1、第7节 一元二次方程及其应用中考课标导航课标考点考点导航 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程解数字系数的一元二次方程.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等根和两个实根是否相等.能用一元二次方程解决实际应用问题，能根据具能用一元二次方程解决实际应用问题，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.*了解一元二次方程的根与系数的关系了解一元二次方程的根与系数的关系.1.1.一元二次方程一元二次方程2020/2020/
2、第第1414题题/3/3分分2019/2019/第第 8 8题题/3/3分分 第第1313题题/3/3分分2018/2018/第第 4 4题题/3/3分分 第第 9 9题题/3/3分分2017/2017/第第2323题题/3/3分分2016/2016/第第1717题题/7/7分分2.2.一元二次方程的应用一元二次方程的应用中考专家解读：中考专家解读：一元二次方程及其应用在历年中考中属于必考题，在选择、填空中以单一知识点考一元二次方程及其应用在历年中考中属于必考题，在选择、填空中以单一知识点考查为主，常涉及判断一元二次方程根的情况、提取解一元二次方程的关键步骤、由情境中数量关系查为主，常涉及判断
3、一元二次方程根的情况、提取解一元二次方程的关键步骤、由情境中数量关系列简单的一元二次方程等；在解答题中，分为纯计算题考查和方程的应用考查两种，方程的应用考列简单的一元二次方程等；在解答题中，分为纯计算题考查和方程的应用考查两种，方程的应用考查主要以运用一元二次方程模型解决实际问题或探究题中列出各种一元二次方程模型解决问题等查主要以运用一元二次方程模型解决实际问题或探究题中列出各种一元二次方程模型解决问题等.必备知识梳理一、一元二次方程1.定义：只含有定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程是一元二次方程的整式方程是一元二次方程.2.一般形式：一般形
4、式：ax2+bx+c=0（其中（其中a，b，c为常数，为常数，a 0）一个一个2 2ax2 +bx +c =0（其中（其中a，b，c为常数，为常数，a 0）二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数二次项二次项 一次项一次项 常数项常数项 3.一元二一元二次方次方程的解法程的解法直接开方法：适用于形如直接开方法：适用于形如ax2+c=0 或或a（x+m）2=n0,0aca且0,0aca且（x m）2配方法配方法理论依据：理论依据：x2 2mx+m2=.步步骤骤（1）二次项系数化为二次项系数化为1（2）移项：使等号的左边为二次项和一次项，等号的右边为常数项移项：使等号的左边为二次项和一次项，等号
5、的右边为常数项（3）配方：等号两边同时加上一次项系数配方：等号两边同时加上一次项系数 ，配成（，配成（x m）2=n（n 0）的形式的形式（4）用直接开方法求解用直接开方法求解一半的平方一半的平方 公式法：公式法：将方程化为将方程化为 ，确定，确定 a，b，c的值，先代入根的判别式，当的值，先代入根的判别式，当 b2-4ac 0 时，代入求根公式时，代入求根公式 ；当；当b2-4ac 0，即，即 0时，方程有时，方程有 的实数根的实数根当当b2-4ac=0，即，即=0时，方程有时，方程有 的实数根的实数根当当b2-4ac 0，即，即 0时，方程有两个不相等的根；当时，方程有两个不相等的根；当
6、0时，方程有两个相等的根；当时，方程有两个相等的根；当 0.=41 0.x=.=.即即x1 1=，x2 2=424138413 8413 6.用因式分解法解方程：用因式分解法解方程：x（2x-5）=4x-10.解：原方程可变形为：解：原方程可变形为：x（2 2x-5-5）-2-2（2 2x-5-5）=0.=0.（2 2x-5-5）（）（x-2-2）=0.=0.2 2x-5=0-5=0，或，或x-2=0.-2=0.解，得解，得x1 1=2.52.5，x2 2=2=2解一元二次方程时，不能两边同时除以含解一元二次方程时，不能两边同时除以含 x的整式，否则计算结果就会丢掉一根的整式，否则计算结果就会
7、丢掉一根.原方程有两个相等的实数根，最后结果要原方程有两个相等的实数根，最后结果要写为写为x1 1=x2 2=a随堂笔记题关真过1.2019山西山西 一元二次方程一元二次方程 x2-4x-1=0配方后可化为配方后可化为 （）A.（x+2）2=3 B.（x+2）2=5 C.（x-2）2=3 D.（x-2）2=52.2018山西山西 下列一元二次方程中下列一元二次方程中，没有实数根的是，没有实数根的是 （）A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-23.2016山西山西7分分 解方程：解方程：2（x-3）2=x2-9.DC解：原方程可化为解：原方程可化
8、为2 2（x-3-3）2 2=（x-3-3）（）（x+3+3）1 1分分 2 2（x-3-3）2 2-（x-3-3）（）（x+3+3）=0=0 2 2分分 （x-3-3）2 2（x-3-3）-（x+3+3）=0=0 3 3分分 （x-3-3）（）（x-9-9）=0.4=0.4分分 x3=03=0，或，或x9=09=0 5 5分分 x1 1=3=3，x2 2=9.7=9.7分分考点二 一元二次方程的实际应用1.2020适应性适应性 如图是张阿姨做好的一幅如图是张阿姨做好的一幅“旭日东升旭日东升”矩形刺绣，矩形刺绣，长为长为50 cm，宽为，宽为30 cm，要在这幅刺绣的四周镶一条相同宽度的银，要
9、在这幅刺绣的四周镶一条相同宽度的银白色边框，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是白色边框，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是2400cm2，设银白色边框的宽为设银白色边框的宽为x cm，那么，那么x应满足方程应满足方程 ()BA.x2+80 x-900=0 B.x2+40 x-225=0 C.x2-80 x-900=0 D.x2-40 x-225=0解析：在这幅刺绣的四周加上相同宽度的银白色边框后，这幅挂图长为（解析：在这幅刺绣的四周加上相同宽度的银白色边框后，这幅挂图长为（50+250+2x）cmcm，宽为（宽为（30+230+2x）cmcm，面积为，面积为2400cm2400
10、cm2 2，可列方程为（，可列方程为（50+250+2x）（）（30+230+2x）=2400=2400，即，即x2 2+40+40 x-225=0.-225=0.2.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，为了实现这一年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年，为了实现这一目标，某地目标，某地 2018 年投入资金年投入资金 1280 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年该地年该地投入异地安置资金的金额为投入异地安置资金的金额为2880万元万元.求从求从2018年到年到2020年，该
11、地投入异地安置资金的年平均年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？增长率为多少？解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意，得根据题意，得12801280（1+1+x）2 2=2880.=2880.解，得解，得x1 1=0.5=50%=0.5=50%，x2 2=-2.5=-2.5（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：从答：从20182018年到年到20202020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%50%【变式问】【变式问】其他条件不变，把其他条件不变，把“2020 年该地投入异地安
12、置资金的金额为年该地投入异地安置资金的金额为 2880 万元万元”改为改为“从从2018 年到年到 2020 年，该地投入异地安置资金的总金额为年，该地投入异地安置资金的总金额为6080万元万元”.求从求从2018年到年到2020年，年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意，得根据题意，得1280+12801280+1280（1+1+x）+1280+1280（1+1+x）2 2=6080.=6080.解方程即可解方程即可.3.某商店销售某种商品，平均每
13、天可售出某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利件，每件盈利 40元元.为了扩大销售、增加盈利，该为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低降低 1 元，平均每天可多售出元，平均每天可多售出2件件.求当每件商品降价多少元时，该商品每天销售利润为求当每件商品降价多少元时，该商品每天销售利润为1200元？元？解：设每件商品降价解：设每件商品降价x元，元，根据题意，得（根据题意，得（40-40-x）（）（20+220+2x）=1200.=1
14、200.整理，得整理，得x2 2-30-30 x+200=0.+200=0.解，得解，得x1 1=10=10，x2 2=20=20要求每件盈利不少于要求每件盈利不少于2525元，元，x2 2=20=20应舍去应舍去.x=10=10 答：每件商品降价答：每件商品降价1010元时，该商品每天销售利润为元时，该商品每天销售利润为12001200元元【变式问】【变式问】其他条件不变，将条件其他条件不变，将条件“发现销售单价每降低发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出元，平均每天可多售出 2 件件”改改为为“发现销售单价每降低发现销售单价每降低 2元，平均每天可多售出元，平均每天可多售出 4 件件
15、”.求当每件商品降价多少元时，该商求当每件商品降价多少元时，该商品每天销售利润为品每天销售利润为1200元？元？解：每件商品降价解：每件商品降价x元，根据题意，得元，根据题意，得 （40-40-x）=1200.=1200.解方程即可解方程即可.4220 x4.某次足球联赛中，每两队之间都进行两场比赛，经过统计一共要比赛某次足球联赛中，每两队之间都进行两场比赛，经过统计一共要比赛42场，求共有多场，求共有多少个队参加比赛？少个队参加比赛？解：设有解：设有x个队参加比赛，根据题意，得个队参加比赛，根据题意，得x（x1 1）=42.=42.解，得解，得x1 1=7=7，x2 2=6 6（不合题意，舍
16、去）（不合题意，舍去）答：共有答：共有7 7支球队参加比赛支球队参加比赛【变式问】【变式问】某次足球联赛中，每两队之间只进行一场比赛，经过统计一共要比赛某次足球联赛中，每两队之间只进行一场比赛，经过统计一共要比赛21场，场，求共有多少个队参加比赛？求共有多少个队参加比赛？解：设有解：设有x队参加比赛，队参加比赛，根据题意，得根据题意，得 x（x1 1）=21.=21.解方程即可解方程即可.215.如图，在如图，在ABC 中，中，C=90，AC=16 cm，BC=8 cm，一动点，一动点 P 从从点点 C出发沿着出发沿着CB边以边以2 cm/s的速度运动，另一动点的速度运动，另一动点 Q 从点从
17、点 A 出发沿着出发沿着AC 边以边以 4 cm/s 的速度运动，的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为两点同时出发，运动时间为t（s）.（1）若）若PCQ的面积是的面积是ABC面积的面积的 ，求，求t的值；的值；（2）PCQ 的面积能否与四边形的面积能否与四边形ABPQ 的面积相等？若能，求出的面积相等？若能，求出t的值；的值；若不能，说明理由若不能，说明理由.41解解:（1 1）根据题意，得）根据题意，得PC=2=2t，QC=16-4=16-4t.SPCQ=2 2t（16-416-4t），），SABC=8 816=64.16=64.PCQ的面积是的面积是ABC面积的面积的 ，2 2t
18、（16-416-4t）=64=64 ，整理，得整理，得t2 2-4-4t+4=0+4=0，解，得，解，得t1 1=t2 2=2.=2.当当t=2s=2s时，时，PCQ的面积是的面积是ABC面积的面积的 .212141412141（2 2）PCQ的面积不能与四边形的面积不能与四边形ABPQ面积相等面积相等.理由如下：理由如下：当当PCQ的面积与四边形的面积与四边形ABPQ面积相等时，则面积相等时，则SPCQ=SABC，即，即 2t2t（16-4t16-4t）=64=64 ，整理，得整理，得t2 2-4-4t+8=0=+8=0=（-4-4）2 2-4-41 18=-16 08=-16 0，此方程没
19、有实数根此方程没有实数根.PCQ的面积不能与四边形的面积不能与四边形ABPQ的面积相等的面积相等.212121 一元二次方程在代数和几何中都会应用一元二次方程在代数和几何中都会应用.在真实任务情境下解决几何问题时，结合图在真实任务情境下解决几何问题时，结合图形的性质得到等量关系，列出一元二次方程解决问题形的性质得到等量关系，列出一元二次方程解决问题.解决现实问题时，要通过分析其中解决现实问题时，要通过分析其中的数量关系，找到等量关系列出一元二次方程求解的数量关系，找到等量关系列出一元二次方程求解.解出的结果既要符合题目条件，也要解出的结果既要符合题目条件，也要符合生活实际符合生活实际.随堂笔记
20、题关真过1.2020 山西山西 如图是一张长如图是一张长 12 cm，宽，宽 10 cm 的矩形铁皮，将其剪去的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）（阴影部分）可制成可制成底面积是底面积是 24 cm2 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm.2 2解析：设剪去的正方形的边长为解析：设剪去的正方形的边长为xcm.cm.根据题意，得（根据题意，得（12122-2-x）（）（10-210-2x）=24.=24.解，得解，得x1 1=2=2，x2 2=9=9（不合题意，舍
21、去）（不合题意，舍去）.所以剪去的正方形的边长为所以剪去的正方形的边长为2cm.2cm.2.2019 山西山西 如图，在一块长如图，在一块长 12 m，宽，宽 8 m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为积为77 m2，设道路的宽为，设道路的宽为 x m，则根据题意，则根据题意，可列方程为可列方程为 77812xx数学文化链接文化素材李冶李冶 1248 1248 年写成名著年写成名著 测圆海镜，这是一部享誉世
22、界的数学文献测圆海镜，这是一部享誉世界的数学文献.此书奠此书奠定了中国古代数学天元术的基础，天元术是一种用数学符号列定了中国古代数学天元术的基础，天元术是一种用数学符号列方程的方法方程的方法.李冶在李冶在 测圆海镜测圆海镜 中把未知数叫天元，再中把未知数叫天元，再把实际问题化成代数方程且求出未知数的技巧称为把实际问题化成代数方程且求出未知数的技巧称为“天元术天元术”.”.朱世杰出生于北京地区，他的两部著作算学启蒙和朱世杰出生于北京地区，他的两部著作算学启蒙和四元玉鉴在扬州刻印出版四元玉鉴在扬州刻印出版.算学启蒙从简单的四则运算入手，包括算筹记数法算学启蒙从简单的四则运算入手，包括算筹记数法则、
23、大小数进位法、度量衡计算、圆周率、正负数加减运算法则、开方法则等，是一则、大小数进位法、度量衡计算、圆周率、正负数加减运算法则、开方法则等，是一部很好的数学启蒙教材部很好的数学启蒙教材.与算学启蒙相比与算学启蒙相比,四元玉鉴是朱世杰多年研究成果的四元玉鉴是朱世杰多年研究成果的结晶，其内容包括乘除、面积、堆垛体积、天元术等结晶，其内容包括乘除、面积、堆垛体积、天元术等.其中最重要的成果是把李冶的天其中最重要的成果是把李冶的天元术从一个未知数推广至二元、三元乃至四元高次方程组，这就是所谓的元术从一个未知数推广至二元、三元乃至四元高次方程组，这就是所谓的“四元术四元术”.”.方程历史方程历史 方程是刻画现实世界数量关系的数学模型方程是刻画现实世界数量关系的数学模型.中国古代列方程的思想可以远溯到汉代，中国古代列方程的思想可以远溯到汉代，金代数学家李冶及元代数学家朱世杰在其数学著作中对方程的有关内容做了系统的介绍，金代数学家李冶及元代数学家朱世杰在其数学著作中对方程的有关内容做了系统的介绍，成为中国数学又一项杰出创造成为中国数学又一项杰出创造.中国古代列方程的方法被称为中国古代列方程的方法被称为 （）A.天元术天元术 B.勾股术勾股术 C.正负术正负术 D.割圆术割圆术A
