1、第四章 刚体的定轴转动实际物体都是有形状、大小的。当需要研究物体的自身运实际物体都是有形状、大小的。当需要研究物体的自身运动时，物体不能被看作质点。但很多情况下，可忽略物体动时，物体不能被看作质点。但很多情况下，可忽略物体在运动过程中的形变。在运动过程中的形变。刚体：刚体：物体内任意两点间的距离在运动中保持不变。物体内任意两点间的距离在运动中保持不变。研究方法：研究方法：视刚体为无穷多质点组成的质点系。每一质视刚体为无穷多质点组成的质点系。每一质点的运动服从牛顿定律。而整个刚体的运动规律是所有质点的运动服从牛顿定律。而整个刚体的运动规律是所有质点运动规律的叠加。点运动规律的叠加。刚体的一般运动
2、刚体的一般运动平动（可看作质点）平动（可看作质点）转动转动定轴转动定轴转动非定轴转动非定轴转动（1）刚体的角动量、转动惯量；刚体的角动量、转动惯量；（2）刚体的转动定理及其应用；刚体的转动定理及其应用；（3）刚体的角动量定理和角动量守恒定律；刚体的角动量定理和角动量守恒定律；（4）力矩的功、转动动能、刚体的动能定理。力矩的功、转动动能、刚体的动能定理。主要内容：主要内容：返回返回4-1 刚体的运动定轴转动定轴转动：刚体上所有质点均：刚体上所有质点均绕一固定直线作圆周运动，该绕一固定直线作圆周运动，该直线称为直线称为转轴转轴。非定轴转动非定轴转动：刚体上所有质点绕：刚体上所有质点绕一直线作圆周运
3、动，该轴也在空一直线作圆周运动，该轴也在空间运动间运动.平动平动：刚体内任意两点连线的：刚体内任意两点连线的方向在运动中保持不变。方向在运动中保持不变。AAABBBpv本章本章主要讨论刚体的定轴转动。主要讨论刚体的定轴转动。返回返回4-2 质心、质心运动定理在讨论质点系的运动时，引入质心（或质心参照系）的概在讨论质点系的运动时，引入质心（或质心参照系）的概念，常可简化计算。念，常可简化计算。则质心的位矢定义为：则质心的位矢定义为：对质量连续分布的物体：对质量连续分布的物体：Mrmriic Mdmrrc 或：或：Mzdmz,Mydmy,Mxdmxccc xyzomiCcrir为质点系总质量。为质
4、点系总质量。imM其中：其中：或：或：,iiiicciicx my mxyMMz mzM设质点系各质点质量设质点系各质点质量m1、m2、mi、mn，它们的位矢它们的位矢12inr r r r 、。质心相对于质点系中各质点的位置是确定的质心相对于质点系中各质点的位置是确定的，该位置不因，该位置不因坐标系的不同选择而不同。坐标系的不同选择而不同。例：质量均匀的细杆，坐标原点选在一端。例：质量均匀的细杆，坐标原点选在一端。CoxdxL/2xM,LL21xdxL1dxLMxM1MxdmxL0c 例：质量均匀的细杆，坐标原点选在杆中央。例：质量均匀的细杆，坐标原点选在杆中央。CoxdxxM,L0 xdx
5、L1dxLMxM1Mxdmx2L2Lc 对质量分布均匀，形状对称的物体，质心就在其几何中心。对质量分布均匀，形状对称的物体，质心就在其几何中心。质心、重心是两个不同的概念，但物体不太大时，质心和质心、重心是两个不同的概念，但物体不太大时，质心和重心位置重合。重心位置重合。当以质心为参照系时，质点系总动量为零。当以质心为参照系时，质点系总动量为零。质心运动定理：质心运动定理：由质点系的动量定理：由质点系的动量定理：)Mrm(dtdM)rm(dtddtpdFn1iii22iin1i22n1ii 外外可见：一个质点系质心的运动，就好象一个质点的运动。可见：一个质点系质心的运动，就好象一个质点的运动。
6、该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点所受的力等该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点所受的力等于整个质点系所受外力之和。于整个质点系所受外力之和。c2c2aMdtrdM caMF 外外即：即：称为称为质心运动定理。返回返回4-3 刚体的角动量、转动惯量1、刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述：)rad(d 角位移矢量角位移矢量：dt时间内位矢转过的角度。时间内位矢转过的角度。方向沿转轴方向沿转轴 角速度矢量角速度矢量：角位移的时间变化率角位移的时间变化率。)s/rad(dtd 定轴转动刚体上任一质元的线速度和角速度的关系为：定轴转动刚体上任一质元的线速度和角速度的关系为：iirv
7、 角加速度矢量角加速度矢量：角速度的时间变化率角速度的时间变化率。)s/rad(dtd2 反反方方向向。、同同方方向向，反反之之、时时同同方方向向。刚刚体体加加速速转转动动与与 dpivir d d im刚体定轴转动时转轴固定不动，所以各角量可用刚体定轴转动时转轴固定不动，所以各角量可用 标量表示。标量表示。刚体定轴转动时，各质元角量刚体定轴转动时，各质元角量 均相同，但均相同，但 各质元线量各质元线量 均不同。均不同。,diiia,v,rd 角量与线量的关系：角量与线量的关系：2iniitiiira,ra,rv 可见：研究刚体定轴转动时用角量描述比用线量描述可见：研究刚体定轴转动时用角量描述
8、比用线量描述 方便得多。方便得多。2、刚体的角动量：、刚体的角动量：刚体定轴转动不能用动量进行描述，刚体定轴转动不能用动量进行描述，而要用角动量进行描述。而要用角动量进行描述。定义：刚体上任一质元对转轴的角动量：定义：刚体上任一质元对转轴的角动量：2iiiiiiiirmvrmprL 整个刚体对转轴的角动量为：整个刚体对转轴的角动量为：iivmiivm )rm(LL2iii 定义：刚体绕某定轴的转动惯量：定义：刚体绕某定轴的转动惯量：2iirmI单位：单位：kgm2所以，刚体对某转轴的所以，刚体对某转轴的角动量角动量：IL piiivmp ir L im质点的角动量质点的角动量3、转动惯量的计算
9、：、转动惯量的计算：转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它的大小取决于：转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它的大小取决于：dmrI2(1)刚体质量；刚体质量；(2)质量的分布；质量的分布；(3)转轴的位置。转轴的位置。对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体：质量体分布时：质量体分布时：dVdm 为为质质量量体体密密度度 质量面分布时：质量面分布时：dSdm 为为质质量量面面密密度度 质量线分布时：质量线分布时：dldm 为为质质量量线线密密度度 质量元质量元dm到到转轴的转轴的距离距离应用以下两个定理，往往可简化转动惯量的计算：应用以下两个定理，往往可简化转动惯量的计算：(1)平行轴定理
10、：平行轴定理：(2)正交轴定理：正交轴定理：设设zc为通过刚体质心的转轴，为通过刚体质心的转轴，z为与为与zc平行平行的另一转轴。两转轴相距的另一转轴。两转轴相距d，则：则：2cmdII 其中：其中：md2相当于质量全部集中于相当于质量全部集中于c时，对时，对z轴的转动惯量。轴的转动惯量。刚体对通过质心转轴的转动惯量最小。刚体对通过质心转轴的转动惯量最小。薄板形刚体对板内两正交轴的转动惯量薄板形刚体对板内两正交轴的转动惯量之和等于刚体对过两轴交点并垂直于板之和等于刚体对过两轴交点并垂直于板面的转轴的转动惯量。面的转轴的转动惯量。yxzIII Czzcdyozx例题例题4-1：求质量为求质量为M
11、、长为长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。的一点并和棒垂直。（1）棒上任取线元棒上任取线元dx，其质量为其质量为dm。L、MxdxC该线元对该线元对转轴的转动惯量为：转轴的转动惯量为：dxLMxdI2 整根棒对整根棒对转轴的转动惯量为：转轴的转动惯量为：22L2L2ML121dxxLMdII L、MxdxL、MhCzzc（2）当转轴取在棒的一端时：当转轴取在棒的一
12、端时：2L02ML31dxxLMdII （3）当当转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直时：的一点并和棒垂直时：由由平行轴定理：平行轴定理：222cMhML121MhII 当当h=L/2时，与时，与(2)的情况相同，由上式：的情况相同，由上式：22222ML31)L21(MML121MhML121I 例题例题4-2：求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴的转求密度均匀的圆盘对通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为动惯量。设圆盘的半径为R，质量为质量为M。在圆盘上取一半径为在圆盘上取一半径为r、宽度为宽度为dr的圆环，环的面积为的圆环，环的面积为2 rdr
13、，环的质量为：环的质量为：2R0322MR21drrRM2dmrI rdrRM2rdr2RMrdr2dm22 转动惯量：转动惯量：prdrM返回返回P60常见的几种的转动惯量常见的几种的转动惯量竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？4-4 刚体的转动定理外力对刚体定轴转动的影响，与力的大小、方向、作用点的位外力对刚体定轴转动的影响，与力的大小、方向、作用点的位置都有关。但外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不置都有关。但外力在平行于转轴方向的分力对刚体定轴转动不起作用，所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。起
14、作用，所以只需考虑外力在垂直于轴的平面内的分力。1、力矩：、力矩：pfcosdof sinMrf定义：外力相对于某固定轴的定义：外力相对于某固定轴的力矩力矩为：为：)mN(frM 力矩的大小：力矩的大小：dfsinrfMM 其中：其中：sinrd 称为外力对转轴的称为外力对转轴的力臂力臂。M力矩的大小也可以写作：力矩的大小也可以写作：当有几个外力同时作用于刚体时，合外力矩等于各外力当有几个外力同时作用于刚体时，合外力矩等于各外力力矩的矢量和：力矩的矢量和：)sinf(rM 可见：只有垂直于位矢方向的分力可见：只有垂直于位矢方向的分力 f sin 才对才对刚体定轴转刚体定轴转动起作用动起作用。n
15、1iin21MMMMM但对于作定轴转动的刚体，合外力矩可用代数和表示：但对于作定轴转动的刚体，合外力矩可用代数和表示：n1iin21MMMMM 刚体所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，反之亦然。刚体所受合外力为零时，合外力矩不一定为零，反之亦然。2、刚体的转动定理：、刚体的转动定理：刚体中第刚体中第i个质元对转轴的角动量为：个质元对转轴的角动量为：对时间求导：对时间求导：iiiprL dtpdrpdtrd)pr(dtddtLdiiiiiii iiiiiiiiMfrfrvmv 其中：其中：dtpdfii 为第为第i个质元所受的作用力；个质元所受的作用力；iiifrM 为为fi对转轴的力矩。对转
16、轴的力矩。对整个刚体：对整个刚体：iiiiMLdtddtLd iiiiMLdtddtLd iiM为所有质元所受外力矩和内力矩的矢量和：为所有质元所受外力矩和内力矩的矢量和：iiiiiiMMM内内外外因为刚体内每一对内力的力矩均等值、反向，所以内力矩因为刚体内每一对内力的力矩均等值、反向，所以内力矩对定轴转动刚体的运动无影响。对定轴转动刚体的运动无影响。jririjijFjiFdOijMjiMjiijMM刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消非相对论情况下，转动惯量非相对论情况下，转动惯量I为常量：为常量：IdtdIdtLd 所以，经典力学中刚体的所以，经典力学
17、中刚体的转动定理转动定理可表示为：可表示为：IM 当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明 转动惯量转动惯量I是是刚体转动惯性大小的量度。刚体转动惯性大小的量度。设设 为刚体所受的合外力矩，则：为刚体所受的合外力矩，则：MMdtLd 刚体的转动定理：刚体所受的合外力矩等于刚体对同一转轴刚体的转动定理：刚体所受的合外力矩等于刚体对同一转轴角动量的时间变化率。角动量的时间变化率。例题例题4-5设设 m1 m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为M而半径为而半径为r。绳的质量不计且与滑轮无相对滑动，绳的质量不计且与
18、滑轮无相对滑动，滑轮轴的摩擦力不计。求：滑轮轴的摩擦力不计。求：m1、m2的加速度及的加速度及绳中的张力。绳中的张力。隔离滑轮及重物，画受力分析图。隔离滑轮及重物，画受力分析图。因绳的因绳的质量不计，所以：质量不计，所以：T 1=T 1，T 2=T 2。raMr21IrTrTamgmTamTgm221222111m1m2Mm2 gMroT2T1m1 gT2T1aa gm2Mmm2Mm2Tgm2Mmm2Mm2Tg2Mmmmma22112121212121解解方程：方程：若若滑轮质量不计，即滑轮质量不计，即M=0，则：则：gmmmm2TTgmmmma2121212121返回返回 例例5 一长为一长
19、为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动.由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加速度和角速度和角速度.lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NF1sin2mglI式中式中213Imlddddddd
20、dtt得得3sin2gl由由角加速度的定义角加速度的定义dsin23dlg代入代入初始条件积分初始条件积分 得得)cos1(3lg1sin2mglI4-5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。1、刚体的角动量定理：、刚体的角动量定理：由转动定理：由转动定理：LddtM 1212LLttIILLLddtM2121 式中式中 21ttdtM称为合外力矩在称为合外力矩在 t=t2-t1内的内的冲量矩冲量矩(N m s)。角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于
21、刚体在同一 时间内角动量的增量。时间内角动量的增量。角动量定理对非刚体也成立，此时：角动量定理对非刚体也成立，此时：1122ttIIdtM21 2、角动量守恒定律：、角动量守恒定律：当当物体所受合外力矩为零时，有：物体所受合外力矩为零时，有：)0M(IL时时当当常常矢矢量量 即：即：当物体所受合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。当物体所受合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：(1)转动惯量和角速度都不变；转动惯量和角速度都不变；(2)转动惯量和角速度都改变，但两者的乘积保持不变。转动惯量和角速度都改变，但两者的乘积保持不变。角动量守恒定律是自然界的
22、一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守守 恒条件恒条件0M若若 不变，不变，不变；若不变；若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.ILII讨论讨论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水例题例题4-6质量为质量为 M，半径为半径为R的转台，可绕垂直中心轴无的转台，可绕垂直中心轴无摩擦地转动，质量为摩擦地转动，质量为m的人站在台边。开始时，的人站在台边。开始时，人与转台都静止。若人沿台边走动一周。求：转人与
23、转台都静止。若人沿台边走动一周。求：转台和人相对地面各转动了多少角度？台和人相对地面各转动了多少角度？设人对地角速度设人对地角速度，转台对地角速转台对地角速度度，人对转台角速度人对转台角速度rel，则：则：rel人与转台系统地角动量守恒：人与转台系统地角动量守恒：0mRMR2122 222mMmMmMrel得：得：relm2MM relm2MM m2M 所以人对地转过的角度：（设所以人对地转过的角度：（设T为人沿转台走一周所需时间）为人沿转台走一周所需时间）转台对地转过的角度：转台对地转过的角度：负号表示人与转台的转动方向相反。负号表示人与转台的转动方向相反。m2MM2Tm2MMTrel mM
24、mTMmT242返回返回 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时,有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处,并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与
25、细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定理dd()ddddLIIMttttrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg质点！质点！例例4 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设设跷板是匀质的跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点
26、C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷落在跷板上板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多可弹起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度21M)2(ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu m 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统,角动量守恒角动量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员 N 以以
27、u 起起跳跳,达到的高度达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh4-6 刚体的动能定理1、力矩的功：、力矩的功：刚体定轴转动时，刚体内每一对质元间内力的合力矩为零，刚体定轴转动时，刚体内每一对质元间内力的合力矩为零，所以研究刚体定轴转动时只需考虑外力矩的作用。所以研究刚体定轴转动时只需考虑外力矩的作用。设刚体在外力作用下产生元位移设刚体在外力作用下产生元位移ds，则则外力对刚体所作的元功为：外力对刚体所作的元功为：dsinrfds)2cos(fdW 式中：式中：sinrfM 为外力对转轴的力矩。为外力对转轴的力矩。所以：所以：MddW 当刚体在外力矩作用下由角位置当
28、刚体在外力矩作用下由角位置0转到转到时，时，外力矩作功外力矩作功：0MdWporfds d外力矩的功率为外力矩的功率为：)smN(MdtdMdtdWP 可见：功率一定时，转速越低则外力矩越大。可见：功率一定时，转速越低则外力矩越大。2、刚体的转动动能：、刚体的转动动能：刚体定轴转动时，某质元刚体定轴转动时，某质元mi的动能为：的动能为：22ii2iiki)rm(21vm21E 整个刚体的动能为：整个刚体的动能为：2i2iii22iik)rm(21)rm(21E 即：即：2kI21E 转动动能是刚体转动时动能的角量表示，而不是区别于转动动能是刚体转动时动能的角量表示，而不是区别于 平动动能的另一
29、种形式的能量。平动动能的另一种形式的能量。3、刚体定轴转动的动能定理：、刚体定轴转动的动能定理：由转动定理：由转动定理：ddIdtdddIdtdIIM 得：得：dIMd 202I21I21dIMdW00 即：即：合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于刚体转动 动能的增量。动能的增量。4、刚体的重力势能：、刚体的重力势能：hcCEp=0将刚体的全部质量集中于质心时，该质心所将刚体的全部质量集中于质心时，该质心所拥有的重力势能，即为整个刚体的重力势能。拥有的重力势能，即为整个刚体的重力势能。若若转轴通过质心，则刚体的重力势能在刚体转轴通过质心，则刚体的重力势能
30、在刚体转动时保持不变。转动时保持不变。cpmghE 5.包含刚体转动在内的机械能守衡定律：包含刚体转动在内的机械能守衡定律：机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变下，质点系的机械能保持不变.222200011112222mvImghmvImghvovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量
31、不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计22tdxdtdvda,tdxdv 22tddtdd,tdd )xx(a2vvat21tvxxatvv02022000匀变匀变速直速直线运线运动动 )(2t21tt02022000 匀变匀变速转速转动动运运动动学学maF 牛顿第二定律牛顿第二定律 IM 转动定律转动定律0mvmvFdt 动量定理动量定理 0IItdM 角动量定理角动量定理 常量常量mv动量守恒动量守恒 常量常量 I角动量守恒角动量守恒 202mv21mv21xdF动能定理动能定理 202I21I21dM 动能
32、定理动能定理动动力力学学质点直线运动（刚体平动）质点直线运动（刚体平动）刚体定轴转动刚体定轴转动P66表表4-2 质量为质量为 m，长为，长为l的均匀细杆，可绕水平转轴在竖直的均匀细杆，可绕水平转轴在竖直平面内无摩擦转动。转轴离杆一端平面内无摩擦转动。转轴离杆一端l/3，设杆由水平位置自由转设杆由水平位置自由转下，求：下，求：(1)杆在水平位置时的角加速度；杆在水平位置时的角加速度；(2)杆在竖直位置时杆在竖直位置时的角速度和角加速度；的角速度和角加速度；(3)杆在竖直位置时对转轴的作用力。杆在竖直位置时对转轴的作用力。例题例题4-7oCmgABl/3(1)重力的作用点在质心重力的作用点在质心
33、C。6lOC 由由转动定理：转动定理：222oml91)6l(mml121Imgl61得：得：l2g3 (2)由机械能守恒：由机械能守恒：2220ml9121I21mgl61 得：得：（合合外外力力矩矩为为零零）0,lg3 (3)由质心运动定理由质心运动定理：oCmgN22cc)6l(lm66lvmmamgN mg21lg3m6l 所以所以：mg23mg21mgN 而杆对而杆对转轴的作用力大小等于转轴的作用力大小等于N，但方向向下。但方向向下。习题习题4-16一磨轮一磨轮半径半径0.10m，质量质量25kg，以，以50r/s的转速转动的转速转动.用工具以用工具以200N的正压力作用在轮边缘，使
34、它在的正压力作用在轮边缘，使它在10s内停止转动，求工具与磨轮之间的摩擦因数。内停止转动，求工具与磨轮之间的摩擦因数。f=FFMo摩擦阻力矩：摩擦阻力矩：FRM 磨轮转动惯量：磨轮转动惯量：2MR21I 由转动定理：由转动定理：MRF2IM 为常量，所以磨轮作匀变速转动：为常量，所以磨轮作匀变速转动：t0 得：得：t0 196.01020025021.02520FtMR习题习题4-21一质量为一质量为0.05kg的物块系于绳的一端，绳的另一端的物块系于绳的一端，绳的另一端从光滑水平面上的小孔穿过，物块和小孔的距离原从光滑水平面上的小孔穿过，物块和小孔的距离原为为0.2m并以角速度并以角速度3r
35、ad/s绕小孔旋转。现向下拉绳使绕小孔旋转。现向下拉绳使物块运动半径减为物块运动半径减为0.1m，求：求：(1)物块旋转的角速物块旋转的角速度大小；度大小；(2)物块动能的变化物块动能的变化。(1)由角动量守恒：由角动量守恒：222121)mr()mr(s/rad12)rr(122212 (2)物块动能的增加：物块动能的增加：J027.0)rr(m21E21212222k 返回返回习题习题4-23长长l=0.40m的匀质木棒的匀质木棒，质量，质量M=1.00kg，可绕水平可绕水平轴轴o在竖直平面内无摩擦转动，开始时棒处于竖直位在竖直平面内无摩擦转动，开始时棒处于竖直位置，现有质量置，现有质量m
36、=8g，v=200m/s的子弹从的子弹从A点射入棒点射入棒中。中。AO=3l/4，求求(1)棒开始运动时的角速度；棒开始运动时的角速度；(2)棒棒的最大偏转角的最大偏转角。(1)棒和子弹的转动惯量：棒和子弹的转动惯量：由角动量守恒：由角动量守恒：22m2Mml169)l43(mI,Ml31I )ml169Ml31(l43vml169222 求得：求得：)s/rad(88.8l)m27M16(mv36 o0AC4l3(2)设棒的最大偏转角为设棒的最大偏转角为0，由机械能守恒：由机械能守恒：)cos1(4l3mg)cos1(2lMg)II(21002mM 0758.0)32()(21cos20gl
37、mMIImM求得：求得：16940 o0AC4l3习题习题4-26一质量为一质量为M、半径为半径为R的飞轮，以角速度的飞轮，以角速度绕通过中心的绕通过中心的水平轴转动。在某瞬时有一质量为水平轴转动。在某瞬时有一质量为m的碎片从轮缘上飞的碎片从轮缘上飞出，碎片飞出时的飞行方向竖直向上。出，碎片飞出时的飞行方向竖直向上。求：求：(1)碎片的飞碎片的飞行高度；行高度；(2)缺损飞轮的角速度、角动量和转动动能。缺损飞轮的角速度、角动量和转动动能。MRm(1)由机械能守恒：由机械能守恒：22mR21mgh g2Rh22 (2)缺损飞轮的转动惯量：缺损飞轮的转动惯量：22mRMR21 I 缺损飞轮的角速度仍为缺损飞轮的角速度仍为角动量：角动量：转动动能：转动动能：2R)mM21(IL 2222kR)m2M(41R)mM21(21E
