1、提分一节课 三角形中的辅助线类型一 与角平分线相关的辅助线已知图形中出现角平分线，可以构造全等三角形和等腰三角形：已知图形中出现角平分线，可以构造全等三角形和等腰三角形：在有角平分线的图形中添加辅助线的在有角平分线的图形中添加辅助线的“通性通法通性通法”联想角平分线的性质定理，构造基本图形联想角平分线的性质定理，构造基本图形 （如图（如图1 1）；）；联想角的轴对称性，以角平分线所在直线为对称轴构造全等三角形或等联想角的轴对称性，以角平分线所在直线为对称轴构造全等三角形或等腰三角形腰三角形 （如图（如图2 2、图、图3 3）；）；过角平分线上一点作一边的平行线构造等腰三角形过角平分线上一点作一
2、边的平行线构造等腰三角形 （如图（如图4 4），正所谓），正所谓“角分线遇平行线，等腰必出现角分线遇平行线，等腰必出现”.”.1.如图，在如图，在ABC 中，中，B=30,C=45,AD平平 分分BAC，交，交 BC 于点于点D，DEAB，垂，垂足为足为 E.若若DE=1，则，则BC的长为的长为（）A.B.C.D.3A2.如图，如图，ABC中，中，BAC=90，SABC=10，AD平平 分分BAC，交，交BC于点于点D，BEAD交交AD的延长线于点的延长线于点E，连接，连接CE，则，则ACE的面积的面积为为 .5223232解析：如图析，过点解析：如图析，过点D 作作DFAC于点于点F，易证易
3、证DE=DF=1，RtEBD中，中，BD=2，RtDCF中，中，DC=，BC=.2 22 22 2 解析：如图析，延长解析：如图析，延长AC 和和BE，交于点，交于点F，易证，易证ABF为等腰直角三角形，结合为等腰直角三角形，结合等腰三角形三线合一，得等腰三角形三线合一，得2 2SAEF=SABF，BE=EF，2 2SCEF=SBCFSACE=SAEF-SCEF=1/2(SABF-SBCF)=1/2SABC=5 这类题目图形已经具备角平分线性质定理基本图形的一部分，第这类题目图形已经具备角平分线性质定理基本图形的一部分，第 1 1 题题中再作中再作AC 的垂线的垂线DF 即可形成完整图形，同时
4、构造了特殊即可形成完整图形，同时构造了特殊DFC为等腰直角为等腰直角三角形；第三角形；第2 2 题中延长题中延长AC 和和BE 交于点交于点F，得到三线合一的基本图形，这体，得到三线合一的基本图形，这体现添加辅助线的通法现添加辅助线的通法“见局部构造整体、见特殊角见局部构造整体、见特殊角3030，4545，6060构造特构造特殊三角形殊三角形”.”.随堂笔记3.3.如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BAC的平分线的平分线,求证：求证：AB:AC=BD:CD证明：如答图证明：如答图1 1，过点，过点D作作DEAC交交AB于点于点E，则则EDA=CAD，BE:AE=BD:CD，又又AD 是是B
5、AC的平分线，的平分线，EAD=CAD，EAD=EDA，AE=DE.DEAC，BED=BAC，又又B=B，BED BAC，BE:BA=DE:CA，即，即 BE BE:AEAE=AB AB:ACAC，AB:AC=BD:CD.【另解【另解1 1】如答图】如答图2 2,过点过点C 作作CEAD，交，交BA的延的延长线于点长线于点E，根据平行线分线段成比例得，根据平行线分线段成比例得AB:EA=DB:CD，再证，再证AC=EA，则，则AB:AC=BD:CD【另解【另解2 2】如答图】如答图3 3，过点，过点C作作CEAB，交，交AD 延延长线于点长线于点E，则，则ABD ECD，得，得AB:EC =B
6、D:CD，再证，再证AC=EC，则，则AB:AC=BD:CD4.如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，BD平分平分ABC，交，交AC于点于点E，连接，连接CD（1）若若A=60，则，则 CE 与与 BC 之间的数量关系为之间的数量关系为 ；（2）若若A=90，猜想，猜想CE与与BC之间的数量关系，并证明；之间的数量关系，并证明；（3）若若A=D=90，CD=2，求，求BE的长的长2CE=BC（3 3）如答图如答图2 2，延长，延长BA和和CD交于点交于点G，BDC=90=90，BDCG，又又BD平分平分ABC，G=BCG，GD=CD=2，CG=4.BAC=BDC=90，G+GCA=90，G
7、+EBA=90，GCA=EBA，又又BAE=CAG=90，AB=AC，BAE CAG，BE=CG=4解解:（1 1）2 2CE=BC.解析：易证解析：易证ABC为等边三角形，根据等腰三角形三线合一得为等边三角形，根据等腰三角形三线合一得2 2CE=AC=BC.（2 2）BC=（）CE.证明如下：证明如下：如答图如答图1 1，过点，过点E 作作EFAB 交交BC 于点于点FA=90=90，AB=AC，ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ABC=ACB=45 45，BD平分平分ABC，ABD=CBDEFAB，ABD=BEF，CBD=BEFBF=EFEFAB，ABC=EFC=45，EFC为等腰
8、直角三角形，为等腰直角三角形，EF=CE=BF，FC=CE BC=BF+FC=CE+CE=（1+）CE2 21 12 22 22 2类型二 与中点相关的辅助线1.已知直角三角形斜边上的中线已知直角三角形斜边上的中线（或中点），构造等腰或等边三角形：（或中点），构造等腰或等边三角形：图图1（斜边中线将其分为等腰（斜边中线将其分为等腰ACD和和BCD）图图 2（含（含 30角的直角三角形，斜边中线将角的直角三角形，斜边中线将其分为等腰其分为等腰ACD和等和等BCD）2.2.已知多个中点或中线，构造中位线已知多个中点或中线，构造中位线：图图3（已知中点，构造中位线）（已知中点，构造中位线）图图4（已
9、知中线，构造中位线）（已知中线，构造中位线）3.已知中点或中线，通过倍长中线已知中点或中线，通过倍长中线（或中线的一部分）（或中线的一部分）构造全等三角形：构造全等三角形：图图5 5（倍长中线，构造全等）（倍长中线，构造全等）图图6（倍长中线的一部分，构造全等）（倍长中线的一部分，构造全等）图图7 7（向中线所在直线作垂线，构造全等（向中线所在直线作垂线，构造全等）在已知中点或中线的图形中添加辅助线的在已知中点或中线的图形中添加辅助线的“通性通法通性通法”：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线性质定理根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线性质定理可以构造定理对
10、应的基本图形可以构造定理对应的基本图形（如图（如图1、图、图2、图、图3、图、图4）；）；根据线段的中心对称性可以以中点为对称中心构造全等三角形根据线段的中心对称性可以以中点为对称中心构造全等三角形（如图（如图5、图图6、图、图7）；）；在添加辅助线时，常有在添加辅助线时，常有“见局部构造整体见局部构造整体”“”“有对称性扩大对称性有对称性扩大对称性”的的通用规律通用规律.1.如图，如图，ABC 的中线的中线 BD，CE 相交于点相交于点 O，点，点 F，G 分别分别是是 BO，CO 的中点，试探究的中点，试探究EF 与与DG的数量关系及位置关系的数量关系及位置关系.解：如答图解：如答图1 1
11、，连接，连接AO，点点E是是AB的中点，点的中点，点F是是BO的中点，的中点，EF是是ABO的中位线，的中位线，EFAO且且2EF=AO；同理，同理，DG是是ACO的中位线，的中位线，DGAO 且且2DG=AO ；EFDG 且且EF=DG .【另解【另解1 1】如答图如答图2 2，连接，连接ED，FG，则，则ED是是ABC的中位线，的中位线，FG是是OBC的中位线，的中位线，得得EDBC且且2 2ED=BC，FGBC且且2 2FG=BC，EDFG且且ED=FG.四边形四边形EFGD为平行四边形，为平行四边形，EFDG且且EF=DG.2.如图，已知如图，已知ABC和和CEF均为等腰直角三角均为等
12、腰直角三角形，点形，点B在在CE上，上，ABC=CEF=90，连接，连接AF，点，点M是是AF的中点，连接的中点，连接MB.求证：求证：MBCF.证明：如答图证明：如答图1 1，延长，延长AB交交CF于点于点N，ABC和和CEF均为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，BAC=ACB=ECF=45=45，ACN=90=90，ANC=45=45，ACN为等腰直角三角形为等腰直角三角形.ABC=90=90，AB=NB，即点，即点B为为AN的中点，的中点，又又点点M为为AF的中点，的中点，MB为为ANF的中位线，的中位线，MBNF，即，即MBCF【另解【另解1 1】如答图】如答图2 2,延长延长BM交
13、交EF于点于点N，易证，易证ABM FNM，得，得AB=FN=BC，则，则EN=EB，EBN为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，EBN =ECF=45=45，MBCF.【另解【另解2 2】如答图】如答图3 3，连接，连接CM，易证，易证ACF=90=90,即即ACF为直角三角形，由直角三角形斜边上的中为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得线是斜边的一半，得AM=CM，进而证，进而证ABMCBM，ABM =CBM=135=135,EBM =ECF，MBCF.3.如图，已知在如图，已知在ABC 中，中，AD 是是 BC 边上的中线，边上的中线，E 是是 AD 上一点，延长上一点，延
14、长 BE 交交 AC 于点于点 F，若，若 AF=EF，求证：，求证：AC=BE证明：如答图证明：如答图1 1,延长延长AD到点到点G，使，使DG=AD，连接，连接BG.AD是是BC边上的中线，边上的中线，BD=CD，BDG=CDA，GD=AD，GDB ADC.GB=AC,G=EAF.AF=EF,EAF=AEF，G=AEF=BED，BE=BG，AC=BE【另解】如答图【另解】如答图2 2，延长，延长AD到点到点G,使使 DG=ED，连接，连接CG.易证易证BDECDG，得，得BE=CG，BED=G，BFCG，结合，结合AE=AF 得得EAF=AEF=G，AC=GC，AC=BE.4.如图，在如图
15、，在ABC 中，中，AD 是是 BC 边上的中线，直线边上的中线，直线EGAD 于点于点 F，且交，且交 AB 于点于点 E，交，交 AC 于点于点 G，求证：求证：证明：如答图，分别过点证明：如答图，分别过点 B,C 作作BMAD交交AD 的延长线于点的延长线于点M，CNAD于点于点N.EGAD，EGBMCN，且且MBD=NCD，AD 是是BC 边上的中线，边上的中线，BD=CD.在在BDM 和和CDN中，中，MBD=NCD,BD=CD,BDM=CDNBDM CDN，DM=DN，5.如图，已知如图，已知BAC=EAD=90，M是是 BD的中的中点，点，AB=AC，AE=AD，证明：直线，证明
16、：直线 AM 直线直线CE.证明：如答图，延长证明：如答图，延长AM到点到点F，使使MF=AM，交，交CE于点于点N，连接连接BF，交交AE于点于点G，交，交CE于点于点H.M是是BD的中点，的中点，BM=DM，在在BMF和和DMA中，中，MF=MA,BMF=DMA,BM=DM.BMF DMA.BF=DA=AE，F=DAM，BFAD，AGF+EAD=180，EAD=90,AGF=90,ABF+BAG=90，BAG+CAE=BAC=90,ABF=CAE，在在ABF和和CAE中，中，AB=CA,ABF=CAE,BF=AE.ABF CAE.F=E，E+EHG=AGF=90，F+FHN=90，FNH=
17、90，AM CE.1.1.已知一个中点时要联想到中线：中线将三角形面积等分；中线分成的两已知一个中点时要联想到中线：中线将三角形面积等分；中线分成的两个三角形周长之差等于两三角形不相等的两边之差；直角三角形斜边中线定理；个三角形周长之差等于两三角形不相等的两边之差；直角三角形斜边中线定理；等腰三角形三线合一；倍长中线法等腰三角形三线合一；倍长中线法.2.2.已知两个中点时要联想到构造中位线：已知两个中点时要联想到构造中位线：有三角形无中位线构造中位线；有三角形无中位线构造中位线；有中点连线无三角形则构造三角形有中点连线无三角形则构造三角形.随堂笔记类型三 截长补短类辅助线截长补短法经常用来证明
18、线段的和差问题，特别是在角平分线条件存在下应用更为广泛截长补短法经常用来证明线段的和差问题，特别是在角平分线条件存在下应用更为广泛.截截长补短法通常通过构造全等或等腰三角形，从而达到转移线段的目的长补短法通常通过构造全等或等腰三角形，从而达到转移线段的目的.这也可以由图形旋转或翻这也可以由图形旋转或翻折来实现折来实现.1.截长法：长线段上截取两较短线段中的一条，再证明截剩部分与另一较短线段相等，例截长法：长线段上截取两较短线段中的一条，再证明截剩部分与另一较短线段相等，例如如 c上截取上截取 a，截剩部分为，截剩部分为d，证明，证明d=b，即，即c-a=b；2.补短法：将一条短线段补到另一条短
19、线段上，构造一条新线段，再证明构造的新线段与补短法：将一条短线段补到另一条短线段上，构造一条新线段，再证明构造的新线段与长线段相等，例如延长线段长线段相等，例如延长线段a，使其长度为，使其长度为d=a+b，证明，证明d=c，即，即a+b=c.1.1.如图，在如图，在ABC中，中，B=2=2C，BAC的平的平分线分线AD交交BC于点于点D求证：求证：AB+BD=AC【另解【另解2 2】延长】延长AB到点到点E,使使BE=BD，先证先证E=C，再证，再证ACDAED，AC=AE=AB+BE=AB+BD.证明：如答图证明：如答图1 1，在，在AC上取一点上取一点E使使AB=AE，AD平分平分BAC，
20、BAD=EAD.在在ABD和和AED中，中，AB=AE,BAD=EAD,AD=AD.ABD AED，B=AED,BD=ED，B=2C,AED=2C，AED=C+EDC，EDC=C，ED=EC，BD=EC，AB+BD=AE+EC=AC【另解【另解1 1】如答图】如答图2 2，延长，延长AB 到点到点E，使使AE=AC，易证，易证ACDAED，C=E，ABC=BDE+E=2C，BDE=E，BD=BE，得证得证.2.2.如图，如图，EC 与与AD 相交于点相交于点B，BE=BC，AB=BD+CD，求证：，求证：AEC=A+C.证明：如答图，在证明：如答图，在AB上截取上截取BF=BD，连接，连接EF
21、.在在EBF 和和CBD中，中，B BE=BC,EBF=CBD,BF=BD.EBF CBD.FEB=C，EF=CD.AB=BD+CD，AB=BF+EF，AB=AF+BF，EF=AF，A=FEA，AEC=FEA+FEB=A+C3.如图，在如图，在ABC 中，中，ABC 60，CD平分平分ACB交交 AB 于点于点D，点点E 在线段在线段CD上上（点（点E 不与点不与点C,D重合），且重合），且EAC=2EBC（1）若若 EBC=27,且且 EB=EC，求求 AEC 的度数；的度数；（2）求证：求证：AE+AC=BC.（1 1）解：解：EB=EC，EBC=ECB=27，CD平分平分ACB，ACD=
22、ECB=27，EAC=2EBC=54，AEC=180-27-54=99.（2 2）证明：如答图）证明：如答图,在在BC上取一点上取一点M，使，使CM=CA，CD平分平分ACB,ACE=MCE，在在ACE与与MCE中，中，CA=CM,ACE=MCE,CE=CE.ACEMCE，AE=ME，EMC=EAC=2EBC，又又EMC=EBC+BEM，EBC=BEM，BM=EM=AE，BC=BM+CM=AE+AC.截长补短法的思路为：通过截长或补短构造全等三角形，再根据全截长补短法的思路为：通过截长或补短构造全等三角形，再根据全等性质转移线段等性质转移线段.一般方法为：截长或补短；连接线段；证明全一般方法为
23、：截长或补短；连接线段；证明全等；转移线段等；转移线段.随堂笔记类型四 与旋转变换相关的辅助线 当图形具有相等邻边特征时，可以把图形当图形具有相等邻边特征时，可以把图形（或它的一部分）（或它的一部分）绕着相等邻绕着相等邻边的公共端点旋转适当的角度，构造特殊三角形，从而为原题的解决创造必边的公共端点旋转适当的角度，构造特殊三角形，从而为原题的解决创造必要的条件要的条件.旋转变换方法主要适用于等腰三角形、等边三角形、正方形等含有特殊旋转变换方法主要适用于等腰三角形、等边三角形、正方形等含有特殊角的图形中角的图形中.例如，出现中点时可旋转例如，出现中点时可旋转 180构造中心对称图形；出现构造中心对
24、称图形；出现 90时时可旋转可旋转 90构造直角三角形，解决三边二次关系问题；出现构造直角三角形，解决三边二次关系问题；出现60或或120时时可构造等边三角形可构造等边三角形.1.如图所示如图所示，点点 P 位位 于于 等等 边边 ABC 的的 内内 部部，且且 ACP=CBP（1）BPC 的度数为的度数为 ；（2）延长延长 BP 至点至点 D，使得，使得 PD=PC，连接，连接 AD，CD.请依题意补请依题意补全图形并证明：全图形并证明：AD+CD=BD.120 120 （2 2）补全图形如答图）补全图形如答图.证明：证明：CPD=CBP+PCB=ACP+PCB=60，又又PC=PD，DCP
25、是等边三角形，是等边三角形，DC=PC，DCP=60=60.DCA=DCP-ACP=60-ACP，PCB=ACB-ACP=60-ACP，DCA=PCB.在在DCA和和PCB中，中，DC=PC,DCA=PCB,AC=BC.DCA PCB.AD=BP，AD+CD=BP+DP=BD.2.2.如图，在如图，在ABC中，中，BAC=90=90，AB=AC，D为为BC边上一点，求证：边上一点，求证：BD2+CD2=2AD2.证明：如答图证明：如答图1 1，过点，过点C作作CEBC且且CE=BD，连接，连接AE，DE.ABC中，中，BAC=90，AB=AC，ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，B=AC
26、B=45=45 CEBC，ACE=90-ACD=45，B=ACE.在在ABD和和ACE 中，中，AB=AC,B=ACE,BD=CE.ABDACE.AD=AE，BAD=CAE，BAD+DAC=CAE+DAC=90，ADE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，在在RtADE中，中，AD2+AE2=DE2，即即2AD2=DE2，在在RtDCE中，中，CD2+CE2=DE2，BD2+CD2=2AD2.【另解【另解2 2】如答图】如答图3 3，过点，过点D 作作DEAB 于点于点E，DFAC于点于点F，易证，易证AEDF为矩形，为矩形，DE=AF.易证易证BED和和DFC均为等腰直角三角形，均为等腰直角三
27、角形，BE=DE，CF=DF，BD2=BE2+DE2=2DE2=2AF2，CD2=DF2+CF2=2DF2.在在RtADF 中，中，AD2=DF2+AF2，推得推得BD2+CD2=2AD2【另解【另解1 1】如答图】如答图2 2，过点，过点A作作AEBC于点于点E，则在则在RtADE 中中 ，AD2=AE2+DE2，由由ABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，易证易证AE=BE=CEBD2+CD2=（BE-DE）2+（CE+DE）2=BE2+CE2+2DE2=2AE2+2DE2=2AD2，即，即BD2+CD2=2AD2.3.3.问题情境问题情境 在在ABC中，中，ACB=90=90，以，以A
28、B为斜边作为斜边作等腰直角三角形等腰直角三角形ABD，且点，且点D与点与点C在直线在直线AB的两侧，连接的两侧，连接CD （1 1）如图）如图1 1，若，若ABC=30=30，则，则CAD的度数为的度数为 ；实践探究（实践探究（2 2）若）若AC=1=1，BC =3=3则则CD长为多少呢？长为多少呢？小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，得出了求讨论，得出了求CD长的几种想法：长的几种想法：想法想法1 1：延长：延长CB，在，在CB延长线上取延长线上取BE=AC，连接，连接DE要求要求CD长，证明长，证明ACDBED，且，
29、且CDE为等腰直角三角形为等腰直角三角形想法想法2 2：过点：过点D作作DHBC于点于点H，DGCA交交CA的延长线于的延长线于点点G，要求要求CD的长，需证明的长，需证明BDH ADG，且且CHD为为等腰直形等腰直形 请参考上面的想法，依题意将图请参考上面的想法，依题意将图2 2补全并帮助小补全并帮助小聪求出聪求出CD的长；（选一种方法即可）的长；（选一种方法即可）拓展延伸：（拓展延伸：（3 3）请直接写出线段）请直接写出线段AC，BC，CD之间的数量之间的数量关关系系（直接写出即可）（直接写出即可）解析：解析：ACB=ADB=90，CAD+CBD=180 ADB是等腰直角三角形，是等腰直角
30、三角形，ABD=45=45，ABC =30=30，CBD=ABD+ABC=75，CAD=180=180-75-75=105=105（2 2）想法想法1 1：补全图形如答图：补全图形如答图1 1所示所示ACB=ADB=90，CAD+CBD=180 EBD+CBD=180，CAD=EBD DA=DB，AC=BE，ACD BEDDC=DE，ADC=BDE CDE=CDB+BDE=CDB+ADC=90CDE为等腰直角三角形为等腰直角三角形 AC=1，BC=3，BE=1，CE=4 CD=2 22 2想法想法2 2：补全图形如答图：补全图形如答图2 2所示所示.ACB=ADB=90，CAD+CBD=180DAG+CAD=180，CBD=GAD DA=DB,DGA=DHB=90,BDH ADG DH=DG，BH=AGCD平分平分GCH,即即DCH=DCG=45=45 CHD为等腰直角三角形为等腰直角三角形 AC=1,BC=3,BH=1,CH=2CD=2 22 2（3 3）AC+BC=CD.2 105 105这些题目中添加辅助线方法的共性是这些题目中添加辅助线方法的共性是“图形中出现共顶点的相等线段时，图形中出现共顶点的相等线段时，构造旋转关系的全等三角形构造旋转关系的全等三角形”，两条共顶点的相等线段提供了旋转的角度，两条共顶点的相等线段提供了旋转的角度.随堂笔记
