1、绪论l数字信号处理的对象是数字信号处理的对象是数字信号数字信号.l数字信号处理是采用数字信号处理是采用数值数值计算的方法完成计算的方法完成对信号的处理对信号的处理.数字信号处理的特点l灵活性灵活性 l高精度和高稳定性高精度和高稳定性l便于大规模集成便于大规模集成l可以实现模拟系统无法实现的诸多功能可以实现模拟系统无法实现的诸多功能第1章时域离散信号和时域离散系统l掌握常见时域离散信号的表示及运算。掌握常见时域离散信号的表示及运算。l掌握时域离散系统的线性、时不变性、因掌握时域离散系统的线性、时不变性、因果性及稳定性的含义及判别方法。果性及稳定性的含义及判别方法。l掌握采样定理。掌握采样定理。1
2、.1引言引言l信号的定义：信号的定义：载有信息的，随时间变化的物理量或载有信息的，随时间变化的物理量或物理现象。物理现象。l信号的分类：信号的分类：时域连续信号时域连续信号 模拟信号模拟信号 时域离散信号时域离散信号 数字信号数字信号l系统定义：系统定义：l系统分类：系统分类：时域连续系统时域连续系统模拟系统模拟系统时域离散系统时域离散系统数字系统数字系统单位阶跃信号单位阶跃信号的定义为的定义为00()10tu tt延时延时的单位阶跃信号的单位阶跃信号0000()1ttu tttt单位冲激信号的狄拉克单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义定义10(0)t dttt()()从下面三点来理解冲激信
3、号从下面三点来理解冲激信号00()()1t dtt dt(1)除了除了 之外取值处处为零；之外取值处处为零；()t 0t(2)在在 处为无穷大；处为无穷大；()t 0t(3)在包含在包含 出现的位置的任意区间范围内面积为出现的位置的任意区间范围内面积为 1。()t延时的单位冲激信号延时的单位冲激信号()1()0()tt dttttt000冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到l 脉冲信号是偶函数；脉冲信号是偶函数；l 脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小；脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小；l 脉冲高度逐渐变大，直至无穷大；脉冲高度逐渐变大，直至无穷
4、大；l 脉冲面积一直保持为脉冲面积一直保持为 1。（1）抽样性）抽样性()()d(0)f tttf()()(0)()f ttft（2）奇偶性）奇偶性()()tt（3）比例性）比例性 1()()atta （4）卷积性质）卷积性质()()()f ttf t 性质：性质：00 Sa()1limSa()1tttt即即，Sa()0,1,2,3ttnn，0sinsind,d2ttttttlimSa()0tttttsin)Sa(Sa()Sa()tt偶函数偶函数1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用冲
5、激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。()t说明说明:在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应看响应 ，不同，说明其系统特性不同，不同，说明其系统特性不同，冲激响应冲激响应可以衡量系统的特性。可以衡量系统的特性。()t()h t()h t称为称为 的卷积积分，简称卷积，记为的卷积积分，简称卷积，记为设有两个设有两个 函数函数 ，积分，积分12()()f tf t12()()()df tff t12()()f tf t主要利用卷积来求解系统的零状态响应。主要利用卷积来求解系统的零状态响应。)()()(21tftftf1.2时域
6、离散信号时域离散信号l离散时间信号（序列）只在离散时刻给出函数离散时间信号（序列）只在离散时刻给出函数值，是时间上不连续的序列。值，是时间上不连续的序列。l实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样等间隔采样便可以得到时域离散信号。假设模便可以得到时域离散信号。假设模拟信号为拟信号为xa(t)，以采样间隔，以采样间隔T对它进行等间隔对它进行等间隔采样，得到：采样，得到：nnTxtxnxnTt-)()()(aa注意：注意：n为整数为整数思考：序列的表示方法有哪些？思考：序列的表示方法有哪些？一、典型序列1 单位采样序列单位采样序列(n)0 00 1
7、)(nnnl单位采样序列的作用：单位采样序列的作用：表示任意序列表示任意序列mmnmxnx)()()(例例1.写出图示序列的表达式写出图示序列的表达式)3(5.1)2(2)1()(2)1()(nnnnnnx2、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n)0 00 1)(nnnu0)()()()()1()()(knmknnumnununun或的关系？与)()(nun3 矩形序列矩形序列RN(n)nNnnRN其它 010 1)(10)()1()2()1()()(NkNknNnnnnnR列的关系：矩形序列与单位阶跃序)()()(NnununRN关系：矩形序列与单位序列的4 实指数序列实指数序列为实数，anua
8、nxn)()(5 正弦序列正弦序列6 复指数序列复指数序列)sin(A)(nnxnnx)j(e)(7 周期序列周期序列定义：定义：如果对所有如果对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：使下面等式成立：则称序列则称序列x(n)为周期性序列，周期为为周期性序列，周期为N。nNnxnx),()(例2、求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(nnnnn80N16N5N非周期信号二、序列的运算二、序列的运算1 加法和乘法加法和乘法序列之间的加法和乘法，是指序列之间的加法和乘法，是指同一时同一时刻刻的序列值逐项对应相加
9、和相乘。的序列值逐项对应相加和相乘。2 移位移位移位序列移位序列x(nn0)，当，当n00时时,称为称为x(n)的的延时序列；当延时序列；当n0反转反转-平移平移-相乘相乘-求和求和（2）列表法）列表法（3）解析法）解析法mmnhmxnhnx)()()(*)(卷积和性质：卷积和性质：l代数运算性质（交换律、结合律、分配律）代数运算性质（交换律、结合律、分配律）l延迟性质延迟性质l典型信号的卷积典型信号的卷积)()(*)()()(*)(21221121mmnymnxmnxnynxnx则若nmmxnunxnxnnx)()(*)()()(*)()(*)(0203)(0302/)(6nhnxnnnhn
10、nnx求其他，其他、设例23,4,7,423,0)(*)(，答案：nhnx1.3时域离散系统时域离散系统)()(nxTny一、线性系统系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。设统称为线性系统。设x1(n)和和x2(n)分别作为系统的分别作为系统的输入序列，其输出分别用输入序列，其输出分别用y1(n)和和y2(n)表示，即表示，即)()()()(2211nxTnynxTny)()()()()()(112121naynaxTnynynxnxT齐次性：可加性：例例7、判断、判断y(n)=ax(n)+b(a和和b是常数）所代表系统的是常数）所代表
11、系统的线性性质。线性性质。故系统是非线性的。，则输出为设与所对应的输出分别为与解：设输入)()()()()()()()()()()()()(2211221133221132121nymnymbnxamnxambnaxnynxmnxmnxnynynxnx二、时不变系统如果系统对输入信号的运算关系如果系统对输入信号的运算关系T在整个运在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：为时不变系统，用公式表示如下：为整数）（000)()(
12、)()(nnnxTnnynxTny例例8、判断、判断y(n)=nx(n)代表的系统是否是时不变系统。代表的系统是否是时不变系统。故系统是时变系统。即而的输出，则是系统对输入解：设)()()()()()()()()()()(dddddddddddnnynynnxnnnnynnnxnnxnynnxnxny三、LTI系统输入与输出之间的关系单位脉冲响应单位脉冲响应LTI系统系统的输出的输出)()(|)()(nnxzsnynh)()()(nhnxny解释：LTI系统l系统的级联：l系统的并联：四、系统的因果性和稳定性l因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响应的因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响
13、应的系统，也称为系统，也称为不超前不超前响应系统。响应系统。lLTI系统系统具有因果性的充要条件：具有因果性的充要条件：l判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和充要条件，后者只对充要条件，后者只对LTI系统有效。系统有效。0,0)(nnhl稳定性：有界输入（指幅度有界）稳定性：有界输入（指幅度有界），有界输，有界输出出lLTI系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉冲响应绝对可和，即冲响应绝对可和，即nnh|)(|例例9、设、设LTI系统的单位系统脉冲响应系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式，式中中a
14、是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。时，系统不稳定。时，系统稳定；）稳定性（，因此系统是因果的。时，由于）因果性：解：（1|1|1|1|11|)(|:20)(010aaaaaanhnhnnnn1.4时域离散系统的输入输出描述时域离散系统的输入输出描述法法线性常系数差分方程线性常系数差分方程lN阶线性常系数差分方程表示：阶线性常系数差分方程表示：式中，式中，x(n)和和y(n)分别是系统的输入序分别是系统的输入序列和输出序列，列和输出序列，ai和和bj均为常数均为常数.1 )()(000ajnxbinyaMjjNii 线性常系数差分方程的求解l经典解法（实际中
15、很少采用）经典解法（实际中很少采用）l递推解法（方法简单，但只能得到数值解，递推解法（方法简单，但只能得到数值解，不易直接得到公式解）不易直接得到公式解）l变换域法（变换域法（Z域求解，方法简便有效）域求解，方法简便有效）递推解法例例10、设因果系统用差分方程、设因果系统用差分方程 y(n)=ay(n1)+x(n)描述，输入描述，输入x(n)=(n)若初始条件若初始条件y(-1)=0，求输出序列，求输出序列y(n)。及解：由初始条件0)1(y得差分方程)()1()(nxnaxny)()()(,)2()1()2(,2)1()0()1(11)0()1()0(,02nuanyanynnaayynaa
16、y，ynayynnn时时时时若初始条件改为若初始条件改为y(-1)=1，求，求y(n)()1()(1)1(nxnaxnyy方程，初始条件)()1()()1()(,)1()2()1()2(,2)1()1()0()1(,11)0()1()0(,02nuaanyaanynnaaayynaaayynaayynnn时时时时例例11、设差分方程如下，求输出序列、设差分方程如下，求输出序列y(n)。0,0)(),()()()1()(nnynnxnxnayny，)()()1(1nnyany解：0,)()1()1()2(,1)0()0()1(,00)1()1()0(,121111nanyayaynayaynya
17、ynn时时时非因果系统非因果系统结论结论l差分方程本身不能确定该系统是因果系统差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。限制。l一个线性常系数差分方程描述的系统不一一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关。态有关。课堂练习1、以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。)1(3.0)2()4(1nunn）（答案（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定。课堂练习)(*)()()3()(),2(2)1(3)(22121nxnxnx
18、nunuxnnnx，求、已知2,5,6,4,1)(nx答案：课堂练习3、判断题：、判断题：一个系统是因果系统的充要条件是，一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应单位序列响应h(n)是因果序列。是因果序列。答案：答案：错错课堂练习l4、将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示。31)()()3()3()2()2()1()1()()0()1()1()(kknkxnxnxnxnxnxnx5、判断下面的序列是否是周期的判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，若是周期的，确定确定其周期。其周期。是常数AnAnx 873cos)()81(je)(nnx(1)(2)解解：（1）因为=,所
19、以,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。（2）因为=,所以=16,这是无理数，因此是非周期序列。738123142课堂练习6、设线性时不变系统的单位脉冲响应设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和和输入输入x(n)分别有以下几种情况，分别有以下几种情况，分别求输出分别求输出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=(n)(n2)解：解：（1）1，2，3，4，4，3，2，1 （2）2，2，0，0，-2，-2课堂练习把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，把信号表示为不同频率正弦分量或复指数分量的加权和，简称信号的谱分析。简称
20、信号的谱分析。用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统的频域分析用频谱分析的观点来分析系统，或称为系统的频域分析。频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为：频域分析法在系统分析中极其重要，主要是因为：(1)频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；频域分析法易推广到复频域分析法，同时可以将两者统一起来；(2)利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许利用信号频谱的概念便于说明和分析信号失真、滤波、调制等许多实际问题，并可获得清晰的物理概念；多实际问题，并可获得清晰的物理概念；(3)连续时间系统的频域分析为离散时间系统的频域分析奠定坚实基连续时间系统的频域分析为离散时
21、间系统的频域分析奠定坚实基础。础。(4)简化了求解微分方程的过程简化了求解微分方程的过程周期信号周期信号 ，周期为，周期为 ，角频率，角频率f t()TTf22ntnnFtf0je)(该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。2,1,0,=,e)(122j-0ndttfTFTTtnn复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数其中其中式中式中 称为傅立叶系数，是复数。称为傅立叶系数，是复数。nF例：例：将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解：解：直接代入公式有直接代入公式有 2Sa=22sinde
22、1de)(100022j-22j-00 nTAnnTAtATttfTFtnTTtnn e)2Sa(e)(00j-=0jtnnntnnnTAFtf所以所以为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。在傅立叶分析中，把各个分量的幅度在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 随频率或角频率的变化称随频率或角频率的变化称为信号的幅度谱。为信号的幅度谱。Fn而把各个分量的相位而把各个分量的相位 随频率或角频率的变化称为信号的相位谱。随频率或角频率
23、的变化称为信号的相位谱。n幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱，指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。频谱图：频谱图：若把相位为零的分量的幅度看作正值，若把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为把相位为的分量的幅度看作负值，那的分量的幅度看作负值，那么幅度谱和相位谱可合二为一。么幅度谱和相位谱可合二为一。幅度谱幅度谱相位谱相位谱周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为周期矩形脉冲信号的傅立叶系数
24、为 2Sa0nTAFn对周期信号对周期信号，如果令，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的间隔才趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号重复出现，周期信号因此变为非周期信号.当当 T 增加时，基波频率变小、离增加时，基波频率变小、离散谱线变密，频谱幅度变小，但散谱线变密，频谱幅度变小，但频谱的形状保持不变。频谱的形状保持不变。在极限情况下，周期在极限情况下，周期T为无穷大，为无穷大，其谱线间隔与幅度将会趋于无穷其谱线间隔与幅度将会趋于无穷小。这样，原来由许多谱线组成小。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会联成的周期信号的离散频谱就会联
25、成一片，形成非周期信号的连续频一片，形成非周期信号的连续频谱谱。上两式称为傅立叶变换对，采用下列记号：上两式称为傅立叶变换对，采用下列记号：傅立叶正变换傅立叶正变换傅立叶反变换傅立叶反变换(三)傅立叶变换dtetfjFtj)()()(21)(dejFtftj)()(jFtf矩形脉冲信号矩形脉冲信号)2Sa()e-e(jjede)(2j-2j22j-22j-AAAtAjFtt)()()()(2121jFjFtftf时域卷积性质时域卷积性质若若 则则)()(,)()(2211jFtfjFtf若频域卷积性质频域卷积性质)()(21)()(2121jFjFtftfj1j()()()ed1()()()e
26、 d 2 js ts tF sf tf ttf tf tF ss L LL0j1j()()()ed1()()()e d2js ts tF sf tf ttf tf tF ss LL正变换正变换反变换反变换记作记作 ，称为原函数，称为原函数，称为象函数称为象函数()()f tF s()()f tF s 0 采用采用 系统，相应的单边拉氏变换为系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号考虑到实际信号都是有起因信号0lim()e0 ()ttf t 收敛域：使收敛域：使F(s)存在的存在的s 的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence
27、)实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；1.5模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法采样定理；采样定理；采样前的模拟信号和采样后得到的采样信采样前的模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系；号之间的频谱关系；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；如何由采样信号恢复成原来的模拟信号；实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信实际中如何将时域离散信号恢复成模拟信号。号。nTttxnx)()(什么是信号抽样为什么进行信号抽样(1)信号稳定性好信号稳定性好:数据用二进制表示，受外界影响小。数据用二进制表示，受外界影响小。(4)系统精度高系统精度高:可通过增加字长提高系统的精度。可通
28、过增加字长提高系统的精度。(5)系统灵活性强系统灵活性强:改变系统的系数使系统完成不同功能。改变系统的系数使系统完成不同功能。(2)信号可靠性高信号可靠性高:存储无损耗，传输抗干扰。存储无损耗，传输抗干扰。离散信号与系统的主要优点：离散信号与系统的主要优点：(3)信号处理简便信号处理简便:信号压缩，信号编码，信号加密等信号压缩，信号编码，信号加密等l对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关号通过一个电子开关S。实际抽样电子开关合上时间电子开关合上时间0，则形成理想采，则形成理想采样样)()()(TaatPtxtx理想抽样nnnTtnTxnTtt
29、xtPtxtx)()()()()()()(aaaannTttP)()(理想采样设设 对对 进行傅里叶变换，得到进行傅里叶变换，得到)(FT)j()(FT)j()(FT)j(aaaatpPtxXtxXkkTP)(2)j(s)(tp理想采样kkkkXTkXTkXTPXX)jj(1d)()j(1d)()j(221)j()j(21)j(sasasaaa采样信号的频谱是原采样信号的频谱是原模拟信号频谱以模拟信号频谱以s为周期，进行周期性为周期，进行周期性延拓而成的，且频谱延拓而成的，且频谱幅度为幅度为1/T。信号时域的离散化导致其频域的周期化信号时域的离散化导致其频域的周期化，则由于)()()(aatP
30、txtx采样信号频谱频谱混叠频谱混叠采样信号的恢复采样信号的恢复ss21|021|)j(TGcsaacsaaaa1aaaa2 )()(2 )()(g(t)*)()j(FT)()j()j()(FT)j(txtytxtytxYtyGXtyY采样信号的恢复低通滤波器低通滤波器G(j）的单位冲激响应）的单位冲激响应g(t)为：为：TtTtttTGtgtt/)/sin(2/)2/sin(de21de)j(21)(ss2/2/jjss采样信号的恢复 nnnnTnTtTnTtnTxnTtgnTxtgnTnTxtgnTnTxtgxtgtxty/)()/)(sin()()()(d)()()(d)()()(d)(
31、)()()()(aaaaaaa采样信号的恢复奈奎斯特采样定理l对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率采样频率s为周期为周期进行进行周期性延拓周期性延拓形成的。形成的。l设连续信号设连续信号xa(t)属属带限带限信号，最高截止频率为信号，最高截止频率为c，如果采样角频率，如果采样角频率s2c，那么让采样信号，那么让采样信号通过一个增益为通过一个增益为T、截止频率为截止频率为s/2的理想的理想低低通通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则否
32、则,s2c会造成采样信号的频谱混叠现象，会造成采样信号的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。不可能无失真地恢复原连续信号。抽样定理的工程应用许多实际工程信号不满足带限条件许多实际工程信号不满足带限条件)j(Hmm10 抗抗 混混低通滤波器低通滤波器)(tx)(1tx)(th与与比比较较抽样定理的工程应用重要公式naakaamTnTtTnTtnTxtxkXTXnnxnnnxnxnnxmnhmxnhnxny/)(/)(sin)()()jj(1)j()()(*)()()(*)()()()(*)()(s00：成模拟信号的插值公式时域离散信号理想恢复采样定理：卷积公式：课堂练习7、设设LTI系统
33、由下面差分方程描述：系统由下面差分方程描述：设系统是因果的，设系统是因果的，利用递推法求系统利用递推法求系统的单位脉冲响应。的单位脉冲响应。)1(21)()1(21)(nxnxnyny解解：令x(n)=(n),则)1(21)()1(21)(nnnhnhn=0时，1)1(21)0()1(21)0(hhn=1时，12121)0(21)1()0(21)1(hhn=2时，21)1(21)2(hhn=3时，221)2(21)3(hh所以)()1(21)(1nnunhnl8、数字信号是指、数字信号是指_的信号。的信号。时间幅度都离散的时间幅度都离散的)4(16)3(8)2(4)1(2)(nnnnn9、若用
34、单位序列及其移位加权和表示x(n)=_。其他0402)(nnxn10、序列、序列 是是周期序列的条件是周期序列的条件是_。)cos()(0nwAnx是有理数0/2wl11、序列序列2，3，2，1与序列与序列2，3，5，2，1相加为相加为_，相乘为，相乘为_。l4，6，7，3，1l4，9，10，2l12、判断正误 数字信号处理的主要对象是数字信数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。目的的。()对l13、判断正误 单位阶跃序列与矩形序列的关系是单位阶跃序列与矩形序列的关系是 错错)()()(nuNnunRNl14、判断正误、判断正
35、误 因果系统一定是稳定系统。因果系统一定是稳定系统。()错错l15、判断正误 如果系统对输入信号的运算关系在整个运如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。（）时不变系统。（）对l16、判断正误 所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。（）系统。（）对l17、判断正误 差分方程本身能确定该系统的因果和稳差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。定性。()错。错。差分方程本身不能确定该系统的因果和稳差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性，还需要用初始条件进行限制。定性，还需要用初始
36、条件进行限制。l18、判断正误 若连续信号属带限信号，最高截止频率为若连续信号属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率，如果采样角频率s2c，那么让，那么让采样信号通过一个增益为采样信号通过一个增益为T、截止频率为截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。复出原连续信号。()错错引言时域分析时域分析频域分析频域分析复频域分析复频域分析连续连续信号信号信号：连续变量时信号：连续变量时间的函数间的函数系统：微分方程系统：微分方程傅里叶变换傅里叶变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换离散离散信号信号信号：离散信号信号：离散信号（序列）（序列）系统：差分方程
37、系统：差分方程傅里叶变换傅里叶变换Z变换变换一、时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义 正变换：正变换：序列序列x(n)的傅里叶变换（离散时间的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换傅里叶变换DTFT）定义为：）定义为：序列的傅里叶变换存在的充分条件是序列序列的傅里叶变换存在的充分条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足绝对可和的条件，即nnnxnxXjje)()(FT)e(|()|nx n 一、时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义l反变换反变换 X(ej)的傅里叶反变换为：的傅里叶反变换为：性质：性质：傅里叶变换的周期性、线性性质傅里叶变换的周期性、线性性质
38、时移与频移性质、对称性时移与频移性质、对称性时域卷积定理、频域卷积定理时域卷积定理、频域卷积定理帕斯维尔定理帕斯维尔定理 de)e(21)e(IFT)(jjjnXXnx例例1、设、设x(n)=RN(n)，求，求x(n)的傅里叶变换。的傅里叶变换。当当N=4时，其幅度与相位随频率时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图所示：的变化曲线如图所示：)2/sin()2/sin(e )ee(e)ee(ee1e1 ee)()e(2/)1(j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjjNnRXNNNNNnNnnnN解：1、傅里叶变换的周期性、傅里叶变换的周期性l傅里叶分析规律：傅里叶分析规律：l则离散非周
39、期序列的傅里叶变换是：则离散非周期序列的傅里叶变换是：连续周期连续周期的。的。离散离散连续连续周期性周期性非周期性非周期性1、傅里叶变换的周期性、傅里叶变换的周期性是整数，M)e(e)(e)()e()2j()2j(-j-jMnnMnnXnxnxX傅里叶变换是频率傅里叶变换是频率的周期函数，周期是的周期函数，周期是2。说明：由于傅里叶变换的周期是说明：由于傅里叶变换的周期是2，一般只分析，一般只分析或或02的范围。的范围。1、傅里叶变换的周期性、傅里叶变换的周期性）函数。的连续、周期（周期它们都是表示相位谱，表示幅度谱，的复函数。它是的频谱密度（频谱），是序列2)e(arg)e()()e()e(
40、)e(jjj)e(argjjjXXnxXeXXXj2、线性性质是常数。其中则，若，babXaXnbxnaxnxXnxX,)e()e()()(FT)(FT)e(,)(FT)e(j2j1212j21j13、时移与频移性质，则若)(FT)e(jnxX时移性质：时移性质：00jj()FTe()(e)nx nX频移性质：频移性质：4、傅里叶变换的对称性l（1）共轭对称的定义）共轭对称的定义设序列设序列xe(n)满足：满足：则称则称xe(n)为共轭对称序列。为共轭对称序列。*ee()()x nxn4、傅里叶变换的对称性)(Im)(Im)(Re)(Re212)(Im)(Re)()(Im)(Re)(1)(Im
41、)(Re)(eeeeeeeeeeeeenxnxnxnxnxjnxnxnxjnxnxnxjnxnx）得：）（由式（）式（则）式（结论：共轭对称序列的实部是偶对称的，虚部结论：共轭对称序列的实部是偶对称的，虚部是奇对称的。是奇对称的。4、傅里叶变换的对称性l（2）共轭反对称定义）共轭反对称定义设序列设序列xo(n)满足：满足：则称则称xo(n)为共轭反对称序列。为共轭反对称序列。*oo()()x nxn 4、傅里叶变换的对称性)(Im)(Im)(Re)(Re212)(Im)(Re)(1)(Im)(Re)(oooooooooonxnxnxnxnxjnxnxnxjnxnx）得：）（由式（）式（则）式（
42、结论：共轭反对称序列的实部是奇对称的，虚结论：共轭反对称序列的实部是奇对称的，虚部是偶对称的。部是偶对称的。（3）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即之和表示，即 又又则则eo()()()x nx nx n)()(21)()()(21)(oenxnxnxnxnxnx4、傅里叶变换的对称性l同理同理)()(21)()()(21)(oejwjwjwjwjwjweXeXeXeXeXeX4、傅里叶变换的对称性（4）傅里叶变换的对称性质）傅里叶变换的对称性质将上式进行傅里叶变换，得到将上式进行傅里叶变换，得到:)(Im)(Re)(nxjnxnx由)()(
43、ImFT)()(ReFTjwojweeXnxjeXnx即存在对称性)()()(jwojwejweXeXeX4、傅里叶变换的对称性结论：结论：l序列分成实部与虚部两部分，序列分成实部与虚部两部分，l实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性；实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性；l虚部和虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。反对称性。4、傅里叶变换的对称性 将序列分成共轭对称部分将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反和共轭反对称部分对称部分xo(n)，即，即 x(n)=xe(n)+xo(n)则则)(Im)(FT)(Re)(FTjwojweeXjnxeXnx4、傅里叶变
44、换的对称性结论：结论：l序列序列x(n)的共轭对称部分的共轭对称部分xe(n)对应着对应着X(ej)的实部的实部ReX(ej)；l序列序列x(n)的共轭反对称部分的共轭反对称部分xo(n)对应着对应着X(ej)的虚部乘的虚部乘j，即，即jImX(ej)。4、傅里叶变换的对称性5、时域卷积定理 若若y(n)=x(n)*h(n),则则)e()e()e(jjjHXY6、频域卷积定理 若若y(n)=x(n)h(n),则则)e()e(21)e(jjjXHY7、帕斯维尔定理 定理表明：时域的总能量等于频域的总定理表明：时域的总能量等于频域的总能量。能量。dweXnxjwn22(21)(）2.3周期序列的离
45、散傅里叶级数及周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式傅里叶变换表示式l掌握周期序列的离散傅里叶级数掌握周期序列的离散傅里叶级数l掌握周期序列的傅里叶变换掌握周期序列的傅里叶变换一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数 e)()(DFS)(102jNnknNnxnxkX e)(1)(IDFS)(1-N02jkknNkXNkXnx设设 是以是以N为周期的周期序列，其为周期的周期序列，其离散傅里叶级数的系数是离散傅里叶级数的系数是 则则()x n)(kX例例2、设、设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期为周期进行周期延拓，得到周期序列，周期进行周期延拓，得到周期序
46、列，周期为为8，求，求DFS()x n()x n一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数)8/sin()2/sin(e )ee(e)ee(ee1e1 e)()(83j8j8j8j2j2j2j4jj7082jkknxkXkkkkkkkkknkn解：l幅度特性()X k一、周期序列的离散傅里叶级数一、周期序列的离散傅里叶级数各种傅里叶变换的定义及特点类别类别时域特时域特点点频域特频域特点点公式公式连续傅连续傅里叶级里叶级数数连续连续周期周期离散离散非周期非周期连续时连续时间傅里间傅里叶变换叶变换连续连续非周期非周期连续连续非周
47、期非周期 )(T1FF(t)00nnTtjnntjndtetfef )(21)()()(dejFtfdtetfjFtjtj各种傅里叶变换的定义及特点类别类别时域特时域特点点频域特频域特点点公式公式离散傅离散傅里叶级里叶级数数离散离散周期周期离散离散周期周期离散时离散时间傅里间傅里叶变换叶变换离散离散非周期非周期连续连续周期周期 e)()(102jNnknNnxkX e)(1)(1-N02jkknNkXNnxnnnxXjje)()e(de)e(21)(jjnXnx二、周期序列的傅里叶变换l因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此它的的FT并不存在，但由于是周
48、期性的，可以展并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数成离散傅里叶级数，引入奇异函数(W)，其，其FT可以用公式表示出来。可以用公式表示出来。l（知识回顾）连续信号的傅里叶变换对（知识回顾）连续信号的傅里叶变换对l离散信号中存在傅里叶变换对离散信号中存在傅里叶变换对)-(2 e)210j0t（rnnrjnjrree)2-(2 e,0j)2(000取整数周期序列的傅里叶变换rnr)2-(2 e0j0周期序列的傅里叶变换rnr)2-(2 e0j0因而得证：nnnrnrXnx0jj0j0jjede)-(221de )2-(221de)e(21)(knNkknNkXNkXNnx
49、2j1-N02je)(1 k e)(1)(个谐波分量为第由rknNrkNkXNkXNFT)22-()(2e)(12j则，二、周期序列的傅里叶变换rknNrkNkXNkXNFT)22-()(2e)(12j则，的傅里叶变换为因此)(nx e)(1)()(1-N02jkknNjkXNFTnxFTeX10)22-()(2NkrrkNkXNkkNkXN)2-()(2二、周期序列的傅里叶变换 e)()(102jNnknNnxkX其中kjkNkXNeX)2-()(2)(二、周期序列的傅里叶变换二、周期序列的傅里叶变换例例3、设、设x(n)=R4(n)，将，将x(n)以以N=8为周期为周期进行周期延拓，得到周
50、期序列，周期进行周期延拓，得到周期序列，周期为为8，求，求FT()x n()x n解：已知解：已知得：得：l其幅度频谱为：l对比例2二、周期序列的傅里叶变换)(FT2),cos()(400nxwnwnx为有理数，求且、令例rnjwrnjwrere)2(2FT)2-(2FT000021)cos()(000njwnjweenwnx解：)2()2-(n)FT00rrxr二、周期序列的傅里叶变换课堂练习)()(|,0|,1)e(100jnxeXXjw的傅里叶反变换求、已知nnnxnsinde21)(0j00解：2、序列、序列 的傅里叶变换的傅里叶变换为为_。)2()(nnx2je3 设系统的单位脉冲响
