1、导数中的导数中的5 5种同构函数问题种同构函数问题【考点分析】【考点分析】考点一：常见的同构函数图像考点一：常见的同构函数图像八大同构函数分别是：y=xex，y=xex，y=exx，y=xlnx，y=xlnx，y=lnxx，y=exx1，y=xlnx1我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间的本质联系图1 图2 图3 图4图5 图6 图7 图8考点二：常见同构方法考点二：常见同构方法(1)xex=ex+lnx;x+lnx=ln xex(2)exx=ex-lnx:x-lnx=lnexx(3)x2ex=ex+2lnx;x+2lnx=ln x2ex(4)exx
2、2=ex-2lnx,exx2=ex-2lnx【题型目录】【题型目录】题型一：利用同构解决不等式问题题型一：利用同构解决不等式问题题型二：利用同构求函数最值题型二：利用同构求函数最值题型三：利用同构解决函数的零点问题题型三：利用同构解决函数的零点问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构证明不等式题型五：利用同构证明不等式【典例例题】【典例例题】题型一：利用同构解决不等式问题题型一：利用同构解决不等式问题【例【例1 1】(20222022 河南河南 模拟预测模拟预测(理理)不等式2lnxxln2的解集是()A.1,2B.2,4C.2,+D.4,+
3、【例【例2 2】(20222022 陕西宝鸡陕西宝鸡 一模一模(理理)已知a1，b1，则下列关系式不可能成立的是()A.eblnaabB.eblnaabC.aebblnaD.aebblna【例【例3 3】(20222022 陕西陕西 长安一中高二期末长安一中高二期末(理理)已知0 xy，且eysinx=exsiny，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是()A.y4B.x+y0D.sinxsiny【例【例4 4】(20222022 江苏苏州江苏苏州 模拟预测模拟预测)若x，y(0,+)，x+lnx=ey+siny，则()A.ln(x-y)0C.xeyD.ylnx【例【例5 5】(20
4、222022 四川四川 成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测(理理)已知 a、b R，a2ea+lna=0，bln b+lnb-1b=1，则()A.abeabB.abea=bC.beaabD.ea=bb0，且满足alnb=blna，e为自然对数的底数，则()A.beeaebB.beebeaC.ebeabeD.eabebcB.bacC.cabD.cba3.(20222022 广东广东 中山市迪茵公学高二阶段练习中山市迪茵公学高二阶段练习)已知ab0，下列不等式，成立的一个是()A.a3-b3a-bB.lna-lnba-bC.sina-sinba-bD.ea
5、-eba-b4.(20222022 全国全国 高三专题高三专题)已知x,y满足x2=e2-x2，lny=e4y+2(其中e是自然对数的底数)，则x2y=()A.e4B.e3C.e2D.e5.(20222022 四川四川 广安二中模拟预测广安二中模拟预测(理理)已知0 xy，且eysinx=exsiny，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是()A.cosx+cosy0C.cosxsinyD.sinxsiny6.(20222022 福建福建 三明一中模拟预测三明一中模拟预测)己知e为自然对数的底数，a，b均为大于 1的实数，若 aea+1+bblnb，则()A.bea+1C.abe题型
6、二：利用同构求函数最值题型二：利用同构求函数最值【例【例1 1】(20222022 四川省通江中学高二期中四川省通江中学高二期中(文文)已知函数 f x=xex,g x=xlnx，若 f m=g n=t(t 0)，则mnlnt的取值范围为()A.-,1eB.1e2,+C.1e,+D.-1e,+【例【例2 2】(20222022 江西江西 临川一中模拟预测临川一中模拟预测(文文)已知函数 f x=x+ln x-1，g x=xlnx，若 f x1=1+2lnt，g x2=t2，则x1x2-x2lnt的最小值为()A.1e2B.-1eC.-12eD.2e【例【例3 3】(20222022 全国全国
7、高三专题练习高三专题练习(理理)设大于 1 的两个实数 a，b 满足ln2be2a 0 且 a 1)有两个不同的零点，则实数 a的取值范围是()A.1,e1eB.e1e,eC.1,eD.e1e,e【例【例2 2】(20222022 全国全国 高三专题高三专题)已知函数 f x=xex2a lnx+x有两个零点，则a的最小整数值为()A.0B.1C.2D.3【题型专练】【题型专练】1.(20212021 全国全国 模拟预测模拟预测)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式若关于a的方程aea=e6和关于b的方程b ln
8、b2=e31(a,b,R)可化为同构方程，则=_，ln ab=_2.(20222022 辽宁辽宁 大连市普兰店区高级中学模拟预测大连市普兰店区高级中学模拟预测)已知函数 f x=ln x+1-x+1(1)求函数 f x的单调区间；(2)设函数g x=aex-x+lna，若函数F x=f x-g x有两个零点，求实数a的取值范围题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题【例【例1 1】(20222022 广东广州广东广州 三模三模)对于任意x0都有xx-axlnx0，则a的取值范围为()A.0,eB.-e1-1e,eC.-,-e1-1e e,+D.-,e【例【例2
9、2】(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)已知e是自然对数的底数.若x1,+)，使memx-6x5lnx0，则实数m的取值范围为()A.-,16B.-,6eC.-,e6D.(-,6【例【例3 3】(20222022 宁夏中卫宁夏中卫 三模三模(理理)不等式aeaxlnx在(0,+)上恒成立，则实数a的取值范围是()A.12e,+B.1e,+C.(1,+)D.(e,+)【例【例4 4】(20222022 陕西渭南陕西渭南 二模二模(文文)设实数 0，对任意的 x 1，不等式 ex lnx 恒成立，则 的最小值为()A.eB.12eC.1eD.2e【例【例5 5】(2022
10、2022 辽宁辽宁 高二期中高二期中)已知a0，若在(1,+)上存在x使得不等式ex-xxa-alnx成立，则a的最小值为()A.1eB.1C.2D.e【例【例6 6】(20222022 四川省泸县第二中学模拟预测四川省泸县第二中学模拟预测(理理)已知a0，不等式xex-xa2lnxa20对任意的实数x1恒成立，则实数a的最大值为()A.12eB.2eC.1eD.e【题型专练】【题型专练】1.(20222022 辽宁葫芦岛辽宁葫芦岛 高二期末高二期末)已知a2恒成立，则实数a的最小值为()A.-2eB.-eC.-1eD.-12e2.(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨三中高二期末哈尔滨三中
11、高二期末)已知函数 f(x)=ex-aln(ax+a)-a，(a0)，若关于x的不等式 f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.0,1eC.1e,1D.0,e3.(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨市第六中学校高二期末哈尔滨市第六中学校高二期末)若对任意x-1,+，不等式aex-ln x+1+lna1恒成立，则实数a的最小值是()A.1B.2C.eD.34.(20222022 湖北湖北 高二期末高二期末)若关于x的不等式aex-ln(x-1)-10在区间(1,+)上恒成立，则实数a的取值范围为()A.1e2,+B.1e,+C.1,+D.e,+5.(20232023 河南
12、河南 洛宁县第一高级中学一模洛宁县第一高级中学一模(理理)对任意x 0,+，不等式 a-1x+ln axex恒成立，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,eC.0,2eD.0,e2题型五：利用同构证明不等式题型五：利用同构证明不等式【例【例1 1】(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=x-xex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)已知a,bR R，且ab，若aea+b+bea=aeb+bea+b，求证：a+b0.【例【例2 2】(20222022 海南中学高三阶段练习海南中学高三阶段练习)已知函数 f(x)=x-1ex.(1)求 f(x)的单调区间与
13、极值.(2)设m，n为两个不相等的正数，且mlnn-nlnm=m-n，证明：mne4.【例【例3 3】(20222022 河北河北 高三阶段练习高三阶段练习)已知函数 f(x)=xlnx(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且ab=ba，证明：2e1a+1b0时，证明：f xg x【题型专练】【题型专练】1.(20212021 全国全国 高考真题高考真题)已知函数 f x=x 1-lnx.(1)讨论 f x的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：21a+1be.2.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知函数 f(x)=2e-xlnx，其中e=2.71828为自然对数的底数.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若x1,x2 0,1，且x2lnx1-x1lnx2=2ex1x2lnx1-lnx2，证明：2e1x1+1x21，都有 f xx4-3x3lnx+x3
