1、课时22特殊的平行四边形课标要求1.理解矩形、菱形、正方形的概念,以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.2.探索并证明矩形的性质定理(矩形的四个角都是直角,对角线相等)和判定定理 (三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形).3.探究并证明菱形的性质定理(菱形的四条边相等,对角线互相垂直)和判定定理 (四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形).4.探索并证明正方形的性质定理和判定定理,正方形具有矩形和菱形的一切性质.矩形定义有一个角是的平行四边形叫做矩形性质(1)边:对边平行且相等;(2)角:四个角都是;(3)对角线:两条对角线;(4)对称性:矩形既是
2、轴对称图形,也是中心对称图形,矩形有条对称轴知识梳理直角直角相等且互相平分2一、矩形矩形判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有个角是直角的四边形是矩形;(3)对角线的平行四边形是矩形面积S矩形ABCD=ab(其中a为长,b为宽);SAOB=SCOD=SAOD=SCOB(续表)三相等菱形定义 有一组 的平行四边形叫做菱形性质(1)边:菱形的对边平行,四条边都相等;(2)角:对角相等;(3)对角线:两条对角线 ,且每一条对角线平分一组对角;(4)对称性:菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是 二、菱形邻边相等垂直平分对角线的交点(续表)邻边相等相
3、等互相垂直正方形定义 四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形性质(1)边:四条边;(2)角:四个角都是;(3)对角线:对角线 ,每条对角线平分一组对角;(4)对称性:正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有条三、正方形相等直角4垂直平分且相等(续表)四、特殊平行四边形之间的关系1.八下P53例1改编如图22-1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4,则AC=.对点演练题组一必会题8图22-12.八下P57练习第1题改编四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,则AC=,BD=,菱形ABCD的面积为.86243.八下P58练
4、习第3题改编如图22-2,两张矩形纸条交叉叠放在一起,重合部分构成了一个四边形ABCD,则四边形ABCD的形状是;若为两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起,则四边形ABCD的形状是.平行四边形图22-2菱形4.八下P60习题18.2第6题如图22-3,AEBF,AC平分BAD,且交BF于点C,BD平分ABC,且交AE于点D,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.证明:AC平分BAD,BAC=CAD.又AEBF,BCA=CAD,BAC=BCA,AB=BC.同理可证AB=AD,AD=BC.又ADBC,四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,平行四边形ABCD是菱形.图22-35.八下P62习题18.
5、2第13题如图22-4,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么图形,并证明你的结论.解:四边形EFMN是正方形.证明:AE=BF=CM=DN,AN=DM=CF=BE.A=B=C=D=90,ANE DMN CFM BEF.EF=EN=NM=MF,ENA=DMN.四边形EFMN是菱形.ENA=DMN,DMN+DNM=90,ENA+DNM=90,ENM=90,四边形EFMN是正方形.图22-46.八下P62习题18.2第15题如图22-5,四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点,DEAG于点E,BFDE,且交AG于点F.求证:AF-
6、BF=EF.证明:四边形ABCD是正方形,AD=AB,BAD=90.DEAG,AED=90,ADE+DAE=90.又BAF+DAE=BAD=90,ADE=BAF.BFDE,AFB=DEG=AED,ABF DAE(AAS),BF=AE.AF-AE=EF,AF-BF=EF.图22-5【失分点】在原四边形的基础上增加条件判定正方形时出错;对各类四边形各自的中点四边形的判定出现错误.题组二易错题7.下列命题,其中是真命题的为()A.对角线相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的菱形是正方形C.对角线相等的矩形是正方形D.一组邻边相等的矩形是正方形D8.2018湘潭如图22-6,已知点E,F,G,H
7、分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()图22-6A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形B考向一特殊平行四边形的性质和判定例12019柳州柳北第五中学模拟已知:如图22-7,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DEAC,AEBD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=4,BCD=120,求四边形AODE的面积.图22-7解:(1)证明:DEAC,AEBD,四边形AODE是平行四边形.在菱形ABCD中,ACBD,平行四边形AODE是矩形.例12019柳州柳北第五中学模拟已知:如图22-7,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DEAC,AEBD.(2)若
8、AB=4,BCD=120,求四边形AODE的面积.图22-7精练1 求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图22-8,四边形ABCD是平行四边形,ACBD,求证:四边形ABCD是菱形.图22-8证明:四边形ABCD是平行四边形,AO=OC,BDAC,DA=DC(线段的垂直平分线的性质),四边形ABCD是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形).精练2 求证:对角线相等的平行四边形是矩形.(要求:画出图形,写出已知和求证,并给予证明)精练3 2018柳州如图22-9,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.(1)求菱形ABCD的周长;(2)若AC=2,求BD的长.图22
9、-9精练4 2017柳州如图22-10,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD边上的点,BE,AF交于点O,且AE=DF.(1)求证:ABE DAF;(2)若BO=4,OE=2,求正方形ABCD的面积.图22-10解:(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAE=D=90.又AE=DF,ABE DAF.精练4 2017柳州如图22-10,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,CD边上的点,BE,AF交于点O,且AE=DF.(2)若BO=4,OE=2,求正方形ABCD的面积.图22-10解:(2)ABE DAF,FAD=ABE.又FAD+BAO=90,ABO+BAO=90.AOB=
10、EAB=90.ABOEBA.AB BE=BO AB,即AB 6=4 AB.AB2=24.正方形ABCD的面积是24.精练5 2020连云港如图22-11,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.图22-11精练5 2020连云港如图22-11,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N.(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.图22-11考向二最短路线问题例2如图22-12,在周长为12的菱形ABCD中,A
11、E=1,AF=2.若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为()A.1B.2C.3D.4C图22-12解析如图,作点F关于BD的对称点F,连接EF,交BD于点P.EP+FP=EP+FP.由两点之间线段最短可知,当E,P,F在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+FP=EF.四边形ABCD为菱形,周长为12,AB=BC=CD=DA=3,ABCD,AF=2,AE=1,DF=DF=AE=1.四边形AEFD是平行四边形.EF=AD=3.EP+FP的最小值为3.故选C.图22-13B精练2 如图22-14,已知正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点.(1)如图,Q为CD边上一点
12、,且BPQ=90,求证:PB=PQ;(2)如图,若正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,求PB+PE的最小值.图22-14精练2 如图22-14,已知正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点.(1)如图,Q为CD边上一点,且BPQ=90,求证:PB=PQ;图22-14精练2 如图22-14,已知正方形ABCD中,点P为对角线AC上一点.(2)如图,若正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,求PB+PE的最小值.图22-14考向三特殊平行四边形的相关计算图22-15【方法点析】解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键.精练1
13、2018宁夏将一张矩形纸片按如图22-16所示折叠,若1=40,则2的度数是()图22-16A.40B.50C.60D.70D解析如图,易知23=1+180=220,从而3=110,又由平行线的性质,得2+3=180,进而2=70,故选D.精练22019赤峰如图22-17,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是()图22-17A.2.5B.3C.4D.5A精练32019扬州如图22-18,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=
14、.图22-18精练4 如图22-19,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把B沿AE折叠,使点B落在点B处.当CEB为直角三角形时,BE的长为.图22-19探索特殊的平行四边形教材母题人教版八下P68复习题18T8如图22-20,ABCD是一个正方形花园,E,F是它的两个门,且DE=CF,要修建两条路BE和AF,这两条路等长吗?它们有什么位置关系?请证明你的猜想?图22-20解:BE=AF,BEAF.证明如下:四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD,C=D=ABC=BAD=90.DE=CF,AE=AD-ED=CD-CF=DF.图22-21 素养提升数学文化笛卡尔几何坐标几何2020常州数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形ABCD中,AB=2,DAB=120.如图22-22,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是.图22-22
