1、第二部分第二部分 空间与图空间与图形形第四章第四章 三角形三角形相似三角形相似三角形知识知识点点复习复习1.比例的基本性质比例的基本性质(1)两条线段的长度之比叫做两条线段的比两条线段的长度之比叫做两条线段的比.(2)在四条线段中在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比的比,那么这四条线段叫做成比例线段那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段简称比例线段.(8)平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的所得的对应线段成比例对应线段成比例.推论推论
2、:平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长或两边的延长线线),所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例.1.(1)a,b,c,d是成比例线段是成比例线段,其中其中a3 cm,b2 cm,c6 cm,则线则线段段d的长为的长为 ;对应练习4 cm2.相似三角形相似三角形(1)定义定义:对应角相等对应角相等,成比例的三角形叫做相似三成比例的三角形叫做相似三角形角形.(2)相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似;相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理2:三边对
3、应成比例的两个三角形相三边对应成比例的两个三角形相似似;相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似个三角形相似;对应边对应边平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线或延长线)相交相交,所构所构成的三角形与原三角形相似成的三角形与原三角形相似;直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似似.补充补充:若若CD为为RtABC斜边上的高斜边上的高(如图如图),则则RtABCRtACDRtCBD,且且AC2ADAB,CD2ADBD,BC2BD
4、AB.(3)性质性质:相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ;相似三角形的对应线段相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线边、高、中线、角平分线);相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于 ,面积比等于面积比等于 .相似比的平方相似比的平方相似比相似比成比例成比例相等相等如果如果ACPB,APC与与ACB是否相似是否相似?_ 2.(1)如图如图,P是是ABC的边的边AB上的一点上的一点.相似相似 相似相似不相似不相似对应练习(2)已知已知ABCDEF,相似比是相似比是3:2,则其对应中线之比为则其对应中线之比为 ,对应高之比为对应高之比为 ,周长之比为周长之比为 ,面积比面积比为为 .
5、9:43:23:23:23.相似多边形相似多边形(1)定义定义:各角对应相等各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比相似多边形对应边的比叫做相似比.(2)性质性质:相似多边形的对应角相等、对应边成比例相似多边形的对应角相等、对应边成比例.相似多边形的周长比等于相似比相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方.3.如图如图,四边形四边形ABCD和和EFGH相似相似,则角则角 ,EH的长度的长度x .288183对应练习4.图形的位似图形的位似(1)位似图形定义位似图形定义:如果两
6、个图形不仅相似如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所而且每组对应点所在直线都经过同一点在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形那么这样的两个图形叫做位似图形,这这个点叫做位似中心个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比此时相似比又称位似比.(2)位似图形的性质位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于心的距离比等于 ,位似图形周长的比等于位似图形周长的比等于 ,面积比等于面积比等于 .位似比的平方位似比的平方位似比位似比位似比位似比(2,1)或或(2,1)对应练习练习题2.如图如图,AB,CD相交于点相交于点E,且且ACEFDB,点点
7、C,F,B在同一条在同一条直线上直线上.已知已知ACp,EFr,DBq,则则p,q,r之间满足的数量关之间满足的数量关系式是系式是()C 3.如图如图,D是是ABC边边AB上一点上一点,添加一个条件后添加一个条件后,仍不能使仍不能使ACDABC的是的是()D 4.如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,CA是是BCD的平分线的平分线,且且AC2CDBC,求证求证:ABCDAC.5.如图如图,已知已知BDAB于点于点B,ACAB于点于点A,且且BD4,AC3,ABa,在线段在线段AB上是否存在一点上是否存在一点E,使使BDEACE?6.如图如图,平行四边形平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,
8、BD相交于点相交于点O,E是是CD的中点的中点,则则DEO与与BCD的面积的比等于的面积的比等于 .7.如图如图,在在RtABC中中,ACB90,ACBC,P为为ABC内部内部一点一点,且且APBBPC135.(1)求证求证:PABPBC;(2)求证求证:PA2PC.证明证明:(1)ACB90,ACBC,ABC45PBA+PBC.又又APB135,PAB+PBA45.PBCPAB.又又APBBPC135,PABPBC.8.如图如图,在在ABC和和DEC中中,AD,BCEACD.(1)求证求证:ABCDEC;(2)若若SABC:SDEC4:9,BC6,求求EC的长的长.9.如图如图,ABC与与A
9、1B1C1位似位似,位似中心是点位似中心是点O,若若OA:OA11:2,则则ABC与与A1B1C1的周长比是的周长比是()A 10.已知在平面直角坐标系中已知在平面直角坐标系中,AOB的顶点分别为点的顶点分别为点A(2,1),点点B(2,0),点点O(0,0),若以原点若以原点O为位似中心为位似中心,相似比为相似比为2,将将AOB放大放大,则点则点A的对应点的坐标为的对应点的坐标为 .(4,2)或或(4,2)11.在在ABC中中,点点E是是AB边的中点边的中点,点点F在在AC边上边上,若以若以A,E,F为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似相似,则需要增加的一个条件是则需要增加的一个条件是
10、 .(写出一个即可写出一个即可)(2)写出图中的三对相似三角形写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明并选择其中一对进行证明.12.如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,以对角线以对角线BD为一边构造一个矩形为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边使得另一边EF过原矩形的顶点过原矩形的顶点C.(1)设设RtCBD的面积为的面积为S1,RtBFC的面积为的面积为S2,RtDCE的的面积为面积为S3,则则S1 S2+S3(用用“”“”或或“”填空填空);13.在在ABC中中,点点D,E分别为边分别为边AB,AC的中点的中点,则则ADE与与ABC的面积之比为的面积之比为()C 14.若两个相似三
11、角形的周长比为若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比为则它们的面积比为 .15.如图如图,以点以点O为位似中心为位似中心,将五边形将五边形ABCDE放大后得到五边放大后得到五边形形ABCDE,已知已知OA10 cm,OA20 cm,则五边形则五边形ABCDE的周长与五边形的周长与五边形ABCDE的周长的比值是的周长的比值是 .1:24:916.如图如图,已知已知OAB与与OAB是相似比为是相似比为1:2的位似图形的位似图形,点点O为位似中心为位似中心,若若OAB内一点内一点P(x,y)与与OAB内一点内一点P是一是一对对应点对对应点,则则P的坐标是的坐标是 .(2x,2y)17.如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为4,延长延长CB至至E使使EB2,以以EB为边在上方作正方形为边在上方作正方形EFGB,延长延长FG交交DC于于M,连接连接AM,AF,H为为AD的中点的中点,连接连接FH分别与分别与AB,AM交于点交于点N,K.则下列结则下列结论论:ANH GNF;AFNHFG;FN2NK;SAFN:SADM1:4.其中正确的结论有其中正确的结论有()A.1个个 B.2个个C.3个个 D.4个个 C
