1、层次分析法简介层次分析法层次分析法 美国运筹学家萨蒂（美国运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在）在70年代初提出年代初提出的层次分析法（的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简，简称称AHP）是一种具有定性分析与定量分析相结合）是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。过程系统化、模型化、数量化。AHP基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按
2、不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均的联系，形成一个多层次结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。决策依据。层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤 明确问题建立层次明确问题建立层次 构
3、造判断矩阵构造判断矩阵 层次单排序层次单排序 层次总排序层次总排序 一致性检验一致性检验明确问题建立层次明确问题建立层次 对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类,每类作为一个层次每类作为一个层次,按最高层按最高层(即目标层即目标层,表示解决问题的目表示解决问题的目的的)、若干有关的中间层、若干有关的中间层(表示采用某种措施或根据某种准表示采用某种措施或根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节则来实现预定目标所涉及的中间环节)和最低层和最低层(表示解决表示解决问题的措施和方案问题的措施和方案)的形成排列起来形成一个层次结构图。的形成排列
4、起来形成一个层次结构图。构造判断矩阵构造判断矩阵 层次结构建立后层次结构建立后,明确了上下层次之间的从属关系。明确了上下层次之间的从属关系。假定假定A层中元素层中元素Ak与下层中元素与下层中元素B1,B2,Bm有联系，有联系，构造如下的判断矩阵：构造如下的判断矩阵：AkB1B2BmB1b11b12b1mB2b12b22b2mBmbm1bm2bmn其中其中bij表示对于表示对于Ak而言，而言，Bi对对Bj相对重要性的标度相对重要性的标度(MBi/MBj)。显然判断矩阵。显然判断矩阵B=(bij)有关系式有关系式 bij0，bii=1，bji=1/bij，i,j=1,2,m因此对因此对m阶判断矩阵
5、阶判断矩阵,仅需对仅需对m(m-1)/2个元素给出标度。个元素给出标度。标度值意义及一致性标度值意义及一致性判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵的质量有一致性的要求，综合平衡后给出的，因此对判断矩阵的质量有一致性的要求，即即B中元素满足要求：中元素满足要求：bijbjk=bik i，j，k=1，2，m满足一致性的充分必要条件是：它的最大特征值满足一致性的充分必要条件是：它的最大特征值*=m。层次单排序层次单排序 利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言，本层次与
6、之有联系的元素的重要性次言，本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权向量）的过程，称为层次单序的权值（权向量）的过程，称为层次单排序。排序。层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题，即对于判断矩特征值与特征向量的问题，即对于判断矩阵阵B，求解满足，求解满足BU=U的最大特征值的最大特征值*以及以及对应对应*的正规化的正规化(单位化单位化)的特征向量的特征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。的分量即为相应元素的单排序权重。一致性指标一致性指标 在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且max
7、m，当，当B具有满意的一致性时，具有满意的一致性时，max稍大于稍大于m，其余的特征值接近于零，此时，层次分析得出的其余的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合理。结论基本合理。我们可用我们可用CI=(*-m)/(m-1)作为检验作为检验B的一致性指标。的一致性指标。显然，当判断矩阵具有一致性，显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0；*-m越大，越大，CI越大，一致性越差。越大，一致性越差。此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。通过多次随机的构造通过多次随机的构造m阶判断矩阵阶判断矩阵,计算其最大特计算其最大特征根征根,然后取平均值得然后取
8、平均值得,于是得到于是得到RI=(-m)/(m-1)。注：注：112阶判断矩阵的阶判断矩阵的RI值已编制成数表备查。值已编制成数表备查。随机一致比例随机一致比例CR 一、二阶判断矩阵必有一致性，其一、二阶判断矩阵必有一致性，其RI值只是值只是形式上的。形式上的。当判断矩阵阶数大于当判断矩阵阶数大于2时，时，CI与与RI之比称为之比称为判断矩阵的随机一致比例，记为判断矩阵的随机一致比例，记为CR。当当CR=0.10时，认为判断矩阵的一致性可时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整判断矩阵。以接受，否则需要调整判断矩阵。对于对于112阶的判断矩阵，阶的判断矩阵，RI值表如下值表如下:阶数阶数
9、123456789101112RI000.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54层次总排序层次总排序 为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该权重和它们与上层元素的相互影响，需要利用该层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组层所有层次单排序的结果，计算出该层元素的组合权重，这个过程称为层次总排序。合权重，这个过程称为层次总排序。层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进行，层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进行，最终计算结果得到最低层次元素，即要决策
10、方案最终计算结果得到最低层次元素，即要决策方案优先次序的相对权重。优先次序的相对权重。若有若有m层目标层目标(不含总目标不含总目标),把各方案作为把各方案作为m+1层层,每相邻两层之间具有完全层次关系每相邻两层之间具有完全层次关系,且设第且设第i层目标层目标有有ni个个,第第i+1层目标层目标(或方案或方案)有有ni+1个个,用用W(i)表示这表示这两层间的权重矩阵两层间的权重矩阵,它有它有ni行行ni+1列。可以知道各方列。可以知道各方案对总目标的权重向量案对总目标的权重向量W为：为：W=W(0)W(1)W(m)。层间的权重组合与权重矩阵层间的权重组合与权重矩阵W(j)若上一层所有元素若上一
11、层所有元素A1，A2，Ak的层次单排序已完的层次单排序已完成，得到的权重为成，得到的权重为a1,a2,ak,与与Ai(1ik)对应的本对应的本层次元素为层次元素为B1,B2,Bm单排序结果为单排序结果为Bi=(bi1,bi2,bim)(注：若注：若bij=0,则表示则表示Bi与与Aj无关无关)TjW)(一致性检验一致性检验 为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需计算与层次单排序类似的检验量，记计算与层次单排序类似的检验量，记 CI层次总排序的一致性指标层次总排序的一致性指标 RI层次总排序随机一致性指标层次总排序随机一致性指标 CR层次总排序随机一
12、致性比例层次总排序随机一致性比例其中其中 KiiiCIaCI1KiiiRIaRI1RICICR CIi为为Ai对应的下一层对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。层次中判断矩阵的一致性指标。RIi为为Ai对应的对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。层次中判断矩阵的随机一致性批标。当当CR0.10时时,则则 认为层次总排序计算结果的一致性可认为层次总排序计算结果的一致性可以接受。以接受。最大特征值的近似简化算法最大特征值的近似简化算法-和积法和积法（1）将判断矩阵）将判断矩阵B每一列正规化；每一列正规化；（2）每列正规化的判断矩阵按行相加；）每列正规化的判断矩阵按行相加；（3）对相加后得到的
13、向量再正规化，即得）对相加后得到的向量再正规化，即得排序所要求的特征向量排序所要求的特征向量W；（4）计算判断矩阵）计算判断矩阵B的量大特征值的量大特征值*miiimWBW1*)(中中(BW)i表示向量表示向量BW的第的第i个元素。个元素。最大特征值的近似简化算法最大特征值的近似简化算法-根法根法（1）将）将B的元素按行相乘的元素按行相乘（2）所得乘积分别开）所得乘积分别开m次方次方（3）将方根向量正规化即得排序所要求的）将方根向量正规化即得排序所要求的特征向量特征向量W（4）计算）计算miiimWBW1*)(应用示例应用示例 某企业进行决策时，确定其企业目标分经济目标和非经某企业进行决策时，
14、确定其企业目标分经济目标和非经济目标两类。并具体将其目标分为目标济目标两类。并具体将其目标分为目标C1,目标目标C2,目标目标C3和目标和目标C4(如年利润增长如年利润增长10%，每年全国各地新开分支机构，每年全国各地新开分支机构5家，职工年收人年增家，职工年收人年增20%,提高企业形象等提高企业形象等)，并制定了三，并制定了三项具体政策方案，如下图所示。今欲从中选择一种政策加项具体政策方案，如下图所示。今欲从中选择一种政策加以实施。以实施。经专家讨论给出各层判断矩阵。经专家讨论给出各层判断矩阵。A层计算（和积法）层计算（和积法）将第将第1列加总、规范化列加总、规范化:ak1=1+1/2=3/
15、2,11=a11/ak1=0.6667,21=a21/ak1=0.3333 将第将第2列加总、规范化列加总、规范化:ak2=2+1=3,12=a12/ak2=0.6667,22=a22/ak1=0.3333 构成列向量规范的判断矩阵：构成列向量规范的判断矩阵：3333.03333.06667.06667.0A 将将矩阵每行相加得一列向量矩阵每行相加得一列向量,再归一化：再归一化：6666.0,3334.121222111jjjjaWaWATTjjWWWWWW)3333.0,6667.0(),(21 二阶矩阵不需作一致性检验。二阶矩阵不需作一致性检验。AWW)0(3/23/43/13/212/1
16、21WA222)(3132213234maxiiiWmWA0,01maxRImmCIB层计算层计算 对对B1判别矩阵：判别矩阵：13/12/131424/111B1560.06196.02243.01BW10.00942.05800.005465.01093.3maxCRRICI 对对B2判别矩阵：判别矩阵：12/12/13/1215/12/12512/132212B1149.01528.03340.03929.01BW1.00513.09000.00426.01386.4maxCRRICI B1和和B2矩阵都通过一致性检验。矩阵都通过一致性检验。1149.01528.03340.03929.
17、001560.06196.02243.0021)1(TBTBWWW0.10.0749.03333.058.06667.00426.03333.005465.06667.021)0(21)0(kkkkkkRIwCIwCR总排序C层计算层计算 对对C1判别矩阵：判别矩阵：TCW)1638.0,2972.0,5390.0(11.0008.0,5800.0,00465.0,0093.3maxCRRICI 对对C2判别矩阵：判别矩阵：TCW)2857.0,5714.0,1429.0(21.00,5800.0,0,3maxCRRICI 对对C3判别矩阵：判别矩阵：TCW)6337.0,1919.0,174
18、4.0(31.00078.0,5800.0,00455.0,0091.3maxCRRICI 对对C4判别矩阵：判别矩阵：TCW)2299.0,6480.0,1222.0(41.00033.0,5800.0,0019.0,0038.3maxCRRICI2299.06480.01222.09337.01919.01744.02857.05714.01429.01638.02972.05390.04321)2(TCTCTCTCWWWWW权重合成权重合成-层次总排序层次总排序 各政策关于企业目标的权重各政策关于企业目标的权重:)3026.0,4376.0,2579.0()2()1()0(WWWW由于政
19、策乙的权重最大，因此，应该选择政策乙。由于政策乙的权重最大，因此，应该选择政策乙。C层各目标重要性的权重层各目标重要性的权重:)0383.0,1549.0,5240.0,2805.0()1()0(WWW即目标即目标2的重要程度最高，目标的重要程度最高，目标4的重要程度最低，的重要程度最低，目标目标2是应优先满足的目标。是应优先满足的目标。R计算程序RIt=c(0,0,0.58,0.90,1.12,1.14,1.32,1.41,1.45,1.49,1.52,1.54);RItA=matrix(c(1,2,1/2,1),ncol=2,byrow=T);Aev=eigen(A);evWA=ev$ve
20、ctors,1/sum(ev$vectors,1);WAW0=WAB1=matrix(c(1,1/4,2,4,1,3,1/2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);B1B2=matrix(c(1,2,2,3,1/2,1,5,2,1/2,1/5,1,2,1/3,1/2,1/2,1),ncol=4,byrow=T);B2ev=eigen(B1);evWB1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WB1CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1RI1=RIt3;RI1CR1=CI1/RI1;CR1R计算程序续1ev=eigen(B2);evWB2=ev$
21、vectors,1/sum(ev$vectors,1);WB2CI2=(ev$values1-4)/(4-1);CI2RI2=RIt4;RI2CR2=CI2/RI2;CR2CI=c(CI1,CI2);RI=c(RI1,RI2)CR=(CI%*%W0)/(RI%*%W0);CRW1=rbind(c(WB1,0),WB2);W1C1=matrix(c(1,2,3,1/2,1,2,1/3,1/2,1),ncol=3,byrow=T);C1C2=matrix(c(1,1/4,1/2,4,1,2,2,1/2,1),ncol=3,byrow=T);C2C3=matrix(c(1,1,1/4,1,1,1/3
22、,4,3,1),ncol=3,byrow=T);C3C4=matrix(c(1,1/5,1/2,5,1,3,2,1/3,1),ncol=3,byrow=T);C4R计算程序续2ev=eigen(C1);evWC1=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC1CI1=(ev$values1-3)/(3-1);CI1RI1=RIt3;RI1CR1=CI1/RI1;CR1ev=eigen(C2);evWC2=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC2CI2=(ev$values1-3)/(3-1);CI2RI2=RIt3;RI2CR2=CI2/RI2
23、;CR2ev=eigen(C3);evWC3=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC3CI3=(ev$values1-3)/(3-1);CI3RI3=RIt3;RI3CR3=CI3/RI3;CR3R计算程序续3ev=eigen(C4);evWC4=ev$vectors,1/sum(ev$vectors,1);WC4CI4=(ev$values1-3)/(3-1);CI4RI4=RIt3;RI4CR4=CI4/RI4;CR4CI=c(CI1,CI2,CI3,CI4);RI=c(RI1,RI2,RI3,RI4)CR=(CI%*%t(W0%*%W1)/(RI%*%t(W0
24、%*%W1);CRW2=rbind(WC1,WC2,WC3,WC4);W2 W=W0%*%W1%*%W2;WW0%*%W1应用示例应用示例 单位选经理，设立道德、才能、学识、健康四类单位选经理，设立道德、才能、学识、健康四类12条标准：条标准：道德道德B1-忠诚正派忠诚正派C1、责任心强、责任心强C2、虚怀若谷、虚怀若谷C3才能才能B2-有远见有远见C4、协调力、协调力C5、善用人、善用人C6、善谋、善谋C7、C8学识学识B3-精通业务精通业务C8、学历高、学历高C9、有管理知识、有管理知识C10健康健康B4-身体健康身体健康C11、年龄合适、年龄合适C12 三候选人打分汇总表及准则判断矩阵如下三候选人打分汇总表及准则判断矩阵如下:A选经理选经理B1B2B3B4
