1、专题综合强化第二部分 专题六几何探究题 几何探究题是江西每年的必考题型，出现在解答题最后两道压轴题的其中一题主要的考题类型：新定义型探究问题(2017.23；2016.22)；几何变换型探究问题(2017.23；2016.22)；操作型探究问题(2020.23)；动点型探究问题(2019.22；2018.22)常考题型常考题型精讲精讲类型类型1新定义型探究问题新定义型探究问题【类型特征】新定义型探究问题具有“获取新知识”的意义与特征，即它不是单纯的课本知识的应用，而是包含理解和掌握一个“新定义”“新规定”、发现和总结一个“新规律”“新结论”的成分及过程，旨在考查学生的“学习能力”和“发现与创新
2、”能力【解题策略】解答新定义的探究问题，首先要认真阅读并理解“新定义”，把握准“新定义”的实质，从性质与判定两个角度做出分析，弄清它们所对应的题设与结论，然后分别运用“新定义”的性质属性与判定属性来解决相应的问题(2020江西创新协同调研一模)定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3 5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”【概念感知】(1)如图1，在ABC中，AC12，BC10，ACB30，试判断ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由 解题思路过点A作ADCB交CB的延长线于点D,解直角三角形求出AD即可得出结论【解答】【解答】ABC是是“准黄金准
3、黄金”三角形，三角形，BC是是“金底金底”理由如下：过点理由如下：过点A作作ADCB交交CB的延长线于点的延长线于点D，如答图，如答图1.AC12，C30，AD AC6，ABC是是“准黄金准黄金”三角形，三角形，BC是是“金底金底”1263105ADBC 【问题探究】(2)如图2，ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把ABC沿BC翻折得到DBC，连接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是ABD的重心，求 的值ABBC 解题思路第一步：由ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，推出 ；第二步：设AE3k，BC5k，由C是ABD的重心，推出BC CE2 1，推出CE ，BE ；第三步：利用
4、勾股定理求出AB即可解决问题35AEBC52k152k【解答】【解答】点点A，D关于关于BC对称，对称，BEAD，AEED.ABC是是“准黄金准黄金”三角形，三角形，BC是是“金底金底”，设，设AE3k，BC5k，C是是ABD的重心，的重心，BC CE2 1，CE ，BE ，AB ，35AEBC 52k152k 2222153 29322kAEBEkk 3 293 292510kABBCk 【拓展提升】(3)如图3，l1l2，且直线l1与l2之间的距离为3，“准黄金”ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，若ABC是钝角，将ABC绕点C按顺时针方向旋转(0CD，四边形ABCD即为“
5、等邻对角四边形”【概念理解】(1)如图2，在等边三角形ABC中，BC6，点D，E分别在AC，AB上，CD2，当BE的长为_时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”4【问题解决】(3)如图4，在“等邻对角四边形”ABCD中，ABCD，ABCDCB，AB3，AD1，AD与BC的延长线相交于点E.若DE8，求CD的长，并指出BDC的度数是否可以等于90，不必说明理由解：解：(1)4.70.(2)BAC与与CDB互补互补理由如下：理由如下：ABCD，如答图，如答图1，延长，延长CD至点至点E，使，使CEBA，连接，连接BE，在在ABC和和ECB中，中，ABC ECB(SAS)，BECA，BACE.ACD
6、B，BDBE.BDEE.CDBBDECDBECDBBAC180，即即BAC与与CDB互补互补ABECABCECBBCCB (3)如答图如答图2，连接，连接AC.AB3，AD1，DE8，.又又BADEAB，ABDAEB，ABDE.ABCDCB，1331,393ADABABAEADDE ADABABAE ABDDBEECDE，DBECDE.BDEDCE，.ABDAEB，,CD .BDC的度数不可能等于的度数不可能等于90.BDDCBEDE 138BDABCDCDBEAEDE 833(2017江西)我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到A
7、C，连接BC.当180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知(1)在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD _BC；如图3，当BAC90，BC8时，则AD长为_；124猜想论证(2)在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用(3)如图4，在四边形ABCD中，C90，D150，BC12，CD2 ，DA6.在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求PA
8、B的“旋补中线”长；若不存在，说明理由3解：解：(1)；4.(2)结论：结论：AD BC.证明如下：证明如下：如答图如答图1，延长，延长AD到到M，使得，使得ADDM，连接，连接BM，CM.BDDC，ADDM，四边形四边形ACMB是平行四边形，是平行四边形，1212ACBMAC.BACBAC180，BACABM180，BACMBA.ABAB，BAC ABM，BCAM，AD BC.12(3)存在证明：如答图存在证明：如答图2，延长，延长AD交交BC的延长线于的延长线于M，作，作BEAD于点于点E，作线段，作线段BC的垂直平分线交的垂直平分线交BE于点于点P，交，交BC于点于点F，连接，连接PA，
9、PD，PC，作，作PCD的中线的中线PN，连接连接DF交交PC于点于点O.ADC150，MDC30.在在RtDCM中，中，CD2 ，DCM90，MDC30，CM2，DM4，M60.在在RtBEM中，中，BEM90，BM14，MBE30，EM BM7，DEEMDM3.AD6，AEDE.123BEAD，PAPD，PBPC.在在RtCDF中，中，CD2 ，CF6，tan CDF ，CDF60CPF，易证易证FCP CFD，FPCD.CDPF，四边形四边形CDPF是矩形，是矩形，CDP90，ADPADCCDP60，ADP是等边三角形，是等边三角形，APD60.BPFCPF60，BPC120，33APD
10、BPC180，PDC是是PAB的的“旋补三角形旋补三角形”在在RtPDN中，中，PDN90，PDAD6，DN ，PN .22223639DNPD 3类型类型2几何变换型探究问题几何变换型探究问题【类型特征】图形(或部分图形)经平移、轴对称、旋转等变换后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系，从而产生图形的证明与几何量的计算问题由于平移、轴对称、旋转均属于全等变换，所以，这类问题往往会在同一个问题中涉及两个全等三角形【解题策略】对于图形变换所引发的图形的证明与几何量的计算问题，解答时，就要运用图形变换的视角来启发、引导我们观察图形、分析图形，识别出基本图形和图形之间所存在
11、的变换关系，进而运用图形变换的知识来加以解答，也可根据图形的特征，巧妙地运用图形变换的手段来转化图形(2020十堰)如图1，已知ABC EBD，ACBEDB90，点D在AB上，连接CD并延长交AE于点F.(1)猜想：线段AF与EF的数量关系为_；AFEF解题思路【解答】【解答】AFEF.【解法提示】延长【解法提示】延长DF到点到点K，并使，并使FKDC，连接，连接KE，如答图，如答图1，ABC EBD，DEAC，BDBC，CDBDCB，且，且CDBADF，ADFDCB.ACB90，ACDDCB90.EDB90，ADFFDE90，ACDFDE.FKDFDCDF，DKCF.在在ACF和和EDK中，
12、中，ACF EDK(SAS)，KEAF，KAFC.又又AFCKFE，KKFE，KEEF，AFEF，故故AF与与EF的数量关系为的数量关系为AFEF.(2)探究：若将图1的EBD绕点B顺时针方向旋转，当CBE小于180时，得到图2，连接CD并延长交AE于点F，则(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；解题思路证明原理同(1)，延长DF到点K，并使FKDC，连接KE，证明ACF EDK，进而得到KEF为等腰三角形，即可证明AFKEEF.【解答】仍旧成立理由如下：【解答】仍旧成立理由如下：延长延长DF到点到点K，并使，并使FKDC，连接，连接KE，如答图，如答图2，设设BD的
13、延长线的延长线DM交交AE于于M点，点，ABC EBD，DEAC，BDBC，CDBDCB，且，且CDBMDF，MDFDCB.ACB90，ACDDCB90.EDB90，MDFFDE90，ACDFDE.FKDFDCDF，DKCF，在在ACF和和EDK中，中，ACF EDK(SAS)，KEAF，KAFC，又又AFCKFE，KKFE，KEEF，AFEF，故故AF与与EF的数量关系为的数量关系为AFEF.(3)拓展：图1中，过点E作EGCB，垂足为G.当ABC的大小发生变化，其他条件不变时，若EBGBAE，BC6，直接写出AB的长 解题思路补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到ABCABEEBG
14、60即可求解【解答】【解答】12【解法提示】如答图【解法提示】如答图3，延长，延长DF到点到点K，并使，并使FKDC，连接连接KE，过点，过点E作作EGCB交交CB的延长线于点的延长线于点G，BABE，BAEBEA.BAEEBG，BEAEBG，AECG，AEGG180，AEG90，ACGGAEG90，四边形四边形AEGC为矩形，为矩形，ACEG，且，且ABBE，RtACB RtEGB(HL)，BGBC6，ABCEBG，又，又EDACEG，且，且EBEB，RtEDB RtEGB(HL)，DBGB6，EBGABE，ABCABEEBG60，BAC30，在在RtABC中，中，AB2BC12.1.(20
15、20赣州教研联盟模拟)已知在ABC中，ABAC，BAC，直线l经过点A(不经过点B或点C)，点C关于直线l的对称点为点D，连接CD，BD，AD.(1)如图1，填空：ABD_ADB(填“”“”或“”)求BDC的度数(用含的式子表示)(2)如图2，当60时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AEBD.(3)如图3，当90时，在直线l绕点A旋转过程中，记直线l与CD的交点为F.若点M为AC的中点，连接MF，MF的长是否会发生变化？若不变，求出MF的长；若会发生变化，请说明理由连接BF，当线段BF的长取得最大值时，求tan FBC的值(1)解：解：.【解法提示】【解法提示】点点C关于直线关于直
16、线l的对称点为点的对称点为点D，ADAC.ABAC，ADABAC，ADBABD.方法一：如答图方法一：如答图1，延长，延长DA交交BC于点于点M，ADABAC，ADBABD，ADCACD.BAMADBABD，MACADCACD，BAM2ADB，MAC2ADC,BACBAMMAC2ADB2ADC2BDC.BDC .12方法二：如答图方法二：如答图2，ADABAC，点点B，C，D在以点在以点A为圆心，为圆心，AB长为半径的圆上，长为半径的圆上，BDC BAC .(2)证明：如答图证明：如答图3，连接，连接CE，BAC60，ABAC，ABC是等边三角形，是等边三角形，BCAC，ACB60.1212B
17、DC ，BDC30.BDDE，CDE60.点点C关于直线关于直线l的对称点为点的对称点为点D，DECE，且，且CDE60，CDE是等边三角形，是等边三角形，CDCEDE，DCE60ACB，12BCDACE.ACBC，CDCE，ACE BCD(SAS).AEBD.(3)MF的长不会发生变化的长不会发生变化AFC90，M为为AC的中点，的中点，MF AC.MF的长在直线的长在直线l绕点绕点A旋转过程中，不会发生变化旋转过程中，不会发生变化12方法一：如答图方法一：如答图4，连接，连接MB，在在BMF中，中，BMMFBF，当当M，B，F三点共线时，三点共线时，BF最长，最长，如答图如答图5，过点，过
18、点M作作MHBC于点于点N,BAC90，ABAC，BC AC，ACB45，且，且MHBC，CMHHCM45，MHHC，MC HC.点点M是是AC的中点，的中点，AC2MC2 HC，222BC AC4HC.BHBCHC3HC.tan FBC .2133MHHCBHHC 方法二：如答图方法二：如答图6，以点，以点M为圆心，为圆心，MA长为半径作圆，连接长为半径作圆，连接BM并延长，并延长，交交 M于点于点K，则圆外一点，则圆外一点B到到 M上各点距离中，最长为线段上各点距离中，最长为线段BK(BK过点过点M)，过点过点M作作MHBC于点于点H，BAC90，ABAC，BC AC，ACB45，且，且M
19、HBC，CMHHCM45，MHHC，MC HC.点点M是是AC的中点，的中点，AC2 HC，BC AC4HC.BHBCHC3HC.tan FBC .2222133MHHCBHHC 2(2020郴州)如图1，在等腰直角三角形ADC中，ADC90，AD4.点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为(0AB时，BEAB时，BEAB时三种情况来证【解答】【解答】.如答图如答图1，当，当BEAB时，过点时，过点F作作FNBC于点于点N，FMBA交交BA的的延长线于点延长线于点M，在四边形，在四边形FMBN中，中，FMBFNB90，B120，M
20、FN60.又又四边形四边形AEFG是菱形，是菱形，EAG120，AF平分平分EAG，AEEF，FAE60，AEF是等边三角形，是等边三角形，AFE60，MFNAFNAFEAFN，即即MFANFE.在在FMA和和FNE中，中，FMA FNE(AAS)，FMFN，点点F在在ABC的平分线上；的平分线上；如答图如答图2，当，当BEAB时，时，ABC120，EABAEB30.四边形四边形AEFG是菱形，是菱形，EAG 120，FAEFEA60，AEEF，AEF为等边三角形，为等边三角形，FABFEB90，AFEF，点点F在在ABC的平分线上；的平分线上；当当BEAB时，类似地，可证点时，类似地，可证点
21、F在在ABC的平分线上，特别地，当点的平分线上，特别地，当点E与点与点B重合时，点重合时，点F在在ABC的平分线上的平分线上综上所述，点综上所述，点F在在ABC的平分线上的平分线上(3)如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求 的值BCAB解题思路根据平行四边形及菱形的性质计算即可【解答】如答图【解答】如答图3.四边形四边形AEGH和四边形和四边形AEFG都是平行四边形，都是平行四边形，AEHG，AEGF，HG和和GF在一条直线上在一条直线上又又GE是菱形是菱形AEFG的对角线，的对角线，EAG120，GE平分平分DGA，DGA60，FGE F
22、GA30.12又又GEHB，HFGE30.在在AHD中，中，DAB60，ADH30，AHAD.在在GAD中，中，ADG30，DGA60，DAG90，HGAH30，GD2AG，HGAG,3.四边形四边形AEFG是菱形，是菱形，AGAE，AEHD，HEAB30，HDAEAEB30，ABBE.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC，ADBC，BDAH，AHDBAE，3，即，即 3.ADHDBEAE BCAE1.(2020九江三模)在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接DE，交AC于点N，过点D作DFDE，交BA的延长线于点F，连接EF，交AC于点M.(1)判定
23、DFE的形状，并说明理由(2)设CEx，AMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；并求出当x为何值时y有最大值？最大值是多少？(3)随着点E在BC边上运动，ANCM的值是否会发生变化？若不变，求出ANCM的值；若变化，请说明理由解：解：(1)DFE是等腰直角三角形是等腰直角三角形理由如下：理由如下：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，ADCDCBDAB90，DADC.DFDE，FDE90，FDACDE.在在ADF和和CDE中，中，ADF CDE(ASA)，DEDF，DFE是等腰直角三角形是等腰直角三角形(2)如答图如答图1，过点，过点M作作MGAB于点于点G.MGAB，MGBC，设设MG
24、h.GAM45，AGMGh，由由(1)知知FACEx，即，即 ，h ，当当x2时，时，y有最大值，最大值是有最大值，最大值是1.FGMGFBBE 44xhhxx (3)ANCM的值不发生变化，如答图的值不发生变化，如答图2，过点，过点E作作EHAB交交AC于点于点H，连接连接DM.EHCHCE45，EHECAF，FAMMHE，MFAHEM，FAM EHM(ASA)，MEFM，由由(1)可得可得FDE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DMEF，MDE45.DNAMDC45CDN，DANDCM45，ANDCDM，ANCMADCD16.随着点随着点E在在BC边上运动，边上运动，ANCM的值不发生变
25、化的值不发生变化ANADCDCM 2(2018江西)在菱形ABCD中，ABC60，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P的位置变化而变化(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是_，CE与AD的位置关系是_(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；BPCECEAD(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB2 ，BE2 ，求四边形ADPE的面积.319解：解：(1)BPCE，CEAD.(2)(1)中的
26、结论仍然成立中的结论仍然成立.证明如下：证明如下：如答图如答图1，连接，连接AC交交BD于点于点O，设，设CE交交AD于点于点H，在菱形在菱形ABCD中，中，ABC60，BABC，ABC为等边三角形，为等边三角形，BAAC.APE为等边三角形，为等边三角形，APAE，PAEBAC60，BAPCAE.在在BAP和和CAE中，中，BAP CAE(SAS)，BPCE，ACEABP30.AC和和BD为菱形的对角线，为菱形的对角线，CAD60，AHC90，即，即CEAD.如答图如答图2，仍然成立，仍然成立，证明如下：证明如下：连接连接AC交交BD于点于点O，设，设CE交交AD于点于点H.同理可证得同理可
27、证得BAP CAE(SAS)，BPCE，CEAD.(3)如答图如答图3，连接，连接AC交交BD于点于点O，连接连接CE交交AD于点于点H，由由(2)可知可知CEAD，CEBP.在菱形在菱形ABCD中，中，ADBC，ECBC.BCAB2 ，BE2 ，319在在RtBCE中，中，CE 8，BPCE8.AC与与BD是菱形的对角线，是菱形的对角线，ABD ABC30，ACBD，BD2BO2ABcos 306，AO AB ，DPBPBD862，222 192 3 12312OPODDP 625.在在RtAOP中，中，AP ，S四边形四边形ADPESADPSAPE DPAO .122231323(2 7)8 3424AP 12222 7AOOP
