1、第二十三章“枚举”解题知识导航在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，因此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题复杂，我们就抓住对象的特征，选择适当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限情图解思维训练题例1喜羊羊拿着写有3、7、9的三张卡片，它能用这三张卡片组成多少个无重复数字的三位数？图解思路况，通过一一列举或计数，最终达到解决问题的目的，这就是枚举法。枚举法在解决数学问题中经常要用到，可以是分类枚举，也可以是列表格枚举等。如本书中的“巧数图形”就是运用枚举法得出数
2、线段条数的规律，数角、三角形个数的规律，数长方形个数的规律，而后得出公式。在应用枚举法解题时，我们必须注意无重复、无遗漏。因此我们必须做到有序思考，有次序、有规律地进行枚举。同时我们要注意正确分类，要注意分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都做一一罗列。枚举方法和用枚举方法解决的问题如下图。三位数的最高位是百位，这三个数字都可以作为百位上的数，我们可以按山小到大的顺序依次枚举排列出来，如下图。规范解答2+2+26（个）答：它能用这三张卡片组成6个无重复数字的三位数。例2一个长方形的周长是14厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么它的面积有多少种可能值？图解思路山于长方
3、形的周长是14厘米，那么这个长方形的长+宽1427（厘米）。这样我们就可以列举出符合这个条件的各种长方形，如下表。我们把这些长方形画在边长为1厘米的正方形格子图中，如下图。根据上图求出它们的面积即可。规范解答长方形的长+宽：1427（厘米）（1）长6厘米、宽1厘米面积617平方厘米（2）长5厘米、宽2厘米面积5210平方厘米（3）长4厘米、宽3厘米面积4312平方厘米答：这个长方形的面积有3种可能值。长/厘米654宽/厘米123例3妈妈要去参加宴会，她想从3件不同颜色的上衣，4条不同的裤子，5双不同的鞋子中挑选出一套衣服去赴宴。你知道妈妈有多少种不 同的选法吗？图解思路解这道题可用枚举法，先来
4、选上衣，妈妈有3种选法，即上衣A、上衣B、上衣C。对应每一件上衣，裤子都有4种选法，而衣服、裤子选好后对应每一种鞋子又都有5种选法。我们可用树形图来表示，如下图。如上图所示， 上衣A ， 对应裤子、 鞋子的选法共有45 20（种）。同理，对于上衣B、上衣C，也各有20种。进而就可求得种数。规范解答45360（种）答：妈妈共有60种不同的选法。例4有5个篮球队进行篮球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少场比赛？图解思路思路一我们可以把这5个篮球队分别编号为：A、B、C、D、E。A球队与其他球队分别打球有4场，同样B、C、D、E球队与其他球队也要打4场。所以5个小队共打了5420（场）球赛。但题目要
5、求每两个球队之间只要比赛一场，那么A与B比赛时，A、B两个球队已经打过了，所以B球队没有必要与A球队打。照这样计算，20场比赛中有一半是重复计算的，如下图所示。思路二把这5个篮球队分别编号为：A、B、C、D、E。因为每两个球队之间只要比赛一场，所以以A球队为“起始”队，它分别与B、C、D、E球队比赛了4场；接着以B球队为“起始”队，只要与C、D、E 球队比赛3场即可。依此类推即可求出比赛的场数。根据推理画出线段图如下：根据题意也可画成树形图如下：规范解答解法一54210（场）解法二4+3+2+110（场）答：共要进行10场比赛。例5一条公路，有6个站台，如果每两个站台间只有一种车票，那么这条公
6、路这样的车票共有多少种？图解思路我们可把这6个站台编号为1号、2号、3号、4号、5号、6号，如下图所示。我们可以利用枚举的方法解题，如果起点是1号站台，那么其终点站就是2号、3号、4号、5号、6号，有5种车票。依此类推，如果起点站是2号站台，则有4种车票；起点站是3号站台，则有3种车票；起点站是4号站台，则有2种车票；起点站是5号站台，则有1种车票。进而就可求出车票的种数。规范解答5+4+3+2+115（种）答：这条公路这样的车票共有15种。例6有一台天平和3个砝码，砝码的质量分别是1克、3克、5克。当砝码只能放在同一个盘内时，可称出多少种不同质量的物体？图解思路共有三个不同质量的砝码，可以取
7、其中的一个、两个或三个来称不同的质量，我们把它用树形图一一罗列出来，具体图示如下。规范解答取一个砝码有3种，分别是1克、3克、5克；取两个砝码有3种，分别是1+34（克）、1+56（克）、3+58（克）；取三个砝码有1种，1+3+59（克）。3+3+17（种）答：可称出7种不同质量的物体。小试身手1用1、3、5、9四个数字可以组成多少个不重复的四位数？2用0、3、7、9四个数字可以组成多少个不重复的四位数？3甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，每两人打一场，一共要赛多少场？4从梅梅家到学校有3条路可走，从学校到香山公园有4条路可走。从梅梅家到香山公园一共有几种不同的走法？5书架上有5本不同的漫画
8、书，有7本不同的童话书。现在从书架上任取一本漫画书和一本童话书，共有多少种不同的拿法？6把15颗珠子分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？拓展提升7数出下图中共有几条线段？8美羊羊有2种不同颜色的帽子，3件不同的上衣，2条不同裙子以及3双不同的鞋子。美羊羊要去参加一场晚会，它最多有多少种不同的装束？9上海到南京的汽车，除起点和终点外，还要停靠6个站。汽车公司要准备几种车票？10甲、乙、丙、丁四个小朋友排成一排，从左往右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法有几种？11一个长方形的周长是28厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？
