1、 第第 21 讲讲 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 第第 1 课时课时 矩形矩形 知识点 1 矩形的定义及性质 1如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是(D) AABC90 BACBD COAOB DOAAD 第 1 题图 第 2 题图 2如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O，若AOD120，AB6，则 AC 等于(C) A8 B10 C12 D18 3如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若 ABAO，求ABD 的度数 解：四边形 ABCD 为矩形， AOBO. 又ABAO，ABAOBO. ABO 为等边三角形 ABD60.
2、 知识点 2 矩形的判定 4如图，在ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DEAD，连接 EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如： CDBE，使四边形 DBCE 是矩形 5如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OAOB.求证：四边形 ABCD 是矩形 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD. OAOB， OAOBODOC. BDAC. 四边形 ABCD 是矩形 重难点 矩形的性质与判定 如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，延长 BC 至点 F，使 CFBE，连接 AF，DE，DF. (1)求证：四边形 AEFD 是矩形； (2)若 A
3、B6，DE8，BF10，求 AE 的长 【思路点拨】 (1)先证明四边形 AEFD 是平行四边形，再证明AEF90即可；(2)利用勾股定理逆定理证明 ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出 AE 的长 【自主解答】 (1)证明：CFBE， CFECBEEC，即 EFBC. 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC 且 ADBC. ADEF 且 ADEF. 四边形 AEFD 是平行四边形 AEBC，AEF90. 四边形 AEFD 是矩形 (2)四边形 AEFD 是矩形，DE8，AFDE8. AB6，BF10，AB2AF26282100BF2.BAF90. AEBF， SABF1 2AB
4、AF 1 2BF AE. AEAB AF BF 68 10 24 5 . 【变式训练】 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCADC90，对角线 AC，BD 交于点 O， DE 平分ADC 交 BC 于点 E，连接 OE. (1)求证：四边形 ABCD 是矩形； (2)若 AB2，求OEC 的面积 解：(1)证明：ADBC， ABCBAD180. ABC90，BAD90. BADABCADC90. 四边形 ABCD 是矩形 (2)作 OFBC 于 F. 四边形 ABCD 是矩形， CDAB2，BCD90，AOCO，BODO，ACBD. AOBOCODO. BFFC.OF 为BCD 的中
5、位线OF1 2CD1. DE 平分ADC，ADC90，EDC45. ECCD2， SOEC1 2EC OF1., 方法指导 1判定矩形的基本思路： (1)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角； (2)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形； (3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等 2应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用 勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关 系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角
6、形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个 结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系. 1(2017 兰州)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ADB30，AB4，则 OC(B) A5 B4 C3.5 D3 第 1 题图 第 2 题图 2(2017 山西)如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到BCD，CD 与 AB 交于点 E.若135，则2 的 度数为(A) A20 B30 C35 D55 3如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3，BC5，点 E 在 AD 上，且 BE 平分AEC，则ABE 的面积为(D) A2.4 B2 C1.8 D1.5 第 3
7、题图 第 4 题图 4如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AO，AD 的中点，若 AB6 cm，BC 8 cm，则 EF2.5cm. 5 如图， 为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、 下边都垂直， 工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC， BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理对角线相等的平行四 边形是矩形 6(2016黑龙江)如图，在ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DEAD，连接 EB，EC，DB.请你添加一个条件答案 不唯一，如：EBDC 等，使四边形 DBCE 是矩形 7已知
8、，如图，在ABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点，DE，DF 分别是ADC，BDC 的角平分线求 证：四边形 DECF 是矩形 证明：ACB90，D 是 AB 的中点， ADCDBD. DE，DF 分别是ADC，BDC 的角平分线， DEAC，DFBC. DECACBCFD90. 四边形 DECF 是矩形 8(2017 荆州)如图，在矩形 ABCD 中，连接对角线 AC，BD，将ABC 沿 BC 方向平移，使点 B 移到点 C，得到 DCE. (1)求证：ACDEDC； (2)请探究BDE 的形状，并说明理由 解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， ABDC，ACBD，ADBC，AD
9、CABC90. 由平移的性质得：DEAC，CEBC，DCEABC90，DCAB， ADEC. 在ACD 和EDC 中， ADEC， ADCECD， CDDC， ACDEDC(SAS) (2)BDE 是等腰三角形理由如下： ACBD，DEAC， BDDE，即BDE 是等腰三角形 9(2017 日照)如图，已知 BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为 E. (1)求证：DCAEAC； (2)只需添加一个条件，即 ADBC(答案不唯一)，可使四边形 ABCD 为矩形请加以证明 证明：(1)在DCA 和EAC 中， DCEA， ADCE， ACCA， DCAEAC(SSS) (2)ABDC，ADBC
10、， 四边形 ABCD 是平行四边形 CEAE，E90. DCAEAC， DE90. 四边形 ABCD 为矩形 10 如图， 矩形 ACBE 中， AC12， BC5， 点 M 在边 AB 上， 且 AM6， 动点 D 在矩形边上运动一周， 能使ADM 是以AMD 为顶角的等腰三角形共有(B) A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 提示：如图，作 MGBC 于 G，MHAC 于 H，延长 HM 交 BE 于 F.由题意可知，MG6，HMAM，FM AM，MCAM，BMAM，MEAM，由此可知，以 M 为圆心 AM 为半径的圆与矩形的边有 5 个交点，除了 点 A，其余的 4 个点，与点 A，M
11、 组成的三角形是等腰三角形 11如图，在ABC，ABAC，点 D 为 BC 的中点，AE 是BAC 外角的平分线，DEAB 交 AE 于 E，则四边 形 ADCE 的形状是矩形 第 11 题图 第 12 题图 12(2017 徐州)如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQAD，连接 DQ 并延长，与 边 BC 交于点 P，则线段 AP 17 13(2017 江西)已知点 A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接 AC，BC 得到矩形 AOBC，点 D 在边 AC 上，将边 OA 沿 OD 折叠，点 A 的对应点为 A，若点 A到矩形较长两对边的距离之
12、比为 13，则点 A的坐标为( 7，3)、( 15， 1)或(2 3，2) 提示：A到矩形较长两边比为 13，A可落在直线 y3，直线 y1，直线 y2 上且 OA4，由勾股 定理算得 A的坐标为( 7，3)，( 15，1)，(2 3，2) 14如图，在ABCD 中，点 P 是 AB 边上一点(不与 A，B 重合)，CPCD，过点 P 作 PQCP，交 AD 边于点 Q， 连接 CQ. (1)若BPCAQP，求证：四边形 ABCD 是矩形； (2)在(1)的条件下，当 AP2，AD6 时，求 AQ 的长 解：(1)证明：BPQBPCCPQAAQP， 又BPCAQP， CPQA. PQCP，ACPQ90. 又四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形 (2)四边形 ABCD 是矩形， DCPQ90. 在 RtCDQ 和 RtCPQ 中， CQCQ， CDCP， RtCDQRtCPQ(HL) DQPQ. 设 AQx，则 DQPQ6x. 在 RtAPQ 中，AQ2AP2PQ2， x222(6x)2，解得 x8 3. AQ 的长是8 3.
