江省名师名校长工作站导师浙江省初中数学特级教师郁达夫中学一线教师盛志军信箱：信箱：szj57428126电话：电话：13588392586 QQ:214188006 题目题目：如图：如图1，图形既，图形既关于点关于点O中心对称，又关于中心对称，又关于直线直线AC，BD对称对称.AC=10，BD=6，已知点，已知点E，M是线段是线段AB上的动点（不与端点重上的动点（不与端点重合），点合），点O到到EF，MN的距的距离分别为离分别为h1，h2.OEF与与OGH组成的图形称为蝶形组成的图形称为蝶形.（1）求蝶形面积）求蝶形面积S的的最大值；的的最大值；（2）当以）当以E
5、H为直径的圆与以为直径的圆与以MQ为直径的圆重合为直径的圆重合时，求时，求h1与与h2满足的关系式，并求满足的关系式，并求h1的取值范围的取值范围.图1 之所以选这个题作为阐述我教学观点，是因之所以选这个题作为阐述我教学观点，是因为本人不得不承认在题目中：为本人不得不承认在题目中：1.1.所涉及的数学所涉及的数学基础知识基础知识，是课标最重点的，是课标最重点的内容之一；内容之一；2.2.所运用的数学所运用的数学基本技能基本技能，是教学最熟悉的，是教学最熟悉的常规要求；常规要求；3.3.所蕴含的所蕴含的基本思想方法基本思想方法，是学生最通用的，是学生最通用的学习习惯；学习习惯；4.4.所需要的所
6、需要的基本活动经验基本活动经验，是数学最直觉的，是数学最直觉的心理品质。心理品质。假如初三年级一堂综合复习课正在进行。老师假如初三年级一堂综合复习课正在进行。老师试图把试图把20192019杭州的中考题作教学内容展开讨论杭州的中考题作教学内容展开讨论.如果如果您是这位老师，应该如何来组织和指导学生学习？您是这位老师，应该如何来组织和指导学生学习？一、回溯经验，在一、回溯经验，在“再再”字上切字上切入入 再创造首先在于理解和重视这个再创造首先在于理解和重视这个“再再”字，它意字，它意味着从头开始。面对新的任务，不是现成灌输，首要味着从头开始。面对新的任务，不是现成灌输，首要的工作就是做好的工作就
7、是做好准备工作准备工作。对于教学而言，。对于教学而言，第一是调第一是调度好新认知的联接点；第二就是促进思维活动的良好度好新认知的联接点；第二就是促进思维活动的良好起步。起步。（一）回溯活动经验，为再创造学习调度联结点（一）回溯活动经验，为再创造学习调度联结点学生“所熟悉的具有相同或相似未知量”的活动经验 教师对题目构造有一个透彻的理解教学策略：教师对学生学情有一个清晰地把握辅助问题热身训练，为再创造解决问题做好充分的准备联结点就本题而言，不急于呈现题目，而是首先悄悄地热身训练就本题而言，不急于呈现题目，而是首先悄悄地热身训练:(1)如图如图2，DEBC,AB=a,BD=b,BC=c,求求DE.
8、(2)如图如图3，DEBC,APBC于点于点O，交，交 DE于点于点P,AO=a,PO=b,BC=c.求求DE.(3)如图如图4，当点，当点D在何处时，在何处时，ODE的面积最大？的面积最大？(4)如图如图5，在，在RtABC中，中，ACB=90，CDAB于点于点D，AC=3，BC=4，求，求 AD.A B C D E 图4图5图2图3 O A B C D E P（二）养成识题习惯，促进再创造思维活动的良好起步识 题再创造识 题良好习惯良好习惯 无论是平时数学学习还是参加各种考试，学生面对数学无论是平时数学学习还是参加各种考试，学生面对数学题目，首要的任务就是认识这样问题，让学生一开始就要迅题
9、目，首要的任务就是认识这样问题，让学生一开始就要迅速进入思维活动。识题和再创造联系起来，似乎是一项速进入思维活动。识题和再创造联系起来，似乎是一项“普普遍性遍性”的常规工作，但往往被学生和教师所忽略。大家知道的常规工作，但往往被学生和教师所忽略。大家知道需要这项工作，但却没有养成良好的识题习惯，导致再创造需要这项工作，但却没有养成良好的识题习惯，导致再创造学习的失败。学习的失败。1.识题与再创造2.怎样引导识题 （1）读题）读题。实验表明，对于数学题而言，教师读题在引。实验表明，对于数学题而言，教师读题在引起注意力水平上低于学生默读。值得指出，不管处于何种情起注意力水平上低于学生默读。值得指出
10、，不管处于何种情境，今后学生总是自己默读题目，而不可能依赖教师在旁边境，今后学生总是自己默读题目，而不可能依赖教师在旁边高声读题。高声读题。只有放手培养默读的习惯，学生才能更好的进入只有放手培养默读的习惯，学生才能更好的进入思考问题的状态。思考问题的状态。（2 2）审题）审题。“必须理解题目：未知量是什么（或要证明必须理解题目：未知量是什么（或要证明什么）？已知数据是什么？条件是什么什么）？已知数据是什么？条件是什么?”11这似乎司这似乎司空见惯，这些问题对于学生甚至对于我们教师都感到没有多空见惯，这些问题对于学生甚至对于我们教师都感到没有多少价值，作者在这里提出显得太肤浅，其实大错特错了。少
11、价值，作者在这里提出显得太肤浅，其实大错特错了。事实证明，在有限的测试时间里，学生在这个方面却是事实证明，在有限的测试时间里，学生在这个方面却是个大漏洞。这完全是平时没有养成审题的良好习惯，匆匆下个大漏洞。这完全是平时没有养成审题的良好习惯，匆匆下手，或结果铸成大错，或中途手，或结果铸成大错，或中途“塞车塞车”，浪费大量时间而半，浪费大量时间而半途而废。途而废。1美G.波利亚著：涂泓 冯秉天译：怎样解题M，上海科技教育出版社，2019.6：序.（3）找准关键词。）找准关键词。（主要条件有哪些，要求什么问（主要条件有哪些，要求什么问题），如果是几何问题，要求学生在图上学会表示有关量题），如果是几
12、何问题，要求学生在图上学会表示有关量的符号。的符号。如前面给出的问题中条件关键词：如前面给出的问题中条件关键词：点点O中心对称，直线中心对称，直线 AC，BD对称；对称；AC=10，BD=6 E，M是动点；是动点；点点O到到EF，MN的距离分别为的距离分别为h1，h2.要求学生把各个条件编上号写在草练本上，写出后再反要求学生把各个条件编上号写在草练本上，写出后再反复认识一遍。如果平时长期坚持这样逐步形成习惯，那么复认识一遍。如果平时长期坚持这样逐步形成习惯，那么学生也必形成一个良好的思维活动起点。学生也必形成一个良好的思维活动起点。二、顺应规律，在二、顺应规律，在“做做”字上生成字上生成 再创
13、造学习数学是一种活动，这样的活动事实上告诫再创造学习数学是一种活动，这样的活动事实上告诫我们，不仅要想数学，更重要的是我们，不仅要想数学，更重要的是“做做”数学。数学。在做中必须顺应两大规律：在做中必须顺应两大规律：一是顺应数学的本身规律学习；一是顺应数学的本身规律学习；二是顺应学生的认知规律学习。二是顺应学生的认知规律学习。老子说：老子说：“人法地，地法，天法道，道法自然。人法地，地法，天法道，道法自然。”数数学教育之道归根结底要学教育之道归根结底要顺乎自然顺乎自然。为此认识下面几个问题：。为此认识下面几个问题：1.书本上的数学书本上的数学是现成的数学，演绎的数学。是现成的数学，演绎的数学。
14、“真正的真正的数学家数学家从不尊重他人的这种现成的数学从不尊重他人的这种现成的数学”2。而是要顺乎。而是要顺乎自然。自然。2 荷弗赖登塔尔：作为教育任务的数学M，上海教育出版社，2019 3：107.数学教育之道数学教育之道 2.数学本身的发展数学本身的发展一开始并不都是演绎的出现在我们一开始并不都是演绎的出现在我们面前，它往往是在不断猜测、归纳、而后通过不断生成、面前，它往往是在不断猜测、归纳、而后通过不断生成、证明其正确的结果。证明其正确的结果。3.作为数学教育的数学作为数学教育的数学，显然不可能象数学家那样去，显然不可能象数学家那样去重复这样的劳动，但其中的数学精神确实要求我们学生重复这
15、样的劳动，但其中的数学精神确实要求我们学生根根据自己的认知水平主动通过活动去据自己的认知水平主动通过活动去经历，体验，探求经历，体验，探求，这，这是是“做做”数学的真正内涵。数学的真正内涵。4.数学教师的任务数学教师的任务是在其间为学生建立适当的路标，是在其间为学生建立适当的路标，引导学生由引导学生由复杂到简单复杂到简单学习，由学习，由低层次到高层次低层次到高层次去学习、去学习、去生成新的再创造问题。去生成新的再创造问题。这也许就是再创造教学的本质。这也许就是再创造教学的本质。（一）问题简单化，让新知识与回溯经验相衔接（一）问题简单化，让新知识与回溯经验相衔接 日本著名数学教育家米山国藏认为，
16、日本著名数学教育家米山国藏认为，把问把问题简单化这是学习数学的最基本精神。题简单化这是学习数学的最基本精神。这里的这里的简单化事实上和弗赖登塔尔在再创造理论中的简单化事实上和弗赖登塔尔在再创造理论中的“数学化数学化”“”“形式化形式化”“”“抽象化抽象化”“”“图式图式化化”“”“算法化算法化”的思想是一致的。的思想是一致的。无论是生活中的问题，还是数学本身比较无论是生活中的问题，还是数学本身比较复杂的问题，简单化是发现数学规律的有效途复杂的问题，简单化是发现数学规律的有效途径。径。（一）问题简单化，让新知识与回溯经验相衔接（一）问题简单化，让新知识与回溯经验相衔接简单化简单化数学化数学化图式
17、化图式化形式化抽象化算法化 对于我们的研究问题的第一小题，这样引导：对于我们的研究问题的第一小题，这样引导：1.根据对称性，与另一半边碟形部分什么关系？要求蝶根据对称性，与另一半边碟形部分什么关系？要求蝶形形S的最大面积，只要讨论其中一部分可以吗？的最大面积，只要讨论其中一部分可以吗？2.要求要求OEF的最大面积，需要什么条件？的最大面积，需要什么条件？EF知道吗？知道吗？3.把问题化归到相似三角形中去讨论可以吗？把问题化归到相似三角形中去讨论可以吗？4.求最大值你联想到什么知识来解决？求最大值你联想到什么知识来解决？把复杂图形简单化，凸显出数学的最本质图形中。把复杂图形简单化，凸显出数学的最
18、本质图形中。ABDEFPOB C O E F G H M P Q N A D BDAEFO 至此，这些与前面学生的经验回溯，自然融合在一起，至此，这些与前面学生的经验回溯，自然融合在一起，(归归因因)，从而问题，从而问题(1)迎刃而解。于是，再创造出以下结论迎刃而解。于是，再创造出以下结论:结论结论1 1：当动点在菱形边长的中点时，碟形的面积最大：当动点在菱形边长的中点时，碟形的面积最大.（二）过程层次性，让低层次知识在再创造中提升1再识题目结构，层次性与独立性相结合再识题目结构，层次性与独立性相结合.“学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组织学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组
19、织的活动成为高层次的分析对象；低层次的内容又成为高层的活动成为高层次的分析对象；低层次的内容又成为高层次的题材。次的题材。”33 上述过程实际上对于本题来说是一个低层次的学习，通上述过程实际上对于本题来说是一个低层次的学习，通过低层次地学习，又必须及时小结反思，领悟到简单化图过低层次地学习，又必须及时小结反思，领悟到简单化图形，挖掘相似三角形以及有关数学思想，从而提升到更高形，挖掘相似三角形以及有关数学思想，从而提升到更高层次的学习和探究。这就是再创造理论的又一个符合数学层次的学习和探究。这就是再创造理论的又一个符合数学发展和学生心理发展规律的原理。发展和学生心理发展规律的原理。33 荷荷 弗
20、赖登塔尔：弗赖登塔尔：作为教育任务的数学作为教育任务的数学MM，上海教育出版社上海教育出版社2019 32019 3：115.115.本题两个小题中本题两个小题中 “（1）求蝶形面积）求蝶形面积S的的最大值；的的最大值；（2）当以）当以EH为直径的圆与以为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求为直径的圆重合时，求h1与与h2满足的关系式，并求满足的关系式，并求h1的取值范围的取值范围.”在第一问的基础上提出第二问，不难发现。在第一问的基础上提出第二问，不难发现。两个小题相两个小题相对独立对独立，但用到的相似三角形等和有关的，但用到的相似三角形等和有关的数学思想数学思想，前小题对，前小题对后一小题
21、后一小题有举足轻重的作用有举足轻重的作用。虽然没有因为第一小题的受阻造成第二小题的受阻，但虽然没有因为第一小题的受阻造成第二小题的受阻，但第一小题的低层次知识对第二小题的高层次发展有着重要的作第一小题的低层次知识对第二小题的高层次发展有着重要的作用。这种保持相对独立，用。这种保持相对独立，在方法上呈现出有低级到高级的深入在方法上呈现出有低级到高级的深入探究的题型是值得欣赏的，也是学生再创造所蕴涵的价值探究的题型是值得欣赏的，也是学生再创造所蕴涵的价值。2重构低层图式，在师生互动中再创造 为了解决第二小题，我们同样用简单化的方法，为解题目标的达为了解决第二小题，我们同样用简单化的方法，为解题目标
22、的达成，构建底层图式（图成，构建底层图式（图7）EBDAFOMNOBAEMKL图7OBAEMKLh1h1 设置下面一些提问，试图学生给予学生设置下面一些提问，试图学生给予学生“一个合理的工作量一个合理的工作量”4。让学生。让学生“获得尽可能多的独立经验获得尽可能多的独立经验”。（1）图形重合意味着什么？）图形重合意味着什么？（2）半径相等有哪些可能？）半径相等有哪些可能？（3）重合时）重合时h1,h2有什么关系？有什么关系？（4）不重合时呢？）不重合时呢？OE=OM，（等量思想找关系），（等量思想找关系）.（5）由此怎样用）由此怎样用h1,h2 来表示来表示OE=OM？（6）它们都是哪两个直角
23、三角形的斜边？由勾股定理得到怎样的等式？）它们都是哪两个直角三角形的斜边？由勾股定理得到怎样的等式？（7）EK，ML怎样用怎样用h1,h2 来表示？来表示？4 美美G.波利亚著：涂泓波利亚著：涂泓 冯秉天译：冯秉天译：怎样解题怎样解题M，上海科技教育出版社，上海科技教育出版社，2019.6：122222112)511(3)511(3hhhh121234()90()025hhhh12hh124517hh124517hh145017h所以，得，或.当h1=h2时，点E与点M重合，此时0h15，当时，点E不与点M重合，此时.于是，得到以下结论：结论结论2 2 菱形中的两个碟形顶点共圆时，则由菱形中心
24、引菱形中的两个碟形顶点共圆时，则由菱形中心引出的高相等或它们高的和是常数出的高相等或它们高的和是常数.（三）欣赏简约美，让数学在再创造中进入新境界 数学的最大特征就是简约性。再创造的价值不仅数学的最大特征就是简约性。再创造的价值不仅仅是把某一个题目做出，而是要不断寻求数学理性思仅是把某一个题目做出，而是要不断寻求数学理性思维的生长点，选择最佳途径，从而进入新的探求境界。维的生长点，选择最佳途径，从而进入新的探求境界。其中简约性就是数学境界之一。其中简约性就是数学境界之一。如上述第（如上述第（2）小题，直接想到从）小题，直接想到从OE=OM给出解给出解答，显然在计算上比较麻烦。有没有更简约的途径
25、呢？答，显然在计算上比较麻烦。有没有更简约的途径呢？（链接简约性解法二）（链接简约性解法二）三、变换题材，在三、变换题材，在“拓拓”字发字发展展 数学是在变换中不断发展。数学是在变换中不断发展。这里的变换指改变数学的形态或通过这里的变换指改变数学的形态或通过“引入新条件，新引入新条件，新关系，将所给的式子或条件变换为具有新形态的式子或条关系，将所给的式子或条件变换为具有新形态的式子或条件件”，5但它是建立在再创造的思想下的数学学习方法。但它是建立在再创造的思想下的数学学习方法。这里的这里的“式子或条件式子或条件”，弗赖登塔尔称之为数学，弗赖登塔尔称之为数学“题材题材”。如何达到变换呢？一般是把
26、原如何达到变换呢？一般是把原“题材题材”作为作为“低层次低层次”内容，在内容，在“拓拓”字上求发展，实行字上求发展，实行“二次开发二次开发”，从而形，从而形成新的成新的“题材题材”。5邵光华著：作为教学任务的数学思想与方法M，上海教育出版社，2009.9:24变换变换数学新形态数学新形态引入新条件引入新条件新题材新题材原题材原题材拓拓 例如例如 “结论结论1：当动点在菱形边长的中点时，碟形的当动点在菱形边长的中点时，碟形的面积最大。面积最大。”当作原当作原“题材题材”。拓展一拓展一：如图如图9，图形既关于点，图形既关于点O中心中心对称，又关于直线对称，又关于直线AC，BD对称，对称，AC=10
27、，BD=6，已知点，已知点E，（不与，（不与端点重合），点端点重合），点O到到E距离为距离为h1，问当动点在边何处时，问当动点在边何处时，四边形四边形EFHG的面积最大？的面积最大？BCOEFGHA图9D说明：说明：这里，显然先证明四边形这里，显然先证明四边形EFHG是矩形之后，它的是矩形之后，它的面积是蝶形面积的面积是蝶形面积的2倍。解法和原题解法是几乎一样的。倍。解法和原题解法是几乎一样的。但让学生了解两者之间的联系是必要的。但让学生了解两者之间的联系是必要的。把结论把结论2：“菱形中的两个碟形顶点共圆时，则由菱菱形中的两个碟形顶点共圆时，则由菱形中心引出的高相等或它们高的和是常数形中心引
28、出的高相等或它们高的和是常数”当作原题材。当作原题材。拓展二：拓展二：如图如图10，图形既关于点，图形既关于点O中心对中心对称，又关于直线称，又关于直线AC，BD对称，且对称，且AB=2，若若ABC=90已知点已知点E，M是线段是线段AB上的上的动点（不与端点重合），点动点（不与端点重合），点O到到EF，MN的的距离分别为距离分别为h1，h2.OEF与与OGH组成的组成的图形称为蝶形图形称为蝶形.当以当以EH为直径的圆与以为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求为直径的圆重合时，求h1与与h2满足的关系式，满足的关系式，并求并求h1的取值范围的取值范围.说明：这里，稍改条件，把菱形改为正方形，那
29、是轻易说明：这里，稍改条件，把菱形改为正方形，那是轻易而举的事。这是个演绎的过程。事实上，把原题目作为例题而举的事。这是个演绎的过程。事实上，把原题目作为例题教学时，也可以把此题作为特殊性，通过归纳的思路，合情教学时，也可以把此题作为特殊性，通过归纳的思路，合情推理出求推理出求h1+h2=常数，这是再创造思想指导学习的重要策略。常数，这是再创造思想指导学习的重要策略。说明：这里把条件与结论互换，同时根据这一特殊条件可推说明：这里把条件与结论互换，同时根据这一特殊条件可推出含出含4545的特殊角，从而提高学生思维品质，这也是再创造的特殊角，从而提高学生思维品质，这也是再创造思想指导学习的途径之一
30、。思想指导学习的途径之一。拓展三：拓展三：如图如图10，图形既关于点，图形既关于点O中心对称，又中心对称，又关于直线关于直线AC，BD对称，且对称，且AB=2，已知点，已知点E，M是线段是线段AB上的动点（不与端点重合），上的动点（不与端点重合），点点O到到EF，MN的距离分别为的距离分别为h1，h2.OEF与与OGH组成的图形称为蝶形组成的图形称为蝶形.当以当以EH为直为直径的圆与以径的圆与以MQ为直径的圆重合时，为直径的圆重合时，h1与与h2满足的关系式满足的关系式 ,并求并求ABC的度数的度数.221hh拓展四：如图如图11，图形既关于点，图形既关于点O中心中心对称，又关于直线对称，又关
31、于直线AC，BD对称，对称，且且AC=10，BD=6，已知点，已知点E是线是线段段AB上的动点（不与端点重合），上的动点（不与端点重合），点点O到到EF距离为距离为h.OEF与与OGH组成的图形称为蝶形组成的图形称为蝶形.以以EH为直径作圆。当该圆面积达到最为直径作圆。当该圆面积达到最小时，求小时，求h的值。的值。说明：该题求最小值，与原题求最大值所不同的是，这说明：该题求最小值，与原题求最大值所不同的是，这里用到的是主要是里用到的是主要是几何方法几何方法，原题用的是，原题用的是二次函数二次函数。让学生。让学生最明白，在探究的路上，迷雾茫茫，要善于识别，不要一看最明白，在探究的路上，迷雾茫茫，
32、要善于识别，不要一看到最大值和最小值，就想到二次函数。到最大值和最小值，就想到二次函数。这样的拓展何止这么几种！这样的拓展何止这么几种！1.再创造教学思想和方法是我们数学教学发展方向。这里以一道中考题作为介质展开研究，比较充分这里以一道中考题作为介质展开研究，比较充分的显示出该题的再创造价值。这道被认为难度系数相的显示出该题的再创造价值。这道被认为难度系数相当低的中考题，其实当低的中考题，其实蕴含着丰富的数学知识和思想蕴含着丰富的数学知识和思想，但学生却望洋兴叹。但学生却望洋兴叹。我们的教学是通过再创造真正培养我们的教学是通过再创造真正培养学生数学精神学生数学精神的，还是为了培养学生成为的，还
33、是为了培养学生成为考试的附庸品考试的附庸品的，这值得的，这值得我们平时教学的深刻反思，也值得当今教育有识之士我们平时教学的深刻反思，也值得当今教育有识之士的呐喊。的呐喊。值得思考的的问题值得思考的的问题 2.再创造教学是十分关注“过去、现在、今后”不断发展的系统过程。本文中从解题教学的角度出发，通过三个方面阐本文中从解题教学的角度出发，通过三个方面阐述了再创造教学的基本框架。要十分明智地认识到它述了再创造教学的基本框架。要十分明智地认识到它不是一种教学模式，而是一种不是一种教学模式，而是一种教学方式教学方式，更重要的是，更重要的是一种一种教学思想教学思想。教学没有墨守成规的一成不变的模式，教学
34、没有墨守成规的一成不变的模式，教学如果教学如果成为一种一成不变的模式，那么就抹杀了教学的本成为一种一成不变的模式，那么就抹杀了教学的本质质对千姿百态的人的影响，更扼杀了人的主观能对千姿百态的人的影响，更扼杀了人的主观能动性。动性。再再：回溯学习经验：回溯学习经验输入杭州中考题优秀资源输入杭州中考题优秀资源做做：顺应规律生成顺应规律生成经验经验拓拓：变换数学题材：变换数学题材再创造思想和方法再创造思想和方法输出（学习目标）输出（学习目标）“再再”是一个数学的是一个数学的“历史性历史性”问题问题“做做”是一个数学的是一个数学的“数学化数学化”问题问题“拓拓”是一个数学的应用性问题。是一个数学的应用性问题。归结起来，形成了数学再创造教学的系统性。归结起来，形成了数学再创造教学的系统性。活学活用：活学活用：简单化简单化 让学习再创造，让学习再创造，让教再创造；让教再创造；让学再创造；让学再创造；让学生今后真正创造！让学生今后真正创造！
