1、东莞市第四高级中学高三数学周测2一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求.1. 已知集合，则（ ）A 1，3B. 3C. 3，4D. 1，3，42. 已知i虚数单位，则复数（）A. B. C. D. 3. 已知在等腰ABC中，ABAC2，BAC，点D在线段BC上，且，则的值为（）A. B. C. D. 4. 中国古代数学瑰宝中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，其中、是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，则该曲池的体积为（）ABCD5. 已知
2、数列满足，,则的前项积的最大值为（）A. B. C. 1D. 46. 已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. 2B. C. D. 7. 若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”.知函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 8. 已知体积为3的正三棱锥P-ABC，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（）ABCD二多选题：有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位:
3、），根据下图，则（）A 这10年的人口出生率逐年下降B这10年的人口出生率超过12的年数所占比例等于50%C这10年的人口出生率的80%分位数为13.57D这10年的人口出生率的平均数小于1210.一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A“这3个球都是红球”，事件B“这3个球中至少有1个红球”，事件C“这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（）A事件A发生的概率为B事件B发生的概率为C事件C发生的概率为D11. 已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则（）A. B. 函数的图象关于对称C. 可以等于5D. 的最小
4、值为212. 已知P为抛物线上的动点，为坐标原点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，则（）A的最小值为4B若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8C若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为D过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则_14. 已知圆，若过定点有且仅有一条直线被圆截得弦长为2，则可以是_.（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）15. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是_.16. 已知数列满足，记（其中表示不大
5、于的最大整数，比如），则_.（参考数据：）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，(1)求，的通项公式；(2)若数列，求前项和18. 记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点.(1)证明：；(2)若，求的周长.19.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，D是棱PC的中点(1)求证：；(2)若，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值20. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍末出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
6、（1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.21. 已知椭圆，斜率为直线与椭圆只有一个公共点（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，且轴，求直线在轴上的截距.22. 已知函数.(1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值；(2)证明：若，则.东莞市第四高级中学高三数学周测2 答案123456789101112ADBBCCDBBDABCBCDABD13.10【详解】，其二项展开式的通项为，是展开式的系数，令，可得.故答案为:10.14.1或【详解】依题意，该直线过圆心或垂直于，圆心到直线距离
7、为或，所以或.故答案为：1或15.【详解】解：直线过定点，函数过四个象限等价于与在轴的左右两边有异号交点，过作的切线，设切点为，切线方程，切线过，解得或（舍去），此时，当时，线段所在直线斜率为1；当时，射线所在直线斜率为，与轴交于，由图象知满足题意的的范围是：.16.6064【详解】设，则，时,时,所以在单调递增，在单调递减，又，所以存在使得，即，且当时，所以当时，又，所以，综上，所以.故答案为：6064.17.【详解】（1）设的公差为，的公比为，由题意知，解得，所以，.（2）所有奇数项构成首项为1，公差为4项数为的等差数列；所有偶数项构成首项为2，公比为4项数为的等比数列；.综上，18.【详
8、解】（1）由可知，所以，又，故，如图所示，所以，得，化简整理得；（2）因为，故，所以，又，化简得，解得，又，故，所以的周长为.19.【详解】（1）证明：在中，所以，所以，又平面平面ABC，平面平面，平面PAB，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，PB，平面PBC，所以平面PBC，又平面PBC，所以（2）在中，所以以C为坐标原点，方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面ADB的一个法向量为，则取，则，所以设直线BC与平面ADB所成的角为，则，所以直线BC与平面ADB所成角的正弦值是20.(1)记事件表示“乙只赢局且甲赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，
9、表示“第局乙获胜”，则，.则，事件与事件互斥，各局比赛结果相互独立.由概率加法公式和乘法公式，有(2)的可能取值为，故的分布列为2345所以.21.(1)依题意，直线的方程为，即，由，消去得.由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，因为在椭圆上，所以，即，整理得，解得，故椭圆的标准方程：.(2)依题意直线斜率不为0，可设直线为，则，联立椭圆方程，可得，由韦达定理得，进而，有由直线的方程为，得直线AC在轴上截距为，故直线在轴的上截距为.22.（1），切点为，则切线方程为，当时，在中，分别令得该切线分别与两坐标轴交于两点，故三角形面积为，因此，解得，当时，显然该直线与两坐标轴围不成三角形，综上所述：；（2）当，所以；当，要证，即证，令，令，所以在上单调递增.取，使得，即，则，又，所以由零点存在定理知存在唯一零点，即有唯一的极值点且为极小值点.又，即，故，令，所以在上单调递减，所以，所以.综上所述，当，则.9
