1、高三数学试题第 1页（共 8 页）泉州市泉州市 2023 届高中毕业班质量监测（届高中毕业班质量监测（三三）2023.03高三数学选择题参考解答一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1已知集合|52Axx，|3Bxx，则AB A(,2)B(,3)C(3,2)D(5,3)【命题意图】本小题考查集合的运算，不等式等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等素养的关注【试题解析】由已知，得|3|33Bxxxx，
2、则(5,3)AB 故选D2已知复数z满足(1 i)4iz，则z zA8B0C8D8i【命题意图】本小题主要考查复数的运算及其复数的模等基础知识；考查运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一：解法一：因为(1i)4iz，所以(1i)(1i)4i(1i)z，即244iz ，所以22iz ，所以(22i)(22i)8z z 故选 C解法二：解法二：由(1 i)4iz，可得|1 i|4i|z，故|=2 2z，2|8z zz故选 C3已知sin2cos0，则cos2A13B0C13D23【命题意图】本小题主要考查同角三角函数关系，二倍角等基础知识
3、；考查运算求解等能力；保密使用前高三数学试题第 2页（共 8 页）考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注【试题解析】由sin2cos0，可知tan2，22222222cossin1tan1cos2cossincossin1tan3 故选 A4某运动员每次射击击中目标的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为6364，则射击一次，击中目标的概率为A78B34C14D18【命题意图】本小题考查事件的概率，相互独立事件等基础知识；考查抽象概括，运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学抽象，数学运算等核心素养的关注【试题解析】设该运动员射击一次
4、，击中目标的概率为p，则该运动员三次射击均不击中目标的概率30(1)Pp，则三次射击中，至少有一次击中的概率306311(1)64PPp ，计算可得34p，故选B5已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点A在C上，点B在l上若|4AFBF，()0AFBFBA ，则F到l的距离等于A1B2C3D4【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义，向量的基本运算及其几何意义等基础知识；考查推理论证等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】取AF的中点M，连结BM过F作FEl于点E，高三数学试题第 3页（共 8 页）则2BFBABM ，又因为(
5、)0AFBFBA ，所以AFBM，所以|BABF依题意|AFBF，所以ABF为等边三角形由抛物线的定义，得ABl，所以ABEF所以60EFBABF，所以1|22EFBF即F到l的距离为2故选 B6定义在R上的偶函数()f x满足(2)()0fxf x，且当0,1)x时，()1f xx，则曲线()yf x在点99(,()44f处的切线方程为A44110 xyB44110 xyC4470 xyD4470 xy【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质与导数的几何意义等基础知识；考查运算求解，推理论证能力等；考查数形结合思想，化归与转化思想等；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核
6、心素养的关注【试题解析】由(2)()0fxf x，得()f x的图象关于点(1,0)对称，又()f x为偶函数，故其图象关于y轴对称，则(2)()()fxf xfx ，可得(4)()f xf x，故()f x的周期为4则9711()()()4442fff，又由图象对称性，可得971()()()1444fff，故曲线()yf x在99(,()44f处的切线方程为1924yx，高三数学试题第 4页（共 8 页）化简得44110 xy故选 A7图1中，正方体ABCDEFGH的每条棱与正八面体MPQRSN（八个面均为正三角形）的一条棱垂直且互相平分将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面
7、体，该十二面体能独立密铺三维空间若1AB，则点M到直线RG的距离等于图 1图 2A2B3C62D72【命题意图】本小题主要考查基本立体图形，空间中点、线、面的位置关系与度量关系等基础知识；考查空间想象，抽象概括，推理论证，运算求解等能力；考查化归与转化等思想；体现基础性，应用性，导向对直观想象，数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一：解法一：如解析图 1，设AB与MP交于点K，RN与GH交于点T，连结KT依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN中，MPPNNRRM，由对称性可知MNPR，所以四边形MPNR是正方形，则MRRN，又MRCD，CDGH，所以MRGH，RNG
8、HT，所以MR 平面RGNH，所以MRRG由已知四边形MKTR是矩形，所以2MRKT，所以M到直线RG的距离为2高三数学试题第 5页（共 8 页）故选 A解析图1解法二：解法二：如解析图 2，设AB与MP交于点K，RN与GH交于点T，连结KT,RG MT MG依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN中，MPPNNRRM，由对称性可知MNPR，所以四边形MPNR是正方形，则MRRN，四边形MKTR是矩形，所以2MRKT；在RTGRt中，21,22RTTG，所以32RG；由已知，显然GH 平面PMRN，所以GTMT，则在MTGRt中，101,22MTTG，所以112MG；则222RGMRMG，所
9、以MRRG所以M到直线RG的距离为2故选 A解析图2高三数学试题第 6页（共 8 页）解法解法三三：如解析图 3，设AB与MP交于点K，RN与GH交于点T，连结KT依题意，由图形特征，在正八面体MPQRSN中，MPPNNRRM，由对称性可知MNPR，所以四边形MPNR是正方形，所以MNPR；同理：四边形PQRS是正方形，QSPR；四边形MQNS是正方形，QSMN；以正八面体中心O为坐标原点，,OQ OR OM所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(0,0,1)M，(0,1,0)R，1 11(,)2 22G，(0,1,1)MR，111(,)222RG，则0MR RG，则M到直线RG的距离
10、为MR，2MR 故选 A解析图 38已知平面向量,a b c满足|1a，0b c，1a b，1 a c，则bc的最小值为A1B2C2D4【命题意图】本小题主要考查向量的模、数量积等基础知识；考查运算求解等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性与创新性；导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一：解法一：设OA a，OB b，OCc，ODOA 因为1a b，1 a c，0 b c，高三数学试题第 7页（共 8 页）所以由向量数量积的几何意义，可得ABOA，DCDO，OBOC，如图因为OBOCCB bcbc，CB 为夹在两平行直线AB与CD间的线段长，所
11、以当BCAB时，CB 取到最小值2故bc的最小值为2故选 C解法二：解法二：在直角坐标系xOy中，设(1,0)a，11(,)x yb，22(,)xyc因为1a b，1 a c，0 b c，所以11x，21x ，12120 x xy y，即121y y 所以2222121212122222xxyyyyy ybc，当且仅当121yy或121yy 时，等号成立故bc的最小值为2故选C解法三：解法三：设a与b的夹角为(0)2，a与c的夹角为()2 因为0 b c，10 a c，所以2因为1a b，1 a c，1a，所以cos1b，cos1 c，所以222211coscosbcbc222211122co
12、ssinsincossincos，当且仅当4时，等号成立故bc的最小值为2故选 C解法四：解法四：由于0b c，可得22bcbcbc由1a b，1 a c，可得(2|cos,abc)bca bc高三数学试题第 8页（共 8 页）所以2|2cos,bca bc当且仅当,0a bc，且要满足条件0 b c时等号成立所以2bcbc故bc的最小值为2故选C二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求。全部选对的得目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的
13、得分，部分选对的得 2 分。分。9已知AB为圆22:4C xy的直径，直线:1l ykx与y轴交于点M，则Al与C恒有公共点BABM是钝角三角形CABM的面积的最大值为1Dl被C截得的弦的长度的最小值为2 3【命题意图】本小题主要考查直线与圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识；考查推理论证，运算求解等能力；考查函数与方程、数形结合等思想；体现基础性、综合性、应用性，导向对发展直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注【试题解析】由题意可得0,1M对于A选项，因为0,1M在C内，所以l与C恒有公共点，故A正确；对于B选项，因为0,1M在C内，所以90AMB，故B正确；对于C选项，当CMAB时
14、，14 122ABMS ，故C错误；对于D选项，因为C到l的距离1dCM，所以l被C截得的弦长为22 42 3d，当1d 时，等号成立，故D正确故选ABD10已知函数()sin cosf xxx，()sincosg xxx，则A()f x与()g x均在(0,)4单调递增B()f x的图象可由()g x的图象平移得到C()f x图象的对称轴均为()g x图象的对称轴高三数学试题第 9页（共 8 页）D函数()()yf xg x的最大值为122【命题意图】本小题主要考查三角函数图象及性质、三角恒等变换等基础知识；考查推理论证，运算求解等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性、综合性，导
15、向对数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】1()sin cossin22f xxxx，()sincos2sin()4g xxxx对于 A 选项，由222,22kxkkZ，可得()f x的单调增区间为(,),44kkkZ；由22,242kxkkZ，可得()g x的单调增区间为(2,),44kkkZ故()f x与()g x均在(0,)4单调递增，故 A 正确；对于 B 选项，()f x与()g x的周期及最值均不相同，故()f x的图象无法由()g x的图象平移得到，故 B 错误；对于 C 选项，由2,2xkk Z，可得()f x的对称轴为,24kxkZ；由,42xkk Z，可得()g x
16、的对称轴为,4xkk Z，因而()f x图象的对称轴不全是()g x图象的对称轴，故 C 错误；对于 D 选项，()()sin cossincosyf xg xxxxx，令sincos2sin()4txxx，则2,2t，高三数学试题第 10页（共 8 页）则22111sin cossincos(1)1222yxxxxttt，2t 时，max122y，故 D 正确故选 AD11在长方体1111ABCDA B C D中，2ABAD，11AA，点,P Q在底面1111A B C D内，直线AP与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且APCQ，则A2AP B点Q的轨迹长度为2C三棱锥1DAQB的体积为定
17、值DAP与该长方体的每个面所成的角都相等【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，空间几何体的体积等基础知识；考查推理论证，空间想象，运算求解等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性、综合性，导向对数学运算，直观想象，逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】如图，将长方体1111ABCDABC D补成正方体2222ABCDA B C D，连结22222,B D B C CDAC，2B C交11BC于点M，2CD交11C D于点N，因为直线2AC与正方体2222ABCDA B C D的每一条棱所成的角都相等，所以2AC与底面1111ABC D的交点即为点P对于 A 选项，
18、2132APAC，故 A 错误；高三数学试题第 11页（共 8 页）对于 B 选项，因为22ACCB，22ACCD，且22CBCDC，所以2AC 平面22CD B，即AP 平面CMN，因为APCQ，所以CQ 平面CMN，即Q平面CMN，又Q平面1111ABC D，所以Q平面CMN 平面1111ABC DMN，所以点Q的轨迹为线段MN，所以线段2MN，故 B 正确；对于 C 选项，记Q到面1ABD的距离为h，11113D AQBQ ABDABDVVSh，因为MNBD，所以点Q到面1ABD的距离是定值，又1ABD的面积是定值，所以三棱锥1DAQB的体积为定值，故 C 正确；对于 D 选项，AP与长
19、方体的每一个面所成的角即为2AC与正方体每一个面所成的角；易知2AC与正方体每一个面所成的角相等，所以AP与长方体的每一个面所成角也都相等，故 D 正确；故选 BCD12某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为27，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为nP，则A21942P B数列37nP 为等比数列C1942nPD当2n时，n越大，nP越小【命题意图】本小题考查全概率公式，数列的递推关系，数
20、列的通项公式等基础知识；考查抽象概括，推理论证，运算求解等能力；考查化归与转化，函数与方程等思想；体现应用性、创新性、综合性，导向对数学建模，数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注高三数学试题第 12页（共 8 页）【试题解析】记玩家第i次抽盲盒并抽中奖品为事件iA，依题意，127P，113nnP A A，112nnP A A对于A选项，21212121121P AP A AA AP AP A AP AP A A217321(1)721942，即21942P，故A正确；对于 B 选项，111111nnnnnnnnnnnP AP AAAAP AP A AP AP A A因此1111132n
21、nnPPP，即11162nnPP，所以1313()767nnPP，又127P，即131077P ，所以37nP 为首项为27，公比为16的等比数列，故B正确；对于 C 选项，由37nP 为等比数列，可得1311()()776nnP ，即1113()()767nnP ，当n为奇数时，11137 67nnP，因为11107 6n，所以319742nP，当n为偶数时，11137 67nnP，nP随着n的增大而减小，则21942nPP，故 C 正确；对于 D 选项，1113()()767nnP ，因此，4337PP，故 D 错误故选 ABC三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每
22、小题 5 分，共分，共 20 分。分。13设随机变量2(72,)XN，若(7073)0.3PX，则(7174)PX_【命题意图】本小题考查正态分布等基础知识；考查运算求解等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注【试题解析】由正态分布密度曲线的对称性可知，(7073)(7072)(7273)PXPXPX高三数学试题第 13页（共 8 页）(7274)(7172)(7174)PXPXPX0.3，故答案为0.314已知6234560123456()xmaa xa xa xa xa xa x，且361aa，则m _【命题意图】本小题主要考查二项式定理等知识；考
23、查运算求解等能力；考查函数与方程等思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注【试题解析】由已知，得3333620aCmm，00661aCm又361aa，所以3201 1m ，得0m，故答案为015已知函数()|e1|xf xax有两个零点，则实数a的取值范围为_【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质，利用导数研究函数的性质等基础知识；考查运算求解，推理论证等能力；考查数形结合，化归与转化等思想；体现基础性，综合性，导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注【试题解析】函数()|e1|xf xax有两个零点，等价于|e1|xy 与yax的图象有两个不同的交点如图，两个临界情况对应的直线的斜
24、率分别为10(e1)|1xxk，20(1 e)|1xxk 结合图象，|e1|xy 与yax的图象要有两个不同的交点，则直线yax斜率(1,0)(1,)a，故答案为(1,0)(1,)16已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，C的渐近线与圆222xya在第一象限的交点为M，线段2MF与C交于点N，O为坐标原点若高三数学试题第 14页（共 8 页）1MFON，则C的离心率为_【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系等知识；考查运算求解，推理论证等能力，空间想象等能力及创新意识；考查数形结合，函数与方程等，函数与方程等思想；体现综合性与创新性
25、，导向对直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一：解法一：依题意，可得OMa，2MFb因为1MFON，12OFOF，所以22bMNNF由双曲线的定义，得122NFaNF，即122bNFa在12NFF中，由余弦定理，得222122112122cos2F FNFNFF F NF FNF，即2222222222bbcabbcc，化简得，2222442bcaab，故ab，所以离心率2cea解法二：解法二：依题意，设2,0F c由已知，可得2,aabMcc因为1MFON，12OFOF，所以N为2MF的中点所以22,22acabNcc，将点N的坐标代入22221xyab，得22222
26、2222144aca ba cc b，222ca，所以离心率2cea，故答案为2高三数学试题参考答案第 1页（共 17 页）泉州市泉州市 2023 届高中毕业班质量监测（届高中毕业班质量监测（三三）2023.03高三数学试题解析17（10 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，()sinsinsinacAAC，221ccb（1）求B；（2）已知D为AC的中点，32BD，求ABC的面积【命题意图】本题主要考查正、余弦定理、面积公式等基础知识；考查运算求解、推理论证能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一
27、解法一：（1）由正弦定理，()sinsinsinacAAC可等价转化为()ac aac 1 分因为0ac，故1a 2 分由余弦定理可得，222cos2cabBac，3 分2211222cbccc ，4 分因为(0,)B，故23B 5 分（2）依题意，1()2BDBABC ，得221()4BDBABC ，6 分即2221(2)4BDBABA BCBC ，故2312(2 cos1)443cc，8 分即220cc，故(2)(1)0cc，求得2c 9 分故ABC的面积13sin22SAB BCB10 分解法二：（1）同解法一5 分（2）在ABC中，由余弦定理，得22212 cos3bcc，6 分保密使
28、用前高三数学试题参考答案第 2页（共 17 页）在ABD和BCD中，由余弦定理，得22233()()1424233222222bbcbb，8 分联立，得220cc，故(2)(1)0cc，求得2c 9 分故ABC的面积13sin22SAB BCB10 分解法三：（1）同解法一5 分（2）延长以BD到E，使BDDE，则四边形ABCE为平行四边形因为23ABC，32BD，由平行四边形性质得3BE，3BCE，6 分在BCE中，由正弦定理，得sinsinBEBCBCEBEC，7 分即31sinsin3BEC，所以1sin2BEC，8 分因为BCBE，所以03BECBCE ，所以6BEC，所以2CBE，9
29、 分故BEC的面积为1322SBC BE，故ABC的面积32BECSS10 分（或在BCE中，由余弦定理，得2222cos3CBCECB CEBE，7 分即220CECE，8 分解得2CE 9 分故BEC的面积为13sin232SCB CE，故ABC的面积32BECSS）10 分高三数学试题参考答案第 1页（共 17 页）泉州市泉州市 2023 届高中毕业班质量监测（届高中毕业班质量监测（三三）2023.03高三数学试题解析18（12 分）已知na为等差数列，且1223nnaan（1）求na的首项和公差；（2）数列 nb满足11,32(1),313,kknnnnkaabaknk 其中*,k n
30、N，求601iib【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的定义与前n项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一解法一：（1）由1223nnaan可得2121aa，3221aa，2 分由na为等差数列，得2132aaa，3 分解得1231,3,5aaa，4 分设na的公差为d，故212aad 5 分（2）由（1）可知21nan6 分所以111,32,32(21)(21)(1),313(1),313,kknnnnnnknkaakkbaknkaknk 7 分所以147581111
31、33 53941bbbb8 分1111111120(1)()()(1)23353941241419 分又2356596023565960()()()bbbbbbbbbbbb23235656575960(1)(1)()()()aaaaaaaa (35)(911)(111 113)(117119)11 分(22)(22)(22)0 ，保密使用前高三数学试题参考答案第 2页（共 17 页）故23565966014581020()4)1(iibbbbbbbbbb12 分解法二解法二：（1）设等差数列na的公差为d，则1(1)naand，1 分所以1223nnaan可等价转化为11(2231)anand
32、nd，2 分即1(2)023nadd，所以120,230,dad 3 分解得11,2ad5 分（2）由（1）可知21nan6 分所以111,32,32(21)(21)(1),313(1),313,kknnnnnnknkaakkbaknkaknk 7 分所以147581111 33 53941bbbb8 分1111111120(1)()()(1)23353941241419 分又258115659bbbbbb258115659()()()aaaaaa3 2 20120 ，10 分369125760bbbbbb369125760()()()aaaaaa 3 2 20120 11分故24759366
33、060145608120()()41()iibbbbbbbbbbbb12分高三数学试题参考答案第 1页（共 17 页）泉州市泉州市 2023 届高中毕业班质量监测（届高中毕业班质量监测（三三）2023.03高三数学试题解析19（12 分）如图，三棱台111ABCA BC中，1122ABBCBC，D是AC的中点，E是棱BC上的动点（1）试确定点E的位置，使1AB/平面1DEC；（2）已知AB 1BC，1CC 平面ABC设直线1BC与平面1DEC所成的角为，试在（1）的条件下，求cos的最小值【命题意图】本题综合考查线面平行、垂直的判定、平面与平面垂直的性质定理及线与面所成的角的求解及空间向量的运
34、算与应用等基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】解法一解法一：（1）连结1B C，取1BC中点F，连结DF因为ADDC，所以DF为1ABC的中位线，所以1DFAB 1 分连结1C F并延长交BC于E，连结DE因为三棱台111ABCA BC中，11BCBC，2 分1B FFC，所以11BC FECF，3 分所以11CEC B，又因为112BCBC，所以E为BC中点；4 分又1DFAB，1AB 平面1C DE，DF 平面1C DE，所以1AB/平面1DEC
35、5 分保密使用前高三数学试题参考答案第 2页（共 17 页）（2）因为1CC 平面ABC，AB 平面ABC，所以1ABCC，6 分又1ABBC，111CCBCC，11,CC BC 平面11BCC B，所以AB 平面11BCC B，在平面11BCC B内以B为坐标原点作z轴BC因为z轴，BC 平面11BCC B，所以ABBC，AB z轴；,BC BA所在直线为x轴，y轴，及z轴建立空间直角坐标系7 分设1CCm，则1(1,0,0),(1,1,0),(2,0,)EDCm，1(0,1,0),(1,0,)EDECm ，8 分设平面1DEC的法向量为(,)x y zn，则10,0,EDEC nn即0,0
36、,yxmz取xm，则1z ，则(,0,1)mn；9 分由已知直线1BC与平面1DEC所成角为，(0,2，1sin|cos|BC n11|BCBC n|n|2241mmm10 分2222111344525mmmm，11 分当且仅当224mm，即2m 时，sin取最大值13，因为22sincos1，(0,2，所以2cos1 sin1192 23,所以12CC 时，cos取最小值2 2312 分解法二：解法二：（1）当E为BC中点时，1AB/平面1DEC，证明如下：1 分连结11,BC C E交于点F，连结1,DF B E高三数学试题参考答案第 3页（共 17 页）因为111ABCA BC是三棱台，
37、所以11BCBC；2 分又112BCBC，BEEC，所以11CEBC，所以四边形11BC CE是平行四边形，3 分所以1CFB F；因为ADDC，所以1DFAB，4 分又1AB 平面1C DE，DF 平面1C DE，所以1AB/平面1DEC 5 分（2）因为1CC 平面ABC，AB 平面ABC，所以1ABCC，6 分又1ABBC，111CCBCC，11,CC BC 平面11BCC B，所以AB 平面11BCC B，因为BC 平面11BCC B，所以ABBC过点C作x轴AB，则x轴BC；以C为坐标原点，1,CB CC所在直线为y轴，z轴，及x轴建立空间直角坐标系7 分设1CCm，则1(0,1,0
38、),(1,1,0),(0,0,),(0,2,0)EDCm B，11(1,0,0),(0,1,),(0,2,)EDECm BCm ，8 分设平面1DEC的法向量为(,)x y zn，则10,0,EDEC nn即0,0,xymz 取ym，则1z，则(0,1)mn；9 分由已知直线1BC与平面1DEC所成角为，(0,2，1sin|cos|BC n11|BCBC n|n|2241mmm10 分2222111344525mmmm，11 分高三数学试题参考答案第 4页（共 17 页）当且仅当224mm，即2m 时，sin取最大值13，因为22sincos1，(0,2，所以2cos1 sin1192 23,
39、所以12CC 时，cos取最小值2 2312 分解法三：解法三：（1）当E为BC中点时，1AB/平面1DEC，证明如下：1 分连结1,DE C E因为ADDC，BEEC，所以DEAB，且DE 平面1ABB，AB 平面1ABB，所以DE平面1ABB；2 分因为111ABCA BC是三棱台，所以11BCBC；又112BCBC，BEEC，所以11BEBC，所以四边形11BC EB是平行四边形，所以11C EBB，且1C E 平面1ABB，1BB 平面1ABB，所以1C E平面1ABB；3 分又1C EDEE，1,C E DE 平面1C DE，所以平面1ABB平面1C DE，4 分又1AB 平面1AB
40、B，所以1AB/平面1DEC5 分（2）在平面11BCC B内过点B作1BGC E于G，因为1CC 平面ABC，AB 平面ABC，所以1ABCC，6 分又1ABBC，111CCBCC，11,CC BC 平面11BCC B，所以AB 平面11BCC B，BG平面11BCC B，所以ABBG，高三数学试题参考答案第 5页（共 17 页）又ABDE，所以BGDE，7 分1C EDEE，1,C E DE 平面1C DE，所以BG 平面1C DE，则直线1BC与平面1DEC所成角为1BC E，即1BC E，(0,2；8 分因为1CC 平面ABC，CB 平面ABC，所以1CBCC；9 分设1CCm，11t
41、antan()BC CEC C1111tantan1tantanBC CEC CBC CEC C 10 分2211221mmmmm1242 2，11 分当且仅当2mm，即2m 时，tan取最大值24，（注：（也可以用余弦定理）设1CCm，则22111,4C EmC Bm，在1C BE中，22221122112cos214C EC BBEmC E C Bmm，10 分令211(0,22tm，cos2121tt，11 分当14t 时，即12CC 时，cos取最小值2 23）12 分解法四：解法四：（1）当E为BC中点时，1AB/平面1DEC，证明如下：1 分延长1CC，1BB交于点P，连结1A P
42、，在BCP中，112BCBC且11BCBC，所以11BC为BCP的中位线，即1C为CP的中点.2 分又因为在ACP中，D为AC的中点，所以1APDC，且1DC 平面1ABB，AP 平面1ABB，所以1DC平面1ABB；3 分同理，DEAB，且DE 平面1ABB，AB 平面1ABB，所以DE平面1ABB；又1DCDED，1,DC DE 平面1C DE，所以平面1ABB平面1C DE.4 分高三数学试题参考答案第 6页（共 17 页）又1AB 平面1ABB，所以1AB/平面1DEC5 分（2）因为1CC 平面ABC，AB 平面ABC，所以1CCAB，6 分又因为1ABBC，1BC 平面1BCC，1
43、1BCCCC，所以AB 平面1BC C.7分因为DEAB，所以DE 平面1BC C，又因为DE 平面1DEC，所以平面1DEC 平面1BC C，8分所以1BC在平面1DEC上的投影必正在直线1C E上，从而1BC E为1BC与平面1DEC的角.9分设1C Cm，11C EC CCE ，11C BC CCB ，2211111()()2C E C BCCCECCCBCCCE CBm ，10分又221114 cosC E C Bmm ，所以2424222+244cos5414mmmmmmm 242154mmm11分221145mm1212453，当且仅当224mm，即2m 时，cos取最小值2 23
44、.12 分高三数学试题参考答案第 1页（共 17 页）泉州市泉州市 2023 届高中毕业班质量监测（届高中毕业班质量监测（三三）2023.03高三数学试题解析（解答题部分）20（12 分）港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归
45、方程预测是否需要调整支护参数已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所示：t1234567z0.010.040.140.521.382.314.3研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数ebtzk进行拟合令lnuz，计算得：1.24z，17(37)()22.iiitzzt，721()27.5iizz；1.2u，71()25(.)2iiituut，721()30iiuu（1）请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；（通常|0.75r 时，认为可以用线性回归模型拟合变量间的关系）（2）试建立z与t的回归方程，并预测前 8 天该隧道拱顶的累加总下沉量；（3）已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系
46、统将超负荷，隧道有塌方风险若规定每天下午 6 点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方附：相关系数12211)()()()niiinniiiixyyrxyyxx；回归直线yabx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：保密使用前高三数学试题参考答案第 2页（共 17 页）121()()(niiiniixxxyybx，aybx；参考数据：21014.5，ln102.30【命题意图】本题考查线性相关系数、一元线性回归模型、对数运算、对数函数、函数与导数等知识；考查抽象概括，数据处理，运算求解等能力；考查化归与转化，函数与方程思想等；体现应用性、创新性、综合性，导向对数学
47、建模、数学抽象、数学运算、数据分析等核心素养的关注【试题解析】（1）计算，得721()28iitt，1分结合题目数据代入公式，可得12211()25.225.225.20.8692928 3084(0()()niiinniiiittuurtuut，2 分因为0.8690.75r，所以可以用线性回归模型拟合u与t的关系3 分（2）由ebtzk，对等式两边取自然对数，得lnlnzkbt，4 分令lnuz，则lnukbt，计算，得71147iitt，结合题目数据代入公式，可得71721()()25.2=0.928()iiiiittuubtt，5 分由lnkub t，将样本中心点(4,1.2)代入，得
48、ln=4.8k，即4.8ek（计算出ln4.8k 即可得分），6 分即隧道拱顶累加总下沉量z关于时间t的回归方程为0.94.8etz；7 分令8t，计算得0.9 8-4.82.4eez，即预测第 8 天时，该隧道拱顶累加总下沉量为2.4e毫米/天（计算出2.4e即可得分）8 分（3）到t天时，拱顶累加总下沉量为0.94.8*()e(N)tf tt，高三数学试题参考答案第 3页（共 17 页）对()f t求导，得拱顶下沉速率0.94.8()0.9etf t，9 分依题意，()9f t，即0.94.8e10t，所以0.94.8ln10t，10 分由参考数据得，ln102.30，即0.94.82.3
49、0t，解得717.899t，11 分可知当7t（*Nt）时，()9f t，即最晚在第 7 天时，需调整支护参数，才能避免塌方12 分高三数学试题参考答案第 1页（共 17 页）泉州市泉州市 2023 届高中毕业班质量监测（届高中毕业班质量监测（三三）2023.03高三数学试题解析（解答题部分）21（12 分）已知椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为,A B直线l与C相切，且与圆22:4O xy交于,M N两点，M在N的左侧（1）若4 55MN，求l的斜率；（2）记直线AM，BN的斜率分别为1k，2k，证明：12k k为定值【命题意图】本题主要考查直线的方程，直线与圆、椭圆的位置关系等基础知
50、识；考查运算求解、逻辑推理和创新能力等；考查数形结合、函数与方程思想等；体现基础性、综合性与创新性，导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一：解法一：（1）依题意，直线l的斜率必存在，设其方程为ykxb由22,1,43ykxbxy整理，得2224384120kxkbxb，1 分所以2222644 434120k bkb，2243bk2 分O到直线l的距离为21bdk，2222MNdr（r为圆O的半径）3 分因为4 55MN，所以222 545d，4 55d，即24 551bk 4 分由解得12k ，故l的斜率为125 分（2）设11,M x y，22,N xy，12
