1、第26课时矩形、菱形、正方形课标要求1.理解平行四边形、矩形、菱形的概念,以及它们之间的关系.2.探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的四条边相等,对角线互相垂直;以及它们的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.理解正方形的概念,以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.4.探索并证明正方形的性质定理和判定定理,正方形具有矩形和菱形的一切性质.一、矩形知 识 梳 理矩形定义 有一个角是的平行四边形叫做矩形性质(1)边:对边平行且相等;(2)角:四个角都是;(3)对角
2、线:两条对角线;(4)对称性:矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形,矩形有条对称轴直角直角相等且互相平分2矩形判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有个角是直角的四边形是矩形;(3)对角线的平行四边形是矩形面积S矩形ABCD=ab(其中a为长,b为宽);SAOB=SCOD=SAOD=SCOB（续表）三相等二、菱形菱形定义 有一组 的平行四边形叫做菱形性质(1)边:菱形的对边平行,四条边都相等;(2)角:对角相等;(3)对角线:两条对角线 ;(4)对称性:菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是 邻边相等垂直平分对角线的交点（续表）菱形判定(1)有
3、一组 的平行四边形是菱形;(2)四条边 的四边形是菱形;(3)对角线 的平行四边形是菱形 面积邻边相等相等互相垂直三、正方形正方形定义四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形性质(1)边:四条边;(2)角:四个角都是;(3)对角线:对角线 ,每条对角线平分一组对角;(4)对称性:正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有 条 相等直角垂直平分且相等4正方形判定(1)有一组邻边 且一个角是 的平行四边形是正方形;(2)有一个角是直角的是正方形;(3)有一组邻边相等的是正方形 面积 S=a2（续表）相等直角菱形矩形四、特殊平行四边形之间的关系五、中点四边形图形四边形ABCD与其中点四边形
4、EFGH的对应关系原理E,F,G,H分别是各边中点任意四边形_三角形的中位线平行且等于第三边的一半;菱形、矩形、正方形的判定对角线相等:AC=BD菱形对角线垂直:ACBD_对角线垂直且相:AC=BD且ACBD_平行四边形矩形正方形对 点 演 练题组一必会题1.八下P83习题第1题改编下列说法中正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线相等且互相平分的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D2.2020南通下列条件中,能判定 ABCD是菱形的是()A.AC=BDB.ABBCC.AD=BDD.ACBD3.2020襄阳已知四边形ABCD是平行四边形,
5、AC,BD相交于点O,下列结论错误的是()A.OA=OC,OB=ODB.当AB=CD时,四边形ABCD是菱形C.当ABC=90时,四边形ABCD是矩形D.当AC=BD且ACBD时,四边形ABCD是正方形DB答案 8 解析 4.八下P75练习第1题改编如图26-1,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AOD=120,AB=4 cm.则矩形对角线的长为cm.图26-1答案 22.5 5.八下P84习题第11题改编如图26-2,E是正方形ABCD边BC延长线上的一点,且CE=AC,则E=.图26-2题组二易错题【失分点】特殊四边形的性质和判定混淆;不能选择恰当的结论解决问题.6.2020威海如
6、图26-3,在 ABCD中,对角线BDAD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,直线EO交CD于点F,连接DE,BF.下列结论不成立的是()A.四边形DEBF为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形图26-3答案 D答案 B 图26-48.2018日照如图26-5,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是()A.AB=ADB.AC=BDC.ACBDD.ABO=CBO9.2020淮安菱形的两条对角线长分别
7、为6和8,则这个菱形的边长为.图26-5B5考向一矩形的性质与判定及其应用例12020毕节如图26-6,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,若AB=6 cm,BC=8 cm,则EF的长是()A.2.2 cmB.2.3 cmC.2.4 cmD.2.5 cm图26-6D例22020聊城如图26-7,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AF=AD,求证:四边形ABFC是矩形.图26-7证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AD=BC,BAE=CFE,ABE=FCE,E为BC的中点,E
8、B=EC,ABE FCE(AAS),AB=CF.ABCF,四边形ABFC是平行四边形.AF=AD,BC=AF,平行四边形ABFC是矩形.考向精练图26-8答案 B2.2020青海如图26-9,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知BOC=120,DC=3 cm,则AC的长为cm.图26-963.2020包头如图26-10,在矩形ABCD中,BD是对角线,AEBD,垂足为E,连接CE.若ADB=30,则tanDEC的值为.图26-10答案 4.2020凉山州如图26-11,矩形ABCD中,AD=12,AB=8,E是AB上一点,且EB=3,F是BC上一动点.若将EBF沿EF对折后,点B
9、落在点P处,则点P到点D的最短距离为.答案 10 图26-11图26-12图26-126.2020北京如图26-13,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB,OGEF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.图26-13解:(1)证明:四边形ABCD为菱形,点O为BD的中点,点E为AD中点,OE为ABD的中位线,OEFG.OGEF,四边形OEFG为平行四边形.EFAB,平行四边形OEFG为矩形.6.2020北京如图26-13,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFA
10、B,OGEF.(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.图26-13考向二菱形的性质与判定及其应用例32020连云港如图26-14,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.图26-14例32020连云港如图26-14,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;图26-14例32020连云港如图26-14,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于
11、点M,N.(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.图26-14 考向精练图26-15答案 B 8.2020甘肃省卷如图26-16所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实际需要可以调节AE间的距离,若AE间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则DAB的度数是()A.90B.100C.120D.150图26-16答案 C 答案 115 9.2020无锡如图26-17,在菱形ABCD中,B=50,点E在CD上,若AE=AC,则BAE=.图26-1710.2020常州数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中最好的东西,互相以长补短.在菱形
12、ABCD中,AB=2,DAB=120.如图26-18,建立平面直角坐标系xOy,使得边AB在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上,则点C的坐标是.图26-18答案 是11.2020玉林如图26-19,将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD菱形(填“是”或“不是”).图26-1912.2020龙东地区如图26-20,在边长为1的菱形ABCD中,ABC=60,将ABD沿射线BD方向平移,得到EFG,连接EC,GC,则EC+GC的最小值为.图26-20答案图26-21考向三正方形的性质与判定及其应用图26-22答案 B例52019长沙如图26-23,正方形ABCD中,点
13、E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.图26-23例52019长沙如图26-23,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.图26-23 考向精练14.2020镇江如图26-24,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,1=2,则BPC的度数为.图26-2413515.2020天水如图26-25所示,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为.图26-25答案(-1,5)1
14、6.2020常德如图26-26,已知四边形ABCD是正方形,将DAE,DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图,此时DA与DC重合(A,C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为.图26-26答案 1217.2020泰州如图26-27,正方形ABCD的边长为6,M为AB的中点,MBE为等边三角形,过点E作ME的垂线分别与边AD,BC相交于点F,G,点P,Q分别在线段EF,BC上运动,且满足PMQ=60,连接PQ.(1)求证:MEP MBQ.(2)当点Q在线段GC上时,试判断PF+GQ的值是否变化?如果不变,求出这个值;如果变化,请说明理由.(3)设QMB=,点B关于QM的对称点为B,若点B
15、落在MPQ的内部,试写出的范围,并说明理由.图26-2717.2020泰州如图26-27,正方形ABCD的边长为6,M为AB的中点,MBE为等边三角形,过点E作ME的垂线分别与边AD,BC相交于点F,G,点P,Q分别在线段EF,BC上运动,且满足PMQ=60,连接PQ.(1)求证:MEP MBQ.图26-27(2)当点Q在线段GC上时,试判断PF+GQ的值是否变化?如果不变,求出这个值;如果变化,请说明理由.(3)设QMB=,点B关于QM的对称点为B,若点B落在MPQ的内部,试写出的范围,并说明理由.考向四特殊四边形的综合应用微专题角度1判断四边形的形状并证明例62018吉林如图26-28,在
16、ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作DEF=A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当点D为AB中点时,ADEF的形状为;(3)延长图中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.图26-28例62018吉林如图26-28,在ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作DEF=A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;图26-28解:(1)证明:DEAC,DEF=EFC,DEF=
17、A,A=EFC,EFAB,四边形ADEF为平行四边形.例62018吉林如图26-28,在ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作DEF=A,另一边EF交AC于点F.(2)当点D为AB中点时,ADEF的形状为;图26-28答案菱形 例62018吉林如图26-28,在ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DEAC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作DEF=A,另一边EF交AC于点F.(3)延长图中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.图26-28(3)四边形AEGF为矩形.理由
18、:四边形ADEF为平行四边形,AF=DE,AD=EF,EG=DE,AF=EG,又AFEG,四边形AEGF是平行四边形,AD=AG,AG=EF,四边形AEGF为矩形.角度2综合运用特殊四边形的性质或判定进行计算或证明例7 如图26-29,平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,B=60.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由)图26-29例7 如图26-29,平行四边形ABCD中,A
19、B=3 cm,BC=5 cm,B=60.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;图26-29例7 如图26-29,平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,B=60.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(2)当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;图26-29答案 3.5例7 如图26-29,平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,B=60.G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.(2
20、)当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由)图26-29答案 2 考向精练18.2020绍兴如图26-30,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动,运动到点B停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为()A.平行四边形正方形平行四边形矩形B.平行四边形菱形平行四边形矩形C.平行四边形正方形菱形矩形D.平行四边形菱形正方形矩形图26-30答案 B19.2019北京在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无
21、数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在一个四边形MNPQ是正方形.所有正确结论的序号是.答案 20.2020青岛如图26-31,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(1)求证:ADE CBF.(2)连接AF,CE.当BD平分ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.图26-3120.2020青岛如图26-31,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(2)连接AF,CE.当BD平分ABC时,四边形AFCE是什么特
22、殊四边形?请说明理由.21.2019青岛如图26-32,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:ABE CDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.图26-3221.2019青岛如图26-32,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:ABE CDF.图26-3221.2019青岛如图26-32,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG
23、=AE,连接CG.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.图26-32考向五中点四边形例8 我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图26-33,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,APB=CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使APB=CPD=90,其他条件不变,直接写出中点四边形
24、EFGH的形状.(不必证明)图26-33例8 我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图26-33,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;(2)如图,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,APB=CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;(3)若改变(2)中的条件,使APB=CPD=90,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)图26-33答案四边形EFGH是正方形.考向精练22.2019娄底顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形答案 C23.2019雅安如图26-34,在四边形ABCD中,AB=CD,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH的形状是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案 C图26-34
