1、清外清北 向量法研究三角形的性质关键词：向量语言表述三角形的重心、垂心、内心、外心 （一）、三角形的四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点 （外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。（二）、四线与向量的向量语言1.中线: 中线上的动点:（1） 或（2）O是的重心2.高线: 高线上的动点:（1）,（2）O是的垂心3.角平分线: 角平分线上的动点:（1）（2）O是的外心 （课本24页24题）4.中垂线:中垂线上的动点: （1）,
2、（2）O是的内心 （三）、四心与向量的结合（记忆：拉力平衡原则） 应用:（1）是的重心. =1:1:1 （2）为的垂心. （3）O为的内心. （4）为的外心 （5）欧拉定理著名的“欧拉定理”-是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系，在中，分别是的外心、重心、垂心， “欧拉线”-， 探索一、三角形内心与向量 【例 1】:是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心ACBCCP【解】：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平
3、分，则知选B.【例2】：在直角坐标系中，已知点A(0,1)和点B(3, 4)，若点C在AOB的平分线上，且，则=_.【解】：点C在AOB的平线上，则存在使=, 而，可得，.【例3】：已知O是ABC所在平面上的一点，若= ，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心【解】：，则= 0，得. 因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分BAC. 又、共线，知AO平分BAC. 同理可证BO平分ABC，CO平分ACB，所以O点是ABC的内心. 探索二：三角形垂心与向量【例 1】: P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【解】：由. 即则所以P为
4、的垂心. 故选D.【例2】：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心【解】：由已知得，= 0，即APBC，所以动点P的轨迹通过ABC的垂心，选B.【例 3】. 如图，AD、BE、CF是ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。ABCDEFH【证】：设BE、CF交于一点H，= a, = b, = h,则= h - a , = h - b , = b - a , 又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点 探索三、三角形重心与向量结合【例1】 P是ABC所在平面内任一点
5、.G是ABC的重心.【证明： G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）【例2】.若 为内一点， ，则 是 的（ ）A内心B外心 C垂心 D重心【解】：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。【例3】：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心【解】：由已知得，由正弦定理知，设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选A
6、 . 探索四、三角形外心与向量【例1】: 若为内一点，则是的（ ）A内心 B外心 C垂心 D重心【解】：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心，选B。 【例2】: 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心【解】：设BC的中点为D，则，则由已知得，= 0 . DPBC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过ABC的外心. 选C .【例3】：已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心【解】：由已知
7、得：= 0= 0. 所以O点是ABC的外心. 选A . 探索五、三角形的“拉力平衡原理”【例 1】：已知点O是ABC内一点，= 0, 则：(1) AOB与AOC的面积之比为_；(2) ABC与AOC的面积之比为_；(3) ABC与四边形ABOC的面积之比为_.【解】 (1) 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则= 0, 所以O是AEF的重心. ，.(2) ，=，又, .(3) =， .【例 2】（1）是内一点，则= (2) 设在内，且，则_； （3）（浙江）设P为ABC所在平面上一点,且满足3PA+4PC=mAB(m0).若ABP的面积为8,则ABC的面积
8、为 .【例 3】: 已知向量，满足条件+=0，|=|=|=1，求证：P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）【证】： 由已知+=-，两边平方得=， 同理 =， |=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.探索六：欧拉定理著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到
9、外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.【例 】在中，分别是的外心、重心、垂心。（1） 求证：；（2） 求证：三点共线；（3） 若，求的大小.解：连接BO并延长交外接圆于点D 连接AD,CD,AH,CH,显然，所以，同理，所以，即，所以因为是是的重心，所以=。，则，所以，两边平方并注意到，又=，课后练习1.(1)已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足,则P的轨迹一定通过的（C）A. 外心 B.内心 C.重心 D.垂心 （2）点P所在平面内一点，且满足,则G是的(C)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心（3）已知向量满足条件，则是
10、(A)A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形（4）已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则 3 。（5）已知A,B,C是平面上不共线三点，O是平面ABC内的一定点，动点P满足，则动点P轨迹一定过( D ) A. 外心 B.内心 C.垂心 D.重心2.(1)已知O为所在平面内一点，满足：,则O是的(D)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心（2）已知O为所在平面内一点，满足,则点O是的(D)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心（3）已知O点位所在平面内一点，若，则直线AO通过是的(C)A. 外心 B.内心 C.垂心 D.重心3 .(1)
11、若O为内一点，则O是的（B ）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心(2）设O为所在平面内一点，且则点O是的( A )A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心（3）已知A,B,C是平面上不共线三点，O是平面ABC内的一定点，动点P满足，则点P的轨迹一定过的(A)A. 外心 B.内心 C.垂心 D.重心（4）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 14.(1)已知A、B、C是不共线三点，O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若,则点P的轨迹一定过的(B)A. 外心 B.内心 C.垂心 D.重心(2）已知O为所在平面内一点，,点O是的(B)A. 外心 B.内心 C.垂心 D.重心（3）已知O点位所在平面内一点，若则直线AO通过是(B)A. 外心 B.内心 C.垂心 D.重心（4）已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得=，=，故选B.5.已知非零向量满足,则为(C)A. 锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
