1、 滚动小专题滚动小专题(七七) 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用 类型 1 仰角、俯角问题 1(2017 宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点 A 处测得正前方小岛 C 的俯角为 30，面向 小岛方向继续飞行 10 km 到达 B 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为 45，如果小岛高度忽略不计， 求飞机飞行的高度(结果保留根号) 解：过点 C 作 CDAB 于点 D， 设 CDx， CBD45， BDCDx. 在 RtACD 中，tanCADCD AD， AD CD tanCAD x tan30 x 3 3 3x， 由 ADBDAB 可得 3xx10，
2、解得 x5 35. 答：飞机飞行的高度为(5 35) km. 2 (2017 鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度， 他从食堂楼底 M 处出发， 向前走 3 米到达 A 处， 测得树顶端 E 的仰角为 30，他又继续走下台阶到达 C 处，测得树的顶端 E 的仰角是 60，再继续向前走到大树 底 D 处，测得食堂楼顶 N 的仰角为 45.已知 A 点离地面的高度 AB2 米，BCA30，且 B，C，D 三点在同 一直线上 (1)求树 DE 的高度； (2)求食堂 MN 的高度 解：(1)设 DEx， ABDF2， EFDEDFx2. EAF30， AF EF tanEAF 3(x2
3、) 又CD DE tanDCE 3 3 x， BC AB tanACB2 3， BDBCCD2 3 3 3 x. 由 AFBD 可得 3(x2)2 3 3 3 x， 解得 x6. 树 DE 的高度为 6 米 (2)延长 NM 交 DB 延长线于点 P，则 AMBP3， 由(1)知 CD 3 3 x 3 3 62 3，BC2 3， PDBPBCCD32 32 334 3. NDP45，且 MPAB2， NPPD34 3. NMNPMP34 3214 3. 食堂 MN 的高度为(14 3)米 类型 2 方向角问题 3(2017 十堰)如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由
4、西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行 12 海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上如果渔船不改变航线继续 向东航行，有没有触礁的危险？ 解：过 A 作 ACBD 于 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离， CAD30，CAB60， BAD603030 ，ABD906030. ABDBAD. BDAD12 海里 CAD30，ACD90， CD1 2AD6 海里 由勾股定理，得 AC 122626 310.3928， 渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险 4(2017 天津)如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 64方向，距离灯塔 120 海
5、里的 A 处，它沿正南方向航行一段 时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，求 BP 和 BA 的长(结果取整数) (参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05， 2取 1.414) 解：作 PCAB 于 C. 由题意A64，B45，PA120， 在 RtAPC 中，sinAPC PA，cosA AC PA， PCPA sinA120 sin64， ACPA cosA120 cos64. 在 RtPCB 中，B45， PCBC. PB PC sin45 1200.90 2 2 153. ABACBC120 cos64120 sin641200.441
6、200.90161. 答：BP 的长为 153 海里，BA 的长为 161 海里 类型 3 坡角、坡度(比)问题 5(2017 黔东南)如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD 的长为 12 米，坡角 为 60，根据有关部门 的规定，39时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡 CD 进行改造，在保持坡脚 C 不 动的情况下，学校至少要把坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39 0.63，cos390.78，tan390.81， 21.41， 31.73， 52.24) 解：假设点 D 移到点 D的位置时，恰好39，过点
7、D 作 DEAC 于点 E，过点 D作 DEAC 于点 E， CD12 米，DCE60， DECD sin6012 3 2 6 3(米)， CECD cos60121 26(米) DEAC，DEAC，DDCE， 四边形 DEED是矩形 DEDE6 3米 DCE39， CE DE tan39 6 3 0.8112.8(米) EECECE12.866.87(米) 答：学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 7 米才能保证教学楼的安全 类型 4 与实际生活相关的问题 6(2017 呼和浩特)如图，地面上小山的两侧有 A，B 两地，为了测量 A，B 两地的距离，让一热气球从小山西 侧 A 地出发沿与 AB
8、 成 30角的方向，以每分钟 40 m 的速度直线飞行，10 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测 得 CB 与 AB 成 70角，请你用测得的数据求 A，B 两地的距离 AB 长(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示 即可) 解：过点 C 作 CMAB 交 AB 延长线于点 M， 由题意，得 AC4010400(米) 在 RtACM 中， A30， CM1 2AC200 米，AM 3 2 AC200 3米 在 RtBCM 中，tan20BM CM， BM200tan20. ABAMBM200 3200tan20200( 3tan20) 因此 A，B 两地的距离 AB 长为 200( 3ta
9、n20)米 7(2017 常德)如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座 BC0.60 米，底座 BC 与支架 AC 所成的 角ACB75，支架 AF 的长为 2.50 米，篮板顶端 F 点到篮框 D 的距离 FD1.35 米，篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角FHE60，求篮框 D 到地面的距离(精确到 0.01 米) (参考数据：cos750.258 8，sin750.965 9，tan753.732， 31.732， 21.414) 图 1 图 2 解：延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过 A 作 AGFM 于 G， 在 RtABC 中，tanACBAB BC， ABBC tan750.603.7322.239 2. GMAB2.239 2. 在 RtAGF 中， FAGFHE60，sinFAGFG AF， sin60 FG 2.50 3 2 .FG2.165. DMFGGMDF3.05(米) 答：篮框 D 到地面的距离是 3.05 米
