1、定义：如果用Am(z)表示m 阶实系数全通滤波器的系统函数，则1)()(1zAzAmm1)()()(12jezmmjmzAzAeA1111)(dzdzzA1da)一阶全通滤波器的极点和零点jred 记：极点为：jredp1零点为：jerdz)/1(*/11b)一阶全通滤波器的频率响应1111)(dzdzzAjjjdedeeA1)(1jjjdeede111)(1jeAjjjjjjereereeeA11)(1)cos(1)sin(tan2)(1rr0)(sin)cos(1(1)(2222rrrdd故一阶全通滤波器的相位响应是单调递减的。)()(1)(1)1(111)1(111zDzDzzdzdzd
2、zzdzddzAmmmmmmmmmmmma)m阶全通滤波器的极点和零点 如zk为一个极点，则zk*也是一个极点,1/zk和1/zk*必为系统零点。b)m阶全通滤波器的频率响应1)()()()()()(111zDzDzzDzDzzAzAmmmmMmmm由于：1)()()(12jezmmjmzAzAeA1)(:0jmeA由于0)0(所以：m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积，由于一阶全通系统相位是递减的 m阶实系数全通系统的相位非正递减的阶实系数全通系统的相位非正递减的。2阶实系数全通滤波器的相位响应(a)相位响应的主值 (b)解卷绕后的相位响应定义：零极点都在单位圆内的因果系统称为最小
3、相位系统。记为Hmin(z)。任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为)()()(minzAzHzHm 设系统H(z)只有一个零点在z=1/a*在单位圆外，|a|1虚轴映射到单位圆上右半平面映射到单位圆外结论：因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统 和和w w 的关系的关系2121TsTsz令s=jw2j12j1wwTTz)2(jtanexp()2(jtanexp(11wwTT)2(tan2 jexp(1wT)2(tan21Tw)2(tan2Tw11112zzTs)2/tan(2Tw)(jeH)(wjHpspwsww缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真缺点：幅度响应不是常数时会产生
4、幅度失真优点：无混叠优点：无混叠双线性法设计双线性法设计DF的步骤：的步骤：2)由模拟滤波器的指标设计由模拟滤波器的指标设计H(s)3)H(s)转换为转换为H(z)11112)()(zzTssHzH1)1)将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 k由由w wk k=(2/T)tan(tan(k/2)转换为模拟滤波器的频率指标转换为模拟滤波器的频率指标 w wk解：设双线性变换中的参数为T1)模拟低通滤波器的3dB截率为)2/(tan2ppTw2)3dB截率为wp的一阶模拟BW LP 滤波器为1)2/tan(211/1)(ppsTssHw3)由双线性变换得11)1)2(tan()2tan(
5、1)1)(2tan()(z/z/zHppp11112)1(zz)2tan(1)2tan(1/pp例：例：用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为p的数字低通滤波器。111)(zeezHpp11)1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHppp00.6100.71Normalized frequencyAmplitude例：用1阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个3dB截止频率为p的数字高通滤波器解：取T=2，则AF HP的3dB截频为)2/tan(ppwAF LP 的3dB截频为)2/tan(/1ppw满足条件的LP AF为 1/1
6、)(pLPssHw满足条件的HP AF为 1)/(11)/1()(pLPHPssHsHwssp)2/tan(1111)()(zzsHPsHzH)1()1)(2/tan(1111zzzp111)2/tan(1)2/tan(1)1(1)2/tan(1zzppp1)2/tan(1)2/tan(pp令：1)2/tan(21p则：,112)1()(11zzzH例例 用一阶模拟巴特沃思低通滤波器和双线性变换法，设计一个中心频率为0，3dB带宽为D的数字带阻滤波器。解：取T=2。设数字带阻的3dB截频分别为1和2，且21。1)模拟带阻滤波器的频率指标为2,1,0),2/tan(kkkw 2)频率变换的参数为
7、)2/tan()2/tan(1212wwB)(tan)2/tan()2/tan(02212120www3)模拟带阻滤波器为202202,)(wwBssssHBSa4)由双线性变换可得满足条件的数字带阻滤波器为2201202022012020)1()1(2)1()1()1(2)1()(zBzBzzsHBSwwwwww202020201111wwww，记：BBB20201121,ww则有212020211)1(212121)(zzBzzsHBSww2121)1(12121zzzz202011ww2sin2cos2sin2cos020202022tan12tan10202)cos(0BB202011
8、ww2tan2tan2tan2tan1)2tan2(tan2tan2tan112211221tantan1tantan)tan()()2/)(tan12/)(tan11212()()2/tan12/tan1DD00.10.20.30.40.5-40-30-20-100Normalized frequency p=0.1;s=0.4 ;Ap=1dB;As=10 dB;例例 用双线性变换及模拟巴特沃思滤波器设计一个满足下列条件的带通数字滤波器。0=0.5;p2=0.55，p1=0.45，Ap=3dB s2=0.6，s1=0.4，As=10dB解：取双线性变换的参数T=21)由w=tan(/2)获得
9、模拟带通滤波器的频率指标。wp2=1.1708,wp1=0.8541,ws2=1.3764,ws1=0.72652)确定变换式中的参数 B=wp2 wp1=0.3168 w0=sqrt(wp2 wp1)=1;3)由wwwwB202确 定 归 一 低 通 滤 波 器 的 阻 带 参 数0515.21sw0515.22sw0515.2sw取：4)确定归一化BW低通滤波器 由 N=buttord(1,ws,Ap,As,s)；得 N=2121)(20sssHL5)由变换获得模拟带通滤波器1448.01003.2448.01003.02342sssssBssssHsHLBPa2020,)()(w6)由双线性变换获得数字带通滤波器 b,a=bilinear(bBP,aBP,0.5)424264135.0561.11020083.0040167.0020083.0)(zzzzzHBP
