1、 中考数学3.4二次函数考点一二次函数的图象与性质1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-25答案答案By=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B.2.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2y1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12答案答案A由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,
2、y的最大值为2,在对称轴右侧,y随x的增大而减小,又1y1y2,故选A.3.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是()A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案答案D图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错;当x=0时,y=-8,图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20,(x+1)2-9-9,y
3、的最小值为-9,故D正确.224.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案D解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3=+,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0,-m2+6m-13=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40.m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D.2-1-2mx2-
4、6-134mm2-1-6-13,24mmm-12m2-6-134mm-12m5.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m、n的值分别为()A.,-B.5,-6C.-1,6D.1,-257187答案答案D若两条抛物线关于y轴对称,则两条抛物线的对称轴关于y轴对称,两条抛物线与y轴交于同一点,由解得故选D.2-13-0,222-4,mmnnm1,-2,mn6.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与
5、正方形有公共点,则实数a的取值范围是()A.a3B.a1C.a3D.a119191313答案答案A当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a=,由图象可知a3,故选A.19197.(2020江西,22,9分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x-2-1012ym0-3n-3(1)根据以上信息,可知抛物线开口向,对称轴为;(2)求抛物线的表达式及m,n的值;(3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P,描出相应的点P,再把相应的点P用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线;(4)设直
6、线y=m(m-2)与抛物线及(3)中的点P所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系:.解析解析(1)上;直线x=1.详解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知抛物线开口向上.由题表可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根据二次函数图象的对称性可知抛物线的对称轴为直线x=1.(2)由题表可知抛物线过点(0,-3).y=ax2+bx-3.将(-1,0),(2,-3)代入,得解得y=x2-2x-3.当x=-2时,m=(-2)2-2(-2)-3=5;当x=1时,n=12-21-3=-4.(3)如图
7、1所示,点P所在曲线是抛物线.详解:设P(x,y),P(x,y),P是OP的中点,x=2x,y=2y,代入点P所在图象的表达式可得2y=(2x)2-22x-3,即022-30,42-3-3.a bab1,-2.aby=2x2-2x-,为点P所在曲线的表达式,点P所在曲线是抛物线.(4)A3A4-A1A2=1.详解:如图2.设点A1,A2,A3,A4对应的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,A1A2=x2-x1,A3A4=x4-x3,A3A4-A1A2=x4-x3-(x2-x1)=x4+x1-(x3+x2),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它对应的两个根应为x1,x4,x1
8、+x4=2,令y=2x2-2x-=m,可得2x2-2x-m=0,它对应的两个根应为x2,x3,x2+x3=1,A3A4-A1A2=2-1=1.3232328.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.解析解析(1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,-=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.(2分)当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去.当
9、k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意.k=-3.(4分)(2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2.又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且由(1)知k=-3,当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.(6分)点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).(8分)2-62kk易错警示易错警示(1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二者容易混淆,从而导致失分.2ba考点二系数a、b、c的作用1.(2020云南昆明,13,4分)如图,抛物线y=ax2+
10、bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1,m)在抛物线上,则下列结论中错误的是()A.ab时,y10,根据对称轴在y轴右侧可知-0,b0,所以ab0,A选项结论正确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间,B选项结论正确;易知x=-=1,所以b=-2a,又抛物线经过点(0,-2),故函数解析式为y=ax2-2ax-2,把点(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a=,C选项结论正确;易证当t=时,y1=y2;当ty2,当t时,点P2距离对称轴较远,y
11、10.抛物线的对称轴x=-在y轴右侧,-0,而a0,b0.当a0,b0时,反比例函数y=的图象经过第一、三象限,故选D.2ba2bacx3.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x-2-1012y=ax2+bx+ctm-2-2n且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论:abc0;-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数图象的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t(a0)的两个根,正确.对称
12、轴为直线x=,-=,b=-a,当x=-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象过点(-1,m),(2,n),m=n,又当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a,4a-4,错误.故选C.0121212122ba121214121412831283203考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020内蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1,当x取互为相反数的任意两个实数值时,对应的函数值y总相等,则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积
13、为()A.0B.-1C.-D.-1214答案答案D依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴.-(a+2)=0,解得a=-2.方程可化为-4x2+1=0,设方程两根分别为x1,x2,x1x2=-,故选D.14解题关键解题关键明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键.2.(2020贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0n0)有两个根,其中一个根是3,当y=-m时,关于x的方程ax2+bx+c=-m(m0)有两个根,其中一个根是3.则函数y
14、=ax2+bx+c的图象开口向下,设直线y=-m(m0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3,由对称性得点A的横坐标是-5,如图所示.设直线y=-n(0nm)与函数y=ax2+bx+c的图象交于C、D,点C的横坐标为x1,点D的横坐标为x2,a0,-5x1-3,1x23,关于x的方程ax2+bx+c=-n(0nm)有两个整数根,这两个整数根是-4或2,故选B.3.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=x+上,若抛物线y=ax2-x+1(a0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是()A.a-2B.a
15、C.1a或a-2D.-2a0,解得a.若抛物线与线段AB有两个不同的交点,则当a0时,解得a1,1a.综上所述,1a或a-2,故选C.1212321223-212981 10,-1 1 1,aa 1 10,-1 1 1,aa 98984.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CDAB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,Q两点,则线段PQ的长为()A.3B.1+C.4D.2141255答案答案D在y=-x2+x+2中,令x=0,则y=2,C(0,2);令y=0,则-x2+x+2=0
16、,解得x=-2或4,A(-2,0).CDAB,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2,令y=2,则-x2+x+2=2,解得x=0或2,D(2,2).设直线AD的解析式为y=kx+b(k0),将(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得解得直线AD的解析式为y=x+1,令y=x+1中的x=0,则y=1,E(0,1).令-x2+x+2=1,即x2-2x-4=0,解得x=1,所以PQ=(1+)-(1-)=2,故选D.141214121412-20,22,kbkb1,21,kb121214125555思路分析思路分析根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴的交点A,与y轴的交点C的坐标,因为CDAB,所以
17、点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待定系数法求直线AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q的横坐标,进而可求出PQ的长.5.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:抛物线经过点(1,0);方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;-3a+b0.a0.把(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b3.n的最小值
18、为4.7.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.答案答案k-1解析解析若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1.8.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的解是.答案答案x1=-2,x2=5解析解析解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数
19、y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x1=-2,x2=5.解法二:依题意,得解得所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-12=-1+x,化简得x2-3x-10=0,解得x1=-2,x2=5.9-30,1640,a bcabc-,-12.baca考点一二次函数的图象与性质教师专用题组1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是(
20、)A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2答案答案Dy=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1x3).由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D.2.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案C当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-=-0,=0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2ba2-12aa24-4
21、ac ba24(-3)-(2-1)4a aaa-8-14aa3.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,在axa+1时,y随x的增大而增大,函数的最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,在axa+1时,y随x的增大而减小,函数的最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0,不合题意.综上
22、,a的值为-1或2,故选D.4.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为()A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-6答案答案A直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.选A.5.(2020四川南充,10,4分)关于二次函数y=ax2-4ax-5(a0)的三个结论:对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等;若3x4,对应的y的整数值有4个,则-a-1或1a;若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB6,则a0,当3x4时,-3a-5y-5,当3x4时,对应
23、的y的整数值有4个,-9-3a-5-8,1a.若a0,当3x4时,-5y-3a-5,当3x4时,对应的y的整数值有4个,-2-3a-5-1,-0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,得=16a2+20a0,即a(4a+5)0,可得a0.AB6,抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,a1.若a0,即a(4a+5)0,可得a-.AB6,抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,解得a1.a-.综上所述,当a0和a0.然后根据AB6,可得当x=5时函数值y满足的条件,得出a的取值范围,进而可知正确.-42aa6.(2020内蒙古呼和浩
24、特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是()A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5B.当x=12时,y有最小值a-9C.x=2对应的函数值比最小值大7D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点14答案答案Cy=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9,将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1,当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确.当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确.当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+1
25、6,a+16-(a-9)=25,故C中说法错误.=(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a,当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确.故选C.1414141414147.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将RtOAB向右上方平移,得到RtOAB,且点O,A落在抛物线的对称轴上,点B落在抛物线上,则直线AB的表达式为()A.y=xB.y=x+1C.y=x+D.y=x+212答案答案B令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3
26、,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y=x-3.将RtOAB向右上方平移得到RtOAB,且点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,点B的横坐标为4,代入抛物线表达式可得B(4,5).ABAB,可设直线AB的表达式为y=x+b,将点B(4,5)代入可得b=1,直线AB的表达式为y=x+1,故选B.思路分析思路分析首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以向右上方平移后OBx轴,ABAB,又点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B的横坐标为4,从而可求点B的坐标,将点B的坐标代入所设的直线AB的表达式中即可得解.8.(2019安徽,14,5分)在
27、平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是.答案答案a1或a-1解析解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y轴的交点为(0,1-a).分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1.综上,实数a的取值范围是a1或a-1.解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且P,Q都在x轴的下方,令y=x-a+10,解得
28、xa-1.令y=x2-2ax0时,解得0 x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1;当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1.-1,02xaxa-1,20 xaax难点突破难点突破根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.9.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y0时x的取值范围;(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位
29、,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m0,n0,求m,n的值.12解析解析(1)令y=0,则-x2+2x+6=0,x1=-2,x2=6,A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y0时,-2x6.(2)由题意得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=2.点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,=2,n=1,m=-(-1)2+2(-1)+6=,m,n的值分别为,1.12-2626-(-)2nn127272考点二系数a、b、c的作用1.(2020天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0,c1)经过点(2,0),其对称
30、轴是直线x=.有下列结论:abc0;关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根;a-.其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.31212答案答案C抛物线的对称轴是直线x=,即-=,-=1,a+b=0,ab0.ab1,abc0,方程有两个不等的实数根,正确;c1,c=-2a1,a0;b2-4ac0;8a+c0,正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案答案B根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a0.又抛物线的对称轴是直线x=-=1,b=-2a0,abc0,故正确.观察题图发现当x=-2时,y=4a-2b+c0.又b=-2a,8a+c0,当x=-1时,y=a-b+c0,两
31、式相加,得5a+b+2c0,故正确.故选B.2ba3.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=x-b的图象可能是()cxca答案答案B由二次函数的图象可知a0,由反比例函数的图象可知c0,0,-b0,一次函数y=x-b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B.caca4.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是()A.c0B.b2-4ac0C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a
32、-b+c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D.1525.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()A.abc0B.abc0,b2-4ac0C.abc0,b2-4ac0,b2-4ac0,又对称轴在y轴右侧,所以-0,所以b0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B.2ba思路分析思路分析本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x
33、轴的交点个数判断b2-4ac的符号.6.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解析解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,B(0,4).将点B向右平移5个单位长度得到点C,C(5,4).(2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1,A(-1,0).将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,抛物线的对
34、称轴为直线x=-=-=1.(3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称点(3,0).由(2)得y=ax2-2ax-3a.a0时,如图1.2ba-22aa图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,12a4,a.a4,a-.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.43图3将(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,a=-1.综上所述,a或a-或a=-1.1343考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个
35、数是()A.0个B.1个C.2个D.1个或2个答案答案D直线y=x+a不经过第二象限,a0.当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解;当a0,方程有两个解.故方程有1个解或2个解.故选D.易错警示易错警示本题易将a=0的情况漏掉,从而错选C.2.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2t11B.t2C.6t11D.2t6答案答案A抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,b=-2,y=x2-2x+3,一元二次方程x2+2x+3-t=0有实
36、数根可以看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,对于y=x2-2x+3,当x=-1时,y=6,当x=4时,y=11,函数y=x2-2x+3在x=1时取最小值2,2t11.故选A.思路分析思路分析根据所给的抛物线的对称轴求出函数解析式为y=x2-2x+3,将一元二次方程x2+2x+3-t=0有实数根看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,再由-1x0.一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0 x3)沿y轴向上平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y
37、轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当28B.b-8C.b8D.b-8答案答案D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D.2(-3)-1,2,yxyxb5.(2020湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数
38、,a0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4;若点C(-5,y1),D(,y2)在该抛物线上,则y10)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是(填写序号).答案答案解析解析点A、B是抛物线与x轴的交点,ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4,故对;由A、B两点可知抛物线的对称轴方程是x=-1,则(-5,y1)关于抛物线的对称轴的对称点为(3,y1),a-1时,y随x增大而减小,3,y20,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则
39、C点的坐标为(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2,所以OAB的面积S=OC|x1-x2|=12=.21212228.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.1a11,-2a解析解析(1)抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,点A的坐标为.将点A向右平移2个单位长度
40、,得到点B,点B的坐标为.(2)点B在抛物线上,4a+2b-=-,即b=-2a.抛物线的对称轴为直线x=1.(3)点A,B,P.1a10,-a12,-a12,-a1a1a10,-a12,-a11,-2a当a0时,-0,如图1.图1设抛物线上的点C.当x1时,y随x的增大而减小,yC1).当x1时,y随x的增大而增大,xD2.1a1,2Cy1a结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.当a0时,(i)当-a2,如图2.图2设抛物线上的点C.当x-.121a1,2Cy1a设抛物线上的点D(xD,2)(xD1).当x1时,y随着x的增大而减小,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点
41、.(ii)当a=-时,A(0,2),B(2,2),P,Q(2,2),如图3.图3结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).121,22(iii)当a-时,0-2,如图4.图4设抛物线上的点C.当x-.设抛物线上的点D(xD,yD),121a1,2Cy1a11,-DDxya当x1时,y随x的增大而减小,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a-.12解题关键解题关键解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等的关系,进而关注点Q与抛物线的位置关系.9.(2019安徽,22,12分)一次函数y=k
42、x+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.解析解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从
43、而a=-2.(6分)(2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4),所以m=1时,W取最小值7.(12分)解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于
44、点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=,x2=-.所以BC=2,又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4).所以m=1时,W取最小值7.(12分)20 x20 x2m20 x2-2m2-2m2-2m22 2-2mA组20182020年模拟基础题组时间:45分钟分值:55分一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2020广西崇左江州一模,10)若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-m的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3y2答
45、案答案B由y=x2+4x-m=(x+2)2-m-4可得抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2,A(-4,y1),B(-3,y2)在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.-4-3,y2y1.故y3y1y2.故选B.2.(2020海南琼海一模,7)抛物线y=(x-1)2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是()A.y=-(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3C.y=(x-1)2-3D.y=-(x-1)2-3答案答案D抛物线y=(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),此抛物线关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(1,-3),且开口向下,所求抛物线解析式为y=-(x-1)2-3.故选D.3.(2020湖北荆州4月
46、模拟,9)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+ac的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案D由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得a0,-0,b0,ac0.一次函数y=bx+ac的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故选D.2ba4.(2019四川绵阳涪城二诊,6)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是()A.m9B.m9C.m-9D.m-9答案答案A抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,=b2-4ac0,即(-6)2-41m9,m的取值范围是m9.故选A.二、填空题二、填空题(每小题3分,共12分)5.
47、(2020上海长宁二模,11)如果抛物线y=(a-1)x2-1(a为常数)不经过第二象限,那么a的取值范围是.答案答案a1解析解析抛物线y=(a-1)x2-1(a为常数)不经过第二象限,且该抛物线交y轴于负半轴,a-10,解得a0的解集;(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为.解析解析(1)AB=2,抛物线的对称轴为直线x=2,点A的坐标是(1,0),点B的坐标是(3,0).把A、B两点的坐标代入抛物线解析式得解得抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.(2)不等式x2+bx+c0即y0,由题图及(1)得x3.故不等式x2+bx+c
48、0的解集为x3.(3)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,顶点坐标为(2,-1).易知点D,E不可能都在x轴下方.当点E,D均在x轴的上方时,由题意得DEAB,AD=AB=BE=DE=2,由抛物线的对称性,不妨设点D在对称轴左侧,设对称轴与x轴的交点为G,则EG=,E(2,).由DE=2得D的坐标为(0,).当x=0时,y=02-40+3=3,故此时点D不在抛物线上,不合题意.10,930,bcbc-4,3,bc222-13333当点D,E位于x轴两侧时,如图,根据“菱形的对角线互相垂直平分,抛物线的对称性”得点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点,即D(2,-1),故答案是(2,-1).B组
49、20182020年模拟提升题组时间:45分钟分值:50分一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2020江西南昌一模,6)对于二次函数y=ax2+(1-2a)x(a0),下列说法错误的是()A.该二次函数图象的对称轴可以是y轴B.该二次函数图象的对称轴不可能是直线x=1C.当x2时,y随x的增大而增大D.该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧答案答案D二次函数图象的对称轴为直线x=-,当a=时,x=0,此时对称轴是y轴,故选项A中说法正确;a0,x=-=1-2时,y随x的增大而增大,故选项B、C中说法正确;当a=时,x=-=-1,此时对称轴在y轴左侧,故选项D中说法错误.故选D.1-
50、22aa121-22aa12a141-22aa2.(2018湖北黄石模拟,8)若a0,c0,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象为()答案答案Ba0,抛物线的开口向下,故C项错误;c0,抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,故A项错误;a0,x=-0,对称轴在y轴右侧,故D项错误.故选B.2ba3.(2020辽宁大连金州一模,10)如图,抛物线y=x2+2x-3与x轴相交于A、B两点(点A位于点B左侧),与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CDAB,BD与y轴相交于点E,过点E的直线FG平行于x轴,与抛物线交于F,G两点(点F位于点G左侧),则线段FG的长为()A.1+B.3C.2D.2+3
