1、福州市 2020 届高三文科数学 5 月调研卷 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 第 卷（选择题,共 60 分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 复数 | | 2 i z i ，则复数z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知全集为R，集合 2, 1,0,1,2A ， 1 0 2 x Bx x ，则 U AC B的元素个数为 A1 B2 C3 D4 3已知 0.20.3 2 log 0
2、.2,2 ,0.2abc,则 Aabc Bacb Ccab Dbca 4某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85，67，m，80，93，其中 0m,若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数 不可能为 A70 B75 C80 D85 5如图给出的是计算 111 1 352019 的值的一个程序框图， 则图中空白框中应填入 A 1 23 SS i B 1 21 SS i C 1 1 SS i D 1 21 SS i 6用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示， 则该几何体体积的最大值为 A28 B21 C20 D19 7函数 2 ln x f xx x 的
3、图像大致为 第 5 题 正视图 侧视图 第 6 题 第 12 题 第 14 题 8已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点,(0) 4 p Aaa 在C上，3AF ，若直 线AF与C交于另一点B，则AB的值是 A12 B10 C9 D45 9设双曲线 22 22 C1(0,0) xy ab ab ：的左焦点为F，直线43200xy过点F且与双曲 线C在第二象限的交点为,P O为原点，| |OPOF，则双曲线C的离心率为 A5 B5 C 5 3 D 5 4 10已知 fx是函数 f x的导函数，且对任意的实数 x 都有 21 x fxexf x， 02f ，则不等式 4 x f x
4、e的解集为 A2,3 B3,2 C, 32, D, 23, 11已知在锐角ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若2 coscosbCcB，则 111 tantantanABC 的最小值为 A 2 7 3 B 5 C 7 3 D2 5 12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 22 C:xy1x y 就是其中之一(如图)， 给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过; 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3； 其中，所有正确结论的序号是 A B C D 第 II 卷（非选择题,共
5、90 分） 二、填空题：本二、填空题：本大大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声 时被接的概率为0.3， 响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1， 那么电话在响前 4 声内被接的概率是 14如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为 2，则AB AC =_ 15 我们听到的美妙弦乐， 不是一个音在响， 而是许多个纯音的合成， 称为复合音 复 合音的响度是各个纯音响度之和琴弦在全段振动，产生频率为f的纯音的同时，其二 分之一部分也在振动，振幅为全段的 1 2 ，频率为全
6、段的 2 倍；其三分之一部分也在振动， 振幅为全段的 1 3 ，频率为全段的 3 倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的 1 4 ，频率为 全段的 4 倍；之后部分均忽略不计已知全段纯音响度的数学模型是函数 1 sinyt（t为时 间， 1 y为响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是 16已知三棱锥ABCD的棱长均为 6，其内有n个小球，球 1 O与三棱锥ABCD的四个面 都相切，球 2 O与三棱锥ABCD的三个面和球 1 O都相切，如此类推，球 n O与三棱锥 ABCD的三个面和球 1n O 都相切（ 2n，且n N） ，则球 1 O的体积等于_， 球 n O的表面积等于_ （本题第一
7、空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，小题，共共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求 作答作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （本小题满分 12分） n S为数列 n a的前n项和，已知0 n a ， 2 243 nnn aaS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和
8、 18 （本小题满分 12分） 如图所示的几何体中， 111 ABCABC为三棱柱，且 1 AA 平面 ABC， 1 AAAC，四边形 ABCD 为平行四边形， 2ADCD，60ADC （1）求证：AB 平面 1 1 ACC A； （2）若2CD ，求四棱锥 111 CA B CD的体积 19 （本小题满分 12 分） 某企业新研发了一种产品， 产品的成本由原料成本及非原料成本组成 每件产品的非原 料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下 数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图观
9、察散点图，两个变量不具有线性 相关关系，现考虑用反比例函数模型 b ya x 和指数函数模型 dx yce分 别对两个变量的关系进行拟合， 已求得： 用指数函数模型拟合的回归方程为 0.2 96.54 x ye，ln y与x 的相关系数 1 0.94r ； 8 1 =183.4 ii i u y , =0.34u, 2=0.115 u, 8 2 1 =1.53 i i u , 8 1 360 i i y , 8 2 1 22385.5 i i y , （其中 1 ,1,2,3,8 i i ui x ） ； （1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合
10、效果更好（精确到 001） ，并用其估计 产量为 10 千件时每件产品的非原料成本 参考数据：0.61 6185.561.4, 2 0.135e 参考公式：对于一组数据 11 ,u， 22 ,u，, nn u，其回归直线u的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i unu unu ，u，相关系数 1 22 22 11 n ii i nn ii ii unu r unun 20 （本小题满分 12 分） 椭圆 22 22 :1 (0) xy Eab ab 的离心率是 5 3 ， 过点 (0,1)P 做斜率为k的直线l， 椭圆E 与直线l交于, A B两点，当直
11、线l垂直于y轴时| 3 3AB ， （1）求椭圆E的方程； （2）当k变化时，在x轴上是否存在点 ( ,0)M m ，使得AMB是以AB为底的等腰三角形， 若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 12sin ,0f xxx x ， （1）求 f x的最小值； （2）证明： 2x f xe （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程
12、为 1 3, 2 3 2 xt yt （t为参数） ，曲线C的参数 方程为 3cos , 33sin x y （为参数） ， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， （1）求曲线C的极坐标方程； （2）已知点P的极坐标为( 3,)，l与曲线C交于, A B两点，求 11 |PAPB 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知, ,a b c为正数，且满足1abc ，证明： （1） 222 111 abc abc ； （2） 111 1 222abc 福州市 2020 届高三文科数学 5 月调研卷参考答案 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题：本大题共一、选择题
13、：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 1A 2C 3B 4D 5D 6D 7A 8C 9A 10B 11A 12C 二、填空题：本二、填空题：本大大题共题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 130.9 142 152 16 6， 1 6 4n 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 小题，小题，共共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （本小题满分 12分） 【 解 析 】（ 1 ） 由 2 243 nnn aaS， 可
14、知 2 111 243 nnn aaS ， 可 得 22 111 224 nnnnn aaaaa ，即 22 1111 2()()() nnnnnnnn aaaaaaaa ， 3 分 由于0 n a ，可得 1 2 nn aa 4 分 又 2 111 243aaa，解得 1 1a （舍去） ，或 1 3a ， 5 分 所以数列 n a是首项为3，公差为2的等差数列，可得21 n an 6 分 （2）由21 n an可知 1 11111 () (21)(23)2 2123 n nn b a annnn ， 8 分 数列 n b的前n项和为 n T，则 12 1111111 ()()() 2355
15、72123 nn Tbbb nn LL 10 分 1 11 () 2 323n 11 分 3(23) n n 12 分 18 （本小题满分 12分） 【解析】 （1）证明:四边形 ABCD 为平行四边形，2ADCD ，60ADC，由余弦定理 可得：3ACCD， 222 ADACCD 2 分 90ACDBAC，ABAC， 3 分 111 ABCABC为三棱柱，且 1 AA 平面 ABC， 4 分 AB 平面 ABC 1 ABAA 5 分 1 AACAA，AB平面 1 1 ACC A 6 分 （2）连结 1 AC， 7 分 AB Q平面 1 1 ACC A，/CDAB，CD平面 11 CC A，
16、9 分 11 11 11 1 1 CA B CDD CC ACA B C VVV 1 11 1 1 1 11 33 AC CA B C CDSCCS 10 分 1111 22 32 32 322 3 3232 8 所以四棱锥 111 CA B CD的体积为 8 12 分 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）令 1 u x ，则 b ya x 可转化为yabu， 1 分 因为 360 45 8 y ，所以 8 22 1 8 1 8 183.48 0.34 4561 100 1.53 8 0.1150.6 1 8 i ii i i u yuy b uu ， 4 分 则45 100 0.
17、3411aybu，所以11 100 y u ， 5 分 所以y关于x的回归方程为 100 11 y x ； 6 分 （2）y与 1 x 的相关系数为： 2 88 2222 11 8 1 8 88 ii ii ii i u yuy r uuyy 6161 0.99 61.40.61 6185.5 ， 9 分 因为 12 rr，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 10 分 把10x 代入回归方程： 100 11 y x ， 100 1121 10 y （元） ， 11 分 所以当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本估计为 21 元 12 分 20 （本小题满分 12分） 【解析】 （1）由已
18、知椭圆过点 3 3 ,1 2 ，可得 22 222 271 1 4 5 3 ab abc c a ， 3 分 解得 22 9,4ab所以椭圆的E方程为 22 1 94 xy 5 分 （2）设 1122 ( ,), (,)A x yB xy ，AB的中点 00 (,)C xy 由 22 1 1 94 ykx xy 消去y得 22 (49)18270kxkx，所以 12 000 22 94 , 1 24949 xxk xykx kk 7 分 当0k 时，设过点C且与l垂直的直线方程 22 194 () 4949 k yx kkk 8 分 将 ( ,0)M m 代入得： 5 4 9 m k k 9
19、分 若0k ，则 44 929 =12kk kk ， 若0k ，则 444 9( 9 )2( 9 )=12kkk kkk 所以 5 0 12 m 或 5 0 12 m 11 分 当0k 时，0m 综上所述，存在点M满足条件,m 取值范围是 55 1212 m 12 分 21 （本小题满分 12分） 【解析】 （1） 1 2cosfxx ，令 0fx得 1 cos 2 x 1 分 当0, 3 x 时， 0fx， f x单调递减， 当, 3 x 时， 0fx， f x单调递增， 3 分 故在0,上， f x的极小值为13 33 f 4 分 当x时， 121 3 f xf 故 f x的最小值为13
20、33 f 5 分 （2）要证当0x 时， 2x f xe，即证当0x 时， 2 12sin1 x g xxx e 6 分 222 2 12sin12cos324sin2cos xxx gxxx ex exxx e 7 分 令 sinh xxx，则 1 cos0h xx ， h x在0,上单调递增， 8 分 故 00h xh，即sinxx 9 分 所以 324sin2cos32sin4sin2cos32 sincos32 2sin0 4 xxxxxxxxx 10 分 所以 0g x， g x在0,上单调递增， 故 01g xg， 11 分 故当0x 时， 2x f xe 12 分 （二）选考题：
21、共（二）选考题：共 10 分考生在第分考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22 【解析】 （1）曲线C的普通方程为 22 (3)9xy，即 22 6xyy， 3 分 所以 2 6 sin，即6sin，所以曲线C的极坐标方程为6sin 5 分 （2）将直线l的参数方程代入到 22 6xyy中，得 2 4 330tt 6 分 设, A B两点对应的参数分别为 12 ,t t，则 12 4 3tt， 1 2 3t t ， 7 分 因为点P的极坐标为( 3,)，所以点P的直角坐标为(3,0)， 8 分 所以 2 12
22、121212 1212 1212 |(|)|2|1111 | tttttttt ttttPAPBtttt 12 (0,0)tt 4 4 32 36 3 12 33 10 分 23 【解析】证明： （1）由条件1abc 得 22 111 22c abab ，当且仅当ab时等号成立 22 111 22a bcbc ，当且仅当bc时等号成立 22 111 22b caca ，当且仅当ca时等号成立 3 分 以上三个不等式相加可得： 222 111 22()abc abc ，当且仅当abc时等号成立 4 分 得证 222 111 abc abc 5 分 （2）由条件1abc 得 11143 1() 222(2)(2)(2)(2)(2)(2) abbccaabcabbcca abcabcabc ， 8 分 由三元基本不等式得 3 33abbccaab bc ca（等号成立当且仅当1abc） ， 从而得证 111 1 222abc 10 分
