1、第六讲 比和比例的应用 例1：三堆煤共重1620吨，已知甲堆煤比乙堆煤多，而乙堆煤的与丙堆煤的恰好相等，求甲、乙、丙三堆煤各重多少吨？解题关键：由于题目中涉及三种量的关系，但没有哪堆的重量知道，且关系比较复杂，分析起来有一定的难度。但如果利用“甲堆煤比乙堆煤多”找出甲与乙的比，利用“乙堆煤的与丙堆煤的恰好相等”找出乙与丙的比，那么问题就容易解决了。由题意可知：甲：乙=7:6，由此可得：甲：乙：丙=35:30:16，。巩固练习11. 甲数比乙数多，乙数比丙少，则甲、乙、丙三个数的比是 。2. 果园里有桃树和李树共184棵，已知桃树棵树的等于李树棵树的，那么，桃树和李树相差 棵。3. 三人合买一台
2、电脑，甲所付钱的恰好为乙所付钱的，又恰好是丙所付钱的，已知丙比甲少出了600元，这台电脑的价是 元。 例2：A、B两种商品的价格的比是4:3。如果A商品的价格上涨25元，B商品的价格降低30元，则它们的价格比是7:4，这两种商品原来的价格各是多少元？解题关键：题中A、B两种商品的价格都不知道，又都在发生变化，且前后两个比又无法进行统一和对比，而如果将比转化成分数，又会给计算带来一定的难度。可以利用比例的意义来选择用方程来解决，利用前一个比设未知数，利用后一个比列出比例建立方程，问题可解。巩固练习21. 甲、乙两个车间人数的比是5:4，如果甲车间调50人，乙车间调进40人，则两个车间人数之比变为
3、5:7，两个车间共有 人。2. 小敏看一本书，已看页数与未看页数的比是3:4，如果再看44页，则已看页数与未看页数的比是5:3，这本书有 页。3. 奥数班有A、B两个班，A班人数是B班的，如果从B班调3人到A班，则A班人数就是B班的，A、B两班原来分别 、 人。例3：甲车从A到B要15小时，乙车从B到A要20小时，现两车同时开出，结果在离中点15千米处相遇。A、B两地的距离是多少千米？解题关键：表面看来，这是一道简单的相遇问题，但由于题目中没有具有的速度和路程，要求出两地的距离显然就困难了。如果能根据“甲车从A到B要15小时，乙车从B到A要20小时”，找出甲、乙的时间比，并将其转化为速度比；根
4、据“两车同时出发并相遇”，再将速度比转化为路程比，问题就好解决了。由题意可知：时间比：甲：乙=3:4，则速度比：甲：乙=4:3，那么，两车相遇时所行路程比：甲：乙=4:3，巩固练习31. 某人骑车上、下班，下班速度比上班的速度慢，因此下班比上班多用6分钟，求他骑车上班需 分钟。2. 客车从甲到乙要120分钟，货车从甲到乙到150分钟，现两车同时出发，相遇时客车比货车多行10千米，则甲、乙两地相距 千米。3. 有一架飞机，最多可以在空中飞行9小时，去时逆风每小时行800千米，返回时顺风每小时行1000千米，那么飞机最多能飞 千米的路程就必须返回。例4：猎狗发现前方20米处有一只奔跑的野兔，立即追
5、赶上去，猎狗步子大，它跑5步的路程，野兔要跑9步，但野兔动作快，猎狗跑3步的时间，野兔却能跑5步，猎狗跑出多少米能追上野兔？解题关键：显然此题实际是一道追及问题，但其难度是猎狗和野兔的速度受两种因素的影响，即步子的大小和每步所花的时间，而题目中只有其关系，没有具体的数量，所以难以找到两种动物的速度。我们可通过其关系找出步子大小的比和每步时间比，再根据速度的意义找出它们的速度比，此题可解。每步长度的比：每步时间的比：则速度比为：追及时间为： ； 猎狗所跑距离为：巩固练习41. 猎狗发现前方30米处有一只奔跑的野兔，立即追赶上去，猎狗步子大，它跑4步的路程，野兔要跑9步，但野兔动作快，猎狗跑2步的
6、时间，野兔却能跑4步，猎狗跑出多少米能追上野兔？2. 主人追他的小狗，小狗跑3步的时间主人跑2步，但主人的1步是小狗的2步。小狗跑10步后，主人开始追，主人追上小狗时，小狗一共跑了多少步？3. 一只野兔逃出80米后猎狗开始追它，野兔跑8步的路程，猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的时间，野兔要跑9步，那么猎狗至少要跑多少米才能追上野兔？例5：师徒二人共同加工一批零件，在加工过程中，两人的效率不变。当徒弟完成自己任务的时，师傅已完成自己任务的还多10个；当徒弟完成自己任务的时，师傅已完成自己任务的一半又80个。这批零件共有多少个？解题关键：此题关键是抓住题目中所说的“两人效率不变”，据此可知，两种情况下
7、师傅所加工的个数比与徒弟多加工的个数比应该是相等的。显然可求出两种情况下徒弟多加工零件数量之比为，则师傅加工的个数比也为1:3，此题可解。解：设师徒两人各要加工个零件。解得=200巩固练习51. 甲乙两人各自打印一份同样的稿件，打印过程中两人工作效率不变，当甲已打印页数与未打印页数之比是3:2时，乙已打印了360页；当乙打印完稿件时，甲还有任务未完成。这份稿件有 页。2. 甲乙两车同时从A地出发到B地。当甲车行了全程的时，乙车离B地还有99千米；当甲车到达B地时，乙车还有的路没有走完。AB两地相距 千米。3. 师徒两人加工数量相同的零件，在加工过程中，两人的效率不变。当徒弟完成自己任务的时，师
8、傅已完成自己任务的还多18个；当徒弟完成剩下零件的时，师傅还剩下90个未加工。两人加工的零件共有 个。例6:一辆汽车从甲地送货到乙地，如果把车速减少10%，那么要比原定时间推迟1小时到达；如果以原来的速度行驶210千米后，再把速度提高25%，那么可比原定时间提前45分钟到达。求甲乙两地相距多少千米？解题关键：此题中的数量关系比价复杂，没有具体的速度和时间，且都有两种情况的变化，即使用方程来解，理清数量关系列出方程也有一定的难度。如果将其拆为两道题，利用“车速减少10%”和“速度提高25%”分别找出计划与实际的速度比，并根据路程不变转化成时间比就容易理清关系了。 1.计划速度与实际速度的比是10
9、:9，则计划时间与实际时间的比是9:10，“推迟1小时”的对应份数为（10-9）份，则可求出计划时间为 2.计划速度与实际速度的比是4：5，则计划时间与实际时间的比是5:4，“推迟45分钟”的对应份数为（5-4）份，则可求出计划时间为；那么按原来的速度行驶210千米所需的时间为，可求出计划速度 3.甲乙两地的距离为巩固练习61. 一辆汽车从甲地开往乙地，若把车速提高20%，可比原定的时间提前1小时到达；若以原速行驶160千米后，再把速度提高25%，可提前40分钟到达，那么，甲乙相距 千米。2. 一汽车从甲地去乙地，若速度降低20%，则推迟1小时到达；若按原速行驶110千米后再把速度提高30%，
10、则可提前半小时到达，那么，甲乙相距 千米。3. 王师傅加工一批零件，加工480个后，工作效率提高20%，结果提前2天完成了任务。如果王师傅从一开始就效率提高12.5%，也可以提前2天完成任务。这批零件有 例7：甲、乙两车同时从A,B两地相对开出，两车相遇后，继续前进，甲车再行3.2小时到达B地，乙车再行5小时到达A地。已知甲车每小时比乙车多行20千米，AB两地相距多少千米？解题关键：如果设两车相遇时间为x小时，则可根据“甲车行x小时的路程，乙车要行5小时；而乙车行x小时的路程，甲车要行3.2小时”建立比例列出方程，此题可解。解：设甲、乙两车x小时相遇。，解得x=4则甲、乙时间比为4：5，速度比
11、为5：4，甲的速度为：，全程为：答：AB两地相距720千米。巩固练习71、 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，两车相遇后，继续前进，甲车再行小时到达B地，乙车再行小时到达A地，行完全程，甲要 小时，乙要 小时。2、 甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，相遇后继续前进，甲车再6.75小时到达B地，乙车再行小时到达A地。已知甲车每小时比乙车少行15千米，则A、B两地相距 千米。3、 小张和小王同时从甲、乙两地出发,相向而行，继续前进，小张再行32分钟到达乙地，小王再行50分钟到达甲地。已知小张的速度比小王快10米/分，则甲乙两地相距 米。综合练习六1、 甲数比乙数少，甲数的与丙数的相等，则甲、乙
12、、丙三数的比是多少？2、 甲数的与乙数的与丙数的正好都相等，则甲、乙、丙三数的比是 。3、 铅笔与钢笔的单价比是4：9，所买数量的比为6：5，那么应付钱数的比是 。4、 小乐与小天走路的速度比为4：3，两人行走时间的比是5：4，则两个所行路程的比是 .。5、 王师傅与张师傅每天加工零件的个数比为5：6，需要加工的零件数量比8：9，则两个所花的时间比为 。6、 某校男生比女生多240人，男生人数的与女生人数的相等，这个学校共有 人。7、 有甲、乙两个两位数，甲数的与乙数的，那么甲、乙两个数的差最大是 。8、 有甲、乙两个两位数，甲数的与乙数的相等，甲乙两数的和最小是 。9、 甲、乙是两个两位数，
13、甲数的与乙数的相等，甲乙两数的和最小是 。10、 某校四、五、六年级学生一共要栽树450棵，已知四年级已经载完自己任务的，五年级已经载完自己任务的，六年级已经载完自己任务的，并且他们已经栽的棵树同样多，那么一共还剩下 棵没有栽。11、 淘气和笑笑花同样多的钱各花了一支钢笔，淘气用了自己钱的，笑笑用了自己钱的，结果淘气剩下的钱比笑笑剩下的钱多8元，钢笔的价格是 元。12、 师徒两人各准备加工一批零件，当师傅完成加工零件数的，徒弟完成加工零件数的时，发现两人所剩下的零件数量恰好相等，已知师傅准备加工的零件比徒弟多12个，师傅原来准备加工 个零件。13、 有甲、乙两桶油共重114千克，如果从甲桶中取
14、出4千克倒入乙桶后，则甲桶油的等于乙桶油的，原来甲桶有油 千克，乙桶有油 千克。14、 甲、乙两袋大米各重若干千克，甲袋比乙袋多15千克，从两袋中各用去7千克后，甲袋的与乙袋的正好相等，原来两袋共重 千克。15、 小白、小红、小青三人共有158元，小白用了自己钱数的，小红用了自己钱数的，小青用了自己钱数的，各买了一本书，那么小白和小青两人共剩下 元。16、 长、正方形两张纸放在桌面了，且重叠部分占正方形的，占长方形的，已知两张纸盖住桌面的总面积为240平方厘米，那么长方形纸片的面积为 平方厘米。 17、右图是某市的园林规划图，其中草地站正方形面积的，竹林占圆形面积的，已知竹林的面积比草地的面积
15、大450平方米，水池的面积是 平方米。18、 一个长方形的周长是72厘米，如果它的宽增加，长减少，周长仍然和原来一样多，那么这个长方形的面积是 平方厘米。19、 老王体重的等于小李体重的，老王体重的比小李的体重的轻1.5千克。求老王的体重是 千克，小李的体重是 千克。20、 有两筐梨，甲筐比乙筐少27个，如果再从甲筐里拿出6个放到乙筐，则甲、乙两筐共有 个梨。21、 修路队修一条路，已修与未修的比是1：4，若再修400米，则已修与全长的比是7：15,这条路长 米。22、 甲、乙两建筑队原有水泥的水泥的重量比是5：3，当甲队给乙队44吨水泥后，甲、乙两队的水泥重量比是3：4，原来甲队有水泥 吨。
16、23、 兄弟俩，每月收入钱的比是4：3，支出钱数的比是18：13，全月他们两人都结余360元，则兄弟俩每月的收入分别是 元和 元。24、 一把直尺售价3元，如果小明买了这把直尺，小明和小强的钱数的比是2：7；如果小强买了这把直尺，两人钱数的比是5：13，小强原有 42元钱。25、 有两只油桶装了同样多的钱，第一桶用去，第二桶用去40%以后，再从第一桶取出8千克油倒入第二桶，这时第二桶的油与第一桶的比是13：14，两只油桶原来共装油 千克。26、 数学奥林匹克学校某次入学考试，参加的男生与女生人数的比是4：3，结果录取91人，其中男生与女生人数的比是8：5，在未录取的学生中，男生与女生的人数之比
17、是3：4，那么报考的人数一共有 人。27、 为使某项工程提前15天完成任务，需将原定工作效率提高20%，则原计划完成这项工程需要 天。28、 乐乐从甲地去乙地，如果他每小时比原来多行8千米，那么到达乙地的时间就比原来提前。乐乐计划每小时行 千米。29、 客货两车同时从甲，乙两地相向而行，相遇时客车比货车少行32千米，已知客车速度的等于火车速度的，甲、乙相距 千米。30、 王师傅去送货，去时重车每小时行40千米，原路返回时空车每小时行60千米，来回共用8小时，则王师傅的送货距离是 192千米。31、 猎狗发现离它10米远的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追过去，兔跑9步的路程狗只需跑5步即可追上，
18、但狗跑2步的时间兔却能跑3步。那么猎狗追上兔时共跑了 米。32、 狗跑五步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出了550米，马才开始追它，则马跑 米可以追上狗。33、 兔子发现距离它10米处有只狐狸，于是兔子开始逃跑，狐狸在后面追。狐狸每跑一步是米，兔子每跑一步是米，狐狸跑5步的时间，兔子跑8步。当狐狸离兔子还差1米远时，狐狸掉进了1个陷进里。狐狸追兔子时离陷进 米。34、 小红和小明做同样多的寒假作业，当小红做完时，小明还剩下97道没有做；当小红完成剩下的时，小明还剩下全部作业的没有做完。老师布置的寒假作业有 道。35、师徒两人加工同样数目的零件，当师傅完成他的时，徒弟
19、还剩下108个；当师傅再完成余下的时，徒弟还有37.5%没做。照这样计算，当师徒都完成任务时，他们一共加工 个零件。36. 刘师傅加工一批零件，如果每天的效率提高，就可以比预定时间提前8天完成；如果先计划加工180个后，再将每天的效率提高，则可比预定时间提前11天完成。这批零件共有 个。37. 汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢10千米，到达时间将比预定预定的多20%；如果速度比预定的提高，则可提前1小时到达。AB之间路程长 千米。38. 一辆汽车从甲地到乙地，如果速度比预定的每小时快15千米，将可节省的时间；如果速度比预定的减少，将比预定的到达时间推迟1.2小时。甲乙之间的路程是 千
20、米。39. 邮递员从甲地到乙地，原计划用5.5小时。由于雨水的冲刷，途中有3.6千米的道路出现泥泞。走这段路时速度只有原来的，因此比原计划晚到了12分钟。从甲地到乙地的路程时 千米。40. 李师傅计划20天加工一批零件，当还剩120个零件时，机器出故障，效率比原来降低了，结果比原来推迟3天完成任务。这批零件有 个。41. 大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走1.5小时，小轿车出发4小时后追上了大货车。如果小轿车每小时多行5千米，出发后3小时就追上了大货车，则小轿车实际每小时行 千米。42. 甲乙两人分别从A、B两地同时相向而行，二人相遇后继续前进，甲经过4小时到达B地，经过乙
21、经过6小时到达A地，已知甲每小时比乙多行20千米，求AB两地相距 千米。43. 甲、乙、丙三数，已知甲数与乙数的比是6：7，乙数与丙数的比是14：15，甲、乙、丙三数的最大公约数与最小公倍数的和是2526，那么甲、乙、丙三个数的和是 。44. 小王走的路程比小李多，小李用的时间比小王多，则小王与小李速度的比是 。45. 甲乙两车从相距190千米的两地相对开出，在途中相遇。已知甲乙两车速度的比是4:3，相遇时，所用时间的比是5:6，那么相遇时，甲车行了 千米。46. 小佳上学要走10分钟，小微上学要走14分钟，而小佳家与学校的距离比小微家与学校的距离多，已知小佳每分钟比小微要多走17米，小佳家与
22、学校的距离为 米。47. 张师傅骑车上班要走20分钟，王师傅骑车上班要走28分钟，而王师傅家与工厂的距离比张师傅家与工厂的距离少，已知张师傅每分钟比王师傅多走80米，则张师傅家与工厂的距离为 。48. 小亮到外婆家要翻过一座山，他上山时每分钟走20米，下山时每分钟走30米。到外婆家去用了24分钟，从外婆家返回用了21分钟。小亮家到外婆家的山路有 米。49. 某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走。去用了6.5小时，返回时用了7.5小时。已知走上坡时每小时5千米，走下坡时每小时6千米。甲、乙两地的公路长 千米。50. 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡
23、时每小时行驶30千米，下坡时每小时行驶40千米。汽车从甲地到乙地需要9小时，从乙地到甲地需要8.5小时。从甲地到乙地需要行驶 千米的上坡路。51. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们速度的比是4：3，他们第一次相遇后，甲的速度提高了10%，乙的速度提高了20%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有850米，那么A、B两地的距离时 米。52. 甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相向而行，出发时他们的速度比时5：4，他们第一次相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度提高30%，这样当乙到达A地时，甲离B地还有4千米,那么A、B两地的距离是 千米。53. 一段路程分成上坡、平路、下坡
24、三段，各段路程长之比一次是1：2：3。某人走各段路程所用的时间之比一次是4：5：6，已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长是50千米。那么此人走完全长用了 时间。54. 甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后甲、乙、丙村可灌溉面积的比是8：7：5。原来三个村计划按可灌溉的面积的比派出劳动力，后来，因为丙村抽不出劳动力，经协商，丙村应抽出的劳动力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱1350元，结果甲村共派出60人，乙村共派出40人，甲村应分得工钱 元，乙村应分得工钱 元。55. 有甲、乙、丙三个梯形，它们的高的比是1：2：3，上底之比依次是12：15：10，已知甲梯形的面积是100平方厘米，那么
25、乙、丙两个梯形的面积之和是 平方厘米。56. 每辆车，每匹马、每个人乘渡船过河分别交3元，2元，1元的渡船费，某天过河的车、马数的比是2：9，马、人数比是3：7，共收得渡船费945元，那么这一天过河的车、马、人数分别是 。57. 甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和8分钟，则蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C爬行了米，蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了 米。58. 甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比时8：6：5，它们沿一个圆圈从同
26、一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共 次（包括结束时刻）59. 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，已知船在静水钟的速度为每小时8千米，平时逆行与顺行所用的时间比为2：1，某天恰好逢暴雨，水流速度变为原来的2倍，这条船往返共用了9小时。那么甲乙两港相距 千米。60. 甲、乙两车分别从AB两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次迎面相遇的地点与第四次迎面相遇的地点恰好相距100千米。那么A、B两地之间的距离是 千米。61. 甲、乙两车分别从AB两地出发，在AB之间不断
27、往返行驶，已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时45千米，并且甲、乙两车第三次迎面相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距80千米。那么A、B两地之间的距离是 千米。62. 小红汽车、小英步行同时从AB两地出发，在A、B之间往返锻炼，已知小红的速度是14米/秒，小英的速度是4米/秒，已知两人第三次相遇与第四次相遇（两人同时到达同一地点即为相遇）的地点恰好相距100米。那么A、B两地之间的距离是 米。63. 甲、乙两人同时从A村出发反向而行，甲每小时走千米，乙每小时走千米，当甲到达B村时，乙刚好到达C村，两人立即原路返回A村，返回时两人的速度都加快千米，结果甲遭到6分钟，B、C两村相距千
28、米。64. 甲、乙二人爬山，同时从山脚出发，它们下山时的速度都各是上山时的2倍；当甲到达山顶时，乙离山顶还有400米；当甲到达山脚时，乙刚好从山顶又要回到半山腰。那么这座山高 米。65. 甲、乙两船同时从A港出发，逆流而上向B港驶去，到达后都立即返回。它们的顺水速度都是逆水速度的1倍。1小时后两船在离B港4千米处相遇；当乙船到达B港时，甲船已返回至A、B两港的中点。甲船要返回A港还要行驶小时。66. 一个容器内注满水，有大、中、小三个球，一次将小球沉入水中，三次把中球取出，再把大、小球一起沉入水中，现在知道每次从容器中溢出的水量，一次是二次的，三次是一次的2.5倍，那么三个球体积的比是 。67
29、. 已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。现在猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道同时同地同向出发，那么它们第一次相遇时的位置是在离起点 米处。第六讲 比和比例的应用巩固练习1: (1)28:24:27 (2) 56 (3) 4900巩固练习2: (1) 450 (2) 224 (3) 45,63巩固练习3: (1) 24 (2) 90 (3) 4000巩固练习4: (1) 270 (2) 40 (3) 512巩固练习5: (1) 525 (2) 126 (3) 360巩固练习6:
30、 (1) 360 (2) 240 (3) 1440巩固练习7: (1) , (2) 1530 (3) 3600综合练习六:(1)28:25:24(2)18:16:15(3)8:15(4)5:3(5)16:15(6)1200(7)66(8)221(9)26(10)150(11)48(12)252(13)58,56(14)79(15)28(16)120(17)150(18)288(19)70,42(20)143(21)1500(22)140(23)3600,2700(24)42(25)320(26)119(27)90(28)28(29)352(30)192(31)60(32)1050(33)405(34)117(35)288(36)400(37)300(38)135(39)33(40)160(41)55(42)900(43)246(44)25:14(45)100(46)420(47)3600(48)540(49)40(50)180(51)3850(52)234(53)(54)1080,270(55)500(56)42,189,441(57)2.4,2.4(58)3(59)20(60)250(61)100(62)450(63)39(64)2490(65)(66)2:8:11(67)37.574
