1、第十七讲 自转问题 圆在几何图形（直线，折线，多边形，弧线，圆的外侧或者内测）上无滑动滚动时，会产生圆滚过的面积，以及圆自身转动的圈数问题。求圆自身的转动的圈数时，往往要分圆绕某个封闭的图形滚动时的内圈和外圈两种情况。对其内来讲有一个相互抵消问题的存在，对其外来讲，则有一个叠加的问题出现。儿滚动的的圈数是指圆心运动的轨迹长度，来除以该长的周长所决定。在解答这类问题时，画出圆滚过的面积和圆心运动的轨迹路线，是解决问题的关键。圆不管在直线上还是在多边形内外或圆的内外滚动，圆的自转圈数=圆心移动距离圆的周长。例1：如图，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚
2、动的硬币滚动了多少圈？2r rO2O1 O O 解析;画出滚动硬币圆心运动的轨迹（即虚线的圆），假设小圆半径为r，则虚线大圆的半径为2r,很容易算出虚线大圆的周长是小圆周长的2倍，即滚动的硬币滚动的圈数。结论：圆沿着圆滚动的圈数等于圆心的轨迹的长度除以圆的周长。 例2：如图，半径为1厘米的小圆从A点逆时针方向，沿边长为6.28厘米的正方形的外侧做无滑动的滚动，当小圆回到起点A时滚动了多少圈？ 解析：首先画出小圆圆心运行的轨迹（封闭虚线），不难看出，圆心移动的距离除了正方形的周长外，还包括四个角上的四段弧，这四段弧长恰好是一个小圆周长，所以小圆滚动的圈数是;（正方形周长+小圆周长）小圆周长=5（
3、圈）。例3：如图，半径为1厘米的小圆在边长为10厘米的等边三角形的外侧无滑动地滚动一周，这个小圆扫过的面积是多少？ 解析：从图上可以看出，小圆扫过的面积包括三个空白长方形的面积何三个圆心角为120o的扇形。长方形的长是10厘米，宽是圆的直径2厘米，扇形的半径也是圆的直径2厘米，所以小圆扫过的面积为1023+3.1422=72.56（平方厘米）综 合 训 练 十 七1. 用四个边长为10厘米的正方形拼成右图的形状。现有一个半径为2厘米的小圆紧靠此图形内侧滚动一圈后回到出发点，求圆心经过的路线的长度是的多少厘米？ 2. 如图所示：将半径是3厘米的圆沿图形内侧滚动一圈。如果图中的每个小正方形的边长是
4、3厘米，那么该圆圆心所经过的路线的长是多少厘米？ 3. 将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半径为3r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了多少圈？4. 一个半径是2厘米的小圆沿着一个边长为7.14厘米的正方形内侧无滑动地滚动一周，这时小圆滚动了多少圈？ 5. 半径为10厘米的小铁环沿着半径为20厘米的打铁环的内侧做无滑动的滚动，当小铁环沿着大铁环滚动一周回到原位时，小铁环自身转了多少圈？ 6. 如图，等边ABC的周长为6，半径是1的小圆从与AB相切的D点出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切与点D的位置，则小圆自转了多少圈？ 7、 如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如
5、果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是多少？如果小圆的半径为2厘米，小圆扫过的面积是多少？ 8、 15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置，问这枚硬币自身转了多少圈? 9、 取八枚半径均为2厘米的硬币，将其中7枚摆成一圈并固定（如图）。另一枚从图中所示位置开始，无滑动地滚动一圈回到开始位置。在此过程中，滚动硬币自转了多少圈？10、 如图，小圆在大圆上无滑动地滚动4周后，刚好回到原来的位置，则小圆与大圆的面积之比是多少？ 11、 如图，半径分别是8和28的两个圆盘。大圆是固定的。小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆
6、时针方向滚动。开始时小圆圆周上的A点与大圆圆周上的B点重合。当A、B两点再次重合时，A至少绕小圆圆心转动了多少圈？ 12、如图，将4枚半径为1cm的硬币按如图的方式放在桌上，其圆心在同一直线上，且从左至右依次外切现固定其中的第1、2、3枚，而第4枚沿着它们的边缘从O的位置无滑动的滚动到O的位置，这时圆心滚过的路程为多少？扫过的面积是多少？ 13、如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米，圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为3，如有多种答案请全部写出） 14、12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)用一个同样大小的硬币分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周。在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？第十七讲 自转问题(1)82.28(2)60.42(3)4(4)1(5)3(6)4(7)6,263.76(8)6(9)4(10)1:9(11)7(12)31.4,316.52(13) (14)一样多,都是6圈6
