1、00精讲本2021江西数学锐角三角函数锐角三角函数 第六节解直角三角形及其应用第六节解直角三角形及其应用1 1锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C C9090，ABABc c，BCBCa a，ACACb b，则，则sin Asin A ，cos Acos A ，tan Atan A .知识点1cacbba2 2特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值22232321331 1 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 知识点2锐角三角函数锐角三角函数 (10(10年年0 0考考)例例 (2020(2020四川南充四川南充)如图，点如图，点A A，B B，C
2、 C在正方形网格的格点上，则在正方形网格的格点上，则sinBACsinBAC()()命题点1B B【思路分析思路分析】作作BDACBDAC于点于点D D，根据，根据勾股勾股定理求出定理求出ABAB，ACAC，利用三角形的，利用三角形的面积，求出面积，求出BDBD，最后在，最后在RtRtABDABD中，根据三角函数的意义求解中，根据三角函数的意义求解【规范解答规范解答】如图，过点如图，过点B B作作BDACBDAC于点于点D D，由由勾股勾股定理，得定理，得BDBD ，sinBACsinBAC 故选故选B.B.22练练 (2020(2020浙江金华浙江金华)如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的
3、边长都如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点相等，相邻两正六边形的边重合，点A A，B B，C C均为正六边形的顶点，均为正六边形的顶点，ABAB与与地面地面BCBC所成的锐角为所成的锐角为，则，则tan tan 的值是的值是 15319解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用 (10(10年年1010考考)考法考法坡度、坡角问题坡度、坡角问题 (2020(2020湖南娄底湖南娄底)如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于天桥于20192019年年1212月月1818日动工，日动工，20202020年年2
4、2月月2828日竣工，彰显了国企的担当精日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的神，展现了高效的“娄底速度娄底速度”该桥的引桥两端各由该桥的引桥两端各由2 2个斜面和一个水个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E E点距地面点距地面5 m5 m，从，从E E点处点处测得测得D D点俯角为点俯角为3030，斜面，斜面EDED长为长为4 m4 m，水平面，水平面DCDC长为长为2 m2 m，斜面，斜面BCBC的坡度的坡度能力点为为1414，求处于同一水平面上引桥底部，求处于同一水平面上引桥底部ABAB的长的长(结果精确到结果精确到0.1
5、 m0.1 m，1.411.41，1.73)1.73)23【思路分析思路分析】作作DFAEDFAE于于F F，DGABDGAB于于G G，CHABCHAB于于H H，则，则DFDFGAGA，DCDCGHGH2 2，AFAFDGDGCH.CH.由由含含3030角的直角三角形的性质得出角的直角三角形的性质得出EFEF DEDE2 2，DFDF2 2 ，求出，求出CHCHAFAF3 3，由，由斜斜面面BCBC的的坡度坡度求出求出BHBH4CH4CH1212，进，进而而得出得出答案答案213【规范解答规范解答】解：如图，作解：如图，作DFAEDFAE于点于点F F，DGABDGAB于点于点G G，CH
6、ABCHAB于点于点H H，则则DFDFGAGA，DCDCGHGH2 2，AFAFDGDGCH.CH.由题意，得由题意，得EDFEDF3030，EFEF DEDE 4 42 2，DFDF EFEF2 .2 .AEAE5 5，CHCHAFAFAEAEEFEF5 52 23.3.斜斜面面BCBC的的坡度坡度为为1 1 4 4 BHBH4CH4CH1212，ABABAGAGGHGHBHBH2 2 2 212122 2 141417.5(m)17.5(m)答：处于同一答：处于同一水水平面上平面上引桥引桥底部底部ABAB的长的长约约为为17.5 m.17.5 m.21213333考法考法仰角、俯角问题仰
7、角、俯角问题 (2020(2020河南河南)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一最早的天文台，也是世界文化遗产之一某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在地面一条水平步道所示，他们在地面一条水平步道MPMP上架设测角仪，先在点上架设测角仪，先在点M M处测得观星台处测得观星台最高点最高点A A的仰角为的仰角为2222，然后沿，然后沿MPMP方向前进方向前进16 m16 m到达点到达点N N处，测得点处，测得点A A
8、的仰的仰角为角为4545，测角仪的高度为，测角仪的高度为1.6 m.1.6 m.(1)(1)求观星台最高点求观星台最高点A A距离地面的高度距离地面的高度(结果精确到结果精确到0.1m.0.1m.参考数据：参考数据：sin sin 22220.370.37，cos 22cos 220.930.93，tan 22tan 220.400.40，1.41)1.41)；(2)“(2)“景点简介景点简介”显示，观星台的高度为显示，观星台的高度为12.6 m12.6 m请计算本次测量结果的请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议误差，并提出一条减小误差的合理化建议2【思路分析思路分析】(1
9、)(1)过点过点A A作作ADPMADPM于点于点D D，延延长长BCBC交交ADAD于点于点E E，则四边形，则四边形BMNCBMNC，四边形，四边形BMDEBMDE是矩形，于是得到是矩形，于是得到BCBCMNMN，DEDECNCNBMBM，求得，求得CECEAEAE，设设AEAECECEx x，得到，得到BEBE1616x x，解直角三角形即可得到结论；，解直角三角形即可得到结论；(2)(2)建议建议：为：为了减了减小小误差误差可以可以通通过多过多次测量次测量，取取平平均值均值的方法的方法【规范解答规范解答】解：解：(1)(1)如图，过点如图，过点A A作作ADPMADPM于点于点D D，
10、延延长长BCBC交交ADAD于点于点E E，则四边形则四边形BMNCBMNC，四边形，四边形BMDEBMDE是矩形，是矩形，BCBCMNMN16 m16 m，DEDECNCNBMBM1.6 m.1.6 m.AECAEC9090，ACEACE4545，ACEACE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，CECEAE.AE.设设AEAECECEx x，BEBE1616x.x.ABEABE2222，tan 22tan 22x x10.710.7，ADAD10.710.71.61.612.3.12.3.答：答：观星台观星台最高点最高点A A距距离地离地面的高面的高度约度约为为12.3 m.12.3 m.(
11、2)(2)“景景点点简介简介”显显示，示，观星台观星台的高的高度度为为12.6 m12.6 m，本本次测量次测量结果的结果的误差误差为为12.612.612.312.30.3(m)0.3(m)，减减小小误差误差的的合合理理化建议化建议：为：为了减了减小小误差误差可以可以通通过多过多次测量取次测量取平平均值均值的方的方法法考法考法方向角问题方向角问题 (2020(2020湖北咸宁湖北咸宁)如图，海上有一灯塔如图，海上有一灯塔P P，位于小岛，位于小岛A A北偏东北偏东6060方向上，一艘轮船从小岛方向上，一艘轮船从小岛A A出发，由西向东航行出发，由西向东航行24 nmile24 nmile到达
12、到达B B处，这时测处，这时测得灯塔得灯塔P P在北偏东在北偏东3030方向上如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮方向上如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔船到达灯塔P P的正南方，此时轮船与灯塔的正南方，此时轮船与灯塔P P的距离是的距离是 20.8 20.8 nmile.(nmile.(结果保结果保留一位小数，留一位小数，1.73)1.73)3【思路分析思路分析】过过P P作作PDABPDAB于于D D，易证易证ABPABP是等腰三角形，得到是等腰三角形，得到BPBPAB.AB.然然后在直角后在直角PBDPBD中，利用三角函数的定义求得中，利用三角函数的定义求得PDPD的长即可的
13、长即可【规范解答规范解答】如图，过如图，过P P作作PDABPDAB于于D.D.PABPAB3030，PBDPBD6060，PABPABAPBAPB，BPBPABAB24 nmile.24 nmile.在直角在直角PBDPBD中，中，PDPDBPBPsinPBDsinPBD2424 12 12 20.8(nmile)20.8(nmile)即此即此时轮船时轮船与与灯塔灯塔P P的距的距离约离约为为20.8 nmile20.8 nmile，故答案为，故答案为20.8.20.8.233考法考法实际问题实际问题 (2019(2019江西江西)图图1 1是一台实物投影仪，图是一台实物投影仪，图2 2是它
14、的示意图，折线是它的示意图，折线BBAOAO表示固定支架，表示固定支架，AOAO垂直水平桌面垂直水平桌面OEOE于点于点O O，点，点B B为旋转点，为旋转点，BCBC可转动，可转动，当当BCBC绕点绕点B B顺时针旋转时，投影探头顺时针旋转时，投影探头CDCD始终垂直于水平桌面始终垂直于水平桌面OEOE，经测量：，经测量：AOAO6.8 cm6.8 cm，CDCD8 cm8 cm，ABAB30 cm30 cm，BCBC35 cm.(35 cm.(结果精确到结果精确到0.1)0.1)(1)(1)如图如图2 2，ABCABC7070，BCOE.BCOE.填空：填空：BAOBAO ；求投影探头的端
15、点求投影探头的端点D D到桌面到桌面OEOE的距离；的距离；(2)(2)如图如图3 3，将，将(1)(1)中的中的BCBC向下旋转，当投影探头的端点向下旋转，当投影探头的端点D D到桌面到桌面OEOE的距离为的距离为6 cm6 cm时，求时，求ABCABC的大小的大小(参考数据：参考数据：sin 70sin 700.940.94，cos 20cos 200.940.94，sin 36.8sin 36.80.600.60，cos 53.2cos 53.20.60)0.60)【思路分析思路分析】(1)(1)过点过点A A作作AFAFBCBC，根据平行线的性质解答即可；，根据平行线的性质解答即可；过
16、点过点A A作作AGBCAGBC于点于点G G，解直角三角形求出，解直角三角形求出AGAG，进，进而而计算计算AGAGOAOACDCD求得求得结果；结果；(2)(2)延延长长CDCD交交OEOE于于M M，过点，过点B B作作BHCDBHCD，与，与DCDC的的延延长线相交于点长线相交于点H H，求得，求得CHCH的的长，长，从而从而求得求得CBHCBH的的大大小，即可求得小，即可求得ABCABC的的大大小小【规范解答规范解答】解：解：(1)(1)160160如图如图1 1，过点，过点A A作作AGBCAGBC，交，交BCBC于点于点G G，ABAB3030，OAOA6.86.8，ABCABC
17、7070，AGAG30sin 7030sin 7028.228.2，OGOGOAOAAGAG3535，OGOGCDCD2727，即点，即点D D到到桌桌面面OEOE的距的距离约离约为为27 cm.27 cm.(2)(2)如图如图2 2，延延长长CDCD交交OEOE于于M M，过点，过点B B作作BHCDBHCD，交，交DCDC的的延延长线于长线于H.H.CDOECDOE，OEOEBHBH，ABHABH7070，由题意，得由题意，得CMCM6 68 81414，由，由(1)(1)得得HMHM3535，CHCH21.21.在在RtRtBCHBCH中，中，sinCBHsinCBH 0.600.60，
18、CBHCBH36.836.8，ABCABCABHABHCBHCBH33.233.2，即即ABCABC的的大大小小约约为为33.233.2.1 1(2018(2018江西江西)图图1 1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关图组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关图2 2是其俯视简化示意图，已知轨道是其俯视简化示意图，已知轨道ABAB120 cm120 cm，两扇活页门的宽，两扇活页门的宽OCOCOBOB60cm60cm，点，点B B固定，当点固定，当点C C在在A
19、BAB上左右运动时，上左右运动时，OCOC与与OBOB的长度不变的长度不变(所有结果所有结果保留小数点后一位保留小数点后一位)(1)(1)若若OBCOBC5050，求，求ACAC的长；的长；(2)(2)当点当点C C从点从点A A向右运动向右运动60 cm60 cm时，求点时，求点O O在此过程中运动的路径长在此过程中运动的路径长(参考参考数据：数据：sin 50sin 500.770.77，cos 50cos 500.640.64，tan 50tan 501.191.19，取取3.14)3.14)解：解：(1)(1)如图如图1 1，过，过O O作作ODBCODBC，垂足为，垂足为D D，OC
20、OCOBOB，BCBC2BD.2BD.在在RtRtOBDOBD中，中，OBOB60 cm60 cm，OBCOBC5050，BDBDOBcos 50OBcos 5060600.640.6438.4(cm)38.4(cm)，BCBC2BD2BD76.8 cm76.8 cm，ACACABABBCBC12012076.876.843.2(cm)43.2(cm)(2)B(2)B为为固固定点，定点，OBOB60 cm60 cm为定长，为定长，O O点在以点在以B B为圆心，为圆心，BOBO长为半径的圆上长为半径的圆上如图如图2 2，点，点C C从从点点A A运运动动60 cm60 cm后，后，恰好恰好在在
21、ABAB中点中点位位置，这个过置，这个过程程中中O O点的点的运运动动轨迹轨迹即为即为 ，此此时只需时只需求求 的长的长此此时时有有OCOCOBOB60 cm.BC60 cm.BC ABAB60 cm60 cm，OBCOBC为等边三角形，为等边三角形，OBCOBC6060，226060202020203.143.1462.8(cm)62.8(cm)212 2(2020(2020山东淄博山东淄博)如图，著名旅游景区如图，著名旅游景区B B位于大山深处，原来到此旅游位于大山深处，原来到此旅游需要绕行需要绕行C C地，沿折线地，沿折线ACBACB方可到达当地政府为了增强景区的吸引方可到达当地政府为了
22、增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A A地到景区地到景区B B的笔直公路请结合的笔直公路请结合A A4545，B B3030，BCBC100100千米，千米，1.41.4，1.71.7等数据信息，等数据信息，解析下列问题：解析下列问题：23(1)(1)公路修建后，从公路修建后，从A A地到景区地到景区B B旅游可以少走多少千米？旅游可以少走多少千米？(2)(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加实际工作时每天的工效比原计划增加25
23、%25%，结果提前，结果提前5050天完成了施工任天完成了施工任务求施工队原计划每天修建多少千米务求施工队原计划每天修建多少千米解：解：(1)(1)如图，过点如图，过点C C作作ABAB的垂线的垂线CDCD，垂足为，垂足为D.D.在在RtRtBCDBCD中，中，ABCDABCD，sin 30sin 30 BCBC100100千米千米，CDCDBCBCsin 30sin 30100100 50(50(千米千米)，BDBDBCBCcos 30cos 30100100 50 (50 (千米千米)在在RtRtACDACD中，中，ADADCDCD50(50(千米千米)，ACAC (千米千米)ABAB505050(50(千米千米)，从从A A地地到到景区景区B B旅游旅游可以可以少走少走ACACBCBCABAB50 50 100100(50(5050 )50 )505050 50 50 50 35(35(千米千米)答：答：从从A A地地到到景区景区B B旅游约旅游约可以可以少走少走3535千米千米212332323(2)(2)设设施工队原施工队原计计划每天修建划每天修建x x千米千米，依依题意有题意有解得解得x x 0.540.54，经经检验检验，x x 是是原原分式方分式方程程的解的解答：答：施工队原施工队原计计划每天修建划每天修建0.540.54千米千米
