1、第14课时二次函数的图象与性质课标要求1.会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.4.(选学)知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.一、二次函数的概念和图象的画法知 识 梳 理一般式一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成(a,b,c是常数,a0)的形式,则称y是x的二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当时,y=ax2+bx+c是二次函数
2、顶点式 y=a(x-h)2+k(a0),函数图象的对称轴为直线,顶点坐标为图象的画法第一步用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;第二步确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;第三步在对称轴两侧利用对称性描点画图y=ax2+bx+c a0 x=h (h,k)二、二次函数的性质二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a0)对称轴x=或x=(其中x1,x2为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标)顶点坐标(1)利用顶点坐标公式求解;(2)用配方法把一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k求解;(3)将对称轴x=h代入函数解析式求解增减性（续表）三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系a决定
3、抛物线的开口方向a0抛物线开口;a0抛物线与y轴交于正半轴;c0方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根抛物线与x轴有个交点;=0方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根抛物线与x轴有个交点;0(a0)ax2+bx+c0)y=ax2+bx+c(a0)的图象观察方法函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方的部分对应的点的横坐标的取值范围解集_xx2x1xx2对 点 演 练题组一必会题1.抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)AC3.二次函数y=-
4、x2+2x+4的最大值为()A.3 B.4 C.5 D.6C4.在抛物线y=-x2+2x-3中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x-1B.x1D.x-15.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A.y=(x+2)2-3B.y=(x+2)2+3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3BA题组二易错题【失分点】考虑二次函数的增减性时,要关注自变量的取值与对称轴的位置.6.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.
5、4或6答案 B解析二次函数y=-(x-h)2,当x=h时,有最大值0,而当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h5.当h5,2x5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得:h1=6,h2=4(舍去),此时h=6.综上可知,h=1或6,故选B.7.已知二次函数y=x2-mx+1中,当x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为.答案m4考向一二次函数的图象与性质解:(1)二次函数的图象如图所示.(3)当x1时,y随x的增大而减小.(4)因为P1在对称轴上,P2,P3都在抛物线对称轴的右侧,且13y2y3.【方法点析】抛物线上点的纵
6、坐标比较大小的基本方法有以下三种:把各点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性进行比较大小;计算出相应点的纵坐标,然后比较大小;图象法,利用图象的直观性.例2 抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图14-1,下列结论:4ac0;当y0时,x的取值范围是-1x3;当x0;开口向下,则a0;交点在y轴负半轴上,则c0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3C.2a-b=0D.当x0时,y随x的增大而减小图14-2B2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-3所示,若点A(-4,y1),B(2,y2)是它的
7、图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()A.y1y2D.不能确定图14-3C3.2019烟台已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:下列结论:抛物线的开口向上;抛物线的对称轴为直线x=2;当0 x0;抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1x2.其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5x-10234y50-4-30答案 B解析根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论正确;由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x
8、=2,且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,所以结论和正确;由抛物线可以看出当0 x4时,y0,所以结论错误;由图象可以看出,当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,既有可能x1x2,所以结论错误.故选B.4.2019攀枝花在同一坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是()图14-4答案C 5.2019鄂州二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-5所示,对称轴是直线x=1.下列结论:abc0;(a+c)2-b20,无论m为何实数,0,m的取值范围为全体实数.例6 已知函数y=x2+mx+m-2的图象与x
9、轴有两个不同的交点.(2)若抛物线与y轴交于点(0,1),求方程x2+mx+m-2=0的两根.考向精练11.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图14-7所示,根据图象解答下列问题:(1)求二次函数y=ax2+bx+c(a0)的解析式;(2)不等式ax2+bx+c0的解集为;(3)y随x的增大而减小时自变量x的取值范围为;(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.图14-7解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3),抛物线过点(2,-2),a1(-1)=-2,a=2,抛物线的解析式为y=2(x-1)(x-3)=2x2-8x+6.x3x-2解析2x2-8x+6=k有两个不相等的实数根,=(-8)2-42(6-k)0,解得k-2.故答案为k-2.考向五二次函数与三角形的面积问题图14-8图14-8【方法点析】求三角形的面积时,若三边均不在坐标轴上,也不平行于坐标轴,则常用方法:(1)分割法(和差);(2)铅锤法.图14-9 考向精练图14-10图14-10图14-10
