1、二次函数专题复习二次函数专题复习AxyODME为学应需毕生力，为学应需毕生力，攀高贵在少年时攀高贵在少年时.苏步青苏步青 化归转化化归转化分类讨论分类讨论数形结合数形结合方程函数方程函数换元换元恒等变形恒等变形面积法面积法待定系数法待定系数法1.二次函数定义2.二次函数的图象与性质（1）对称轴（2）顶点坐标(3）大致图象（与a,b,c的关系）3.二次函数解析式的确定4.二次函数的平移（或对称，旋转）5.二次函数与方程、不等式的关系6.二次函数的应用导 引 概 念 本专题的重点是提高九年级学生利用二次函数的定义、图象及其性质解决有关二次函数问题的能力。通过知识的梳理和回顾，温故而知新；通过问题情
2、景的设置和问题的解决，进一步提高九年级学生分析和解决二次函数问题的能力，进而实现九年级学生分步解决问题的策略，以及分类型针对性的解答问题的能力重 点 讲 解y=6x22040202xxynnd23212 函 数在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的 一般地，形如一般地，形如 的函数，的函数，2,0yaxbxc a b ca是常数，叫做叫做二次函数二次函数其中，其中，x是自变量，是自变量，a，b，c分别是函数分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项解析式的二次项系数、一次项系数和常数项二次函数定义1 现在我们学习过的函数有：现在我们学
3、习过的函数有：一次函数一次函数：y=kx+b(k0)二次函数：二次函数：可以发现，这些函数的名称都反映了函数表达可以发现，这些函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系式与自变量的关系其中包括正比例函数其中包括正比例函数：y=kx(k0)，20yaxbxc a函数函数 的图象与函数的图象与函数 y=x2 的的图象相比，有什么共同点和不同点？图象相比，有什么共同点和不同点？222,21xyxy22246448212yx22yx2yx相同点相同点：开口都向上，顶：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是最低点，对称轴是 y 轴；轴；不同点不同点：a 越大，抛物越大
4、，抛物线的开口越小线的开口越小2二次函数的图象与性质22246448212yx 22yx 2yx画出函数画出函数 的图象，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点2221,22yxyxyx对比抛物线，对比抛物线，y=x2和和y=x2,它它们关于们关于x轴对称吗？轴对称吗？一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2和和y=-ax2（a0）呢？呢？一般地，抛物线一般地，抛物线 y=ax2（a0）的对称轴是的对称轴是y轴，顶点是原点当轴，顶点是原点当a0时，抛物线的开口向上，时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越越
5、大，抛物线的开口越小；当小；当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2+k的开口向的开口向 ，对称轴是，对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的增大而的增大而 ，在对，在对称轴的右侧，称轴的右侧，y随随x的增大而的增大而 ，当，当x=时，取得最时，取得最 值，值，这个值等于这个值等于 ；当当a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性最大（或最小）最大（或最小）值值向上向上向下向下(0,k)(0,k)y轴轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小的增大而减小.x=0时,y最小=kx=0
6、时,y最大=k抛物线抛物线y=ax2+k(a0)的图象可由的图象可由y=ax2的图象通过的图象通过上下上下平移得到平移得到.(上加下减上加下减)抛物线抛物线 y=ax2+k（a0）的图象与性质画出二次函数画出二次函数 的的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点x321012322111,122yxyx 222464420284.50.50.52112yx 2112yx8 4.52020.50.52112yx2112yx 可以看出，抛物线可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴的开口向下，对称轴是经过点（是经过点（1，0）且与）且与x轴垂直的直线，我们把它记
7、作轴垂直的直线，我们把它记作直线直线x=1，顶点是（，顶点是（1，0）；抛物线）；抛物线 的开的开口向口向_，对称轴是直线，对称轴是直线_，顶点是，顶点是_2112yx 2112yx下下x=1(1,0)2224644抛物线抛物线 与抛物线与抛物线 有什么关系？有什么关系？把抛物线把抛物线 向向左平移左平移1个单位长度个单位长度，就得到抛物，就得到抛物线线 ；把抛物线；把抛物线 向向右平移右平移1个单位长个单位长度度，就得到抛物线，就得到抛物线 22111122yxyx ，212yx212yx2112yx 212yx 2112yx结论：左加右减结论：左加右减22246442121xy2121xy
8、例例(1)画出函数画出函数 的图象的图象.解：画出函数解：画出函数 的图象：的图象：21112yx 21112yx2224644x432101221112yx 5.51.531 1.55.5321112yx (2)指出它的开口方向、对称轴及顶点指出它的开口方向、对称轴及顶点 (3)抛物线抛物线 经过怎样的变换可以得经过怎样的变换可以得到抛物线到抛物线?212yx 21112yx2224644212yx 一般地，抛物线一般地，抛物线y=a(x-h)2+k 与与y=ax2形状形状_，位置不同，把抛物线位置不同，把抛物线y=ax2向上（或下）向左（或向上（或下）向左（或右）右）_，可以得到抛物线，可
9、以得到抛物线 ，平移，平移的方向、距离要根据的方向、距离要根据_的值来决定的值来决定抛物线抛物线y=a(x-h)2+k 有如下特点：有如下特点：（1）当）当a0时，开口时，开口_；当；当a0时，开口时，开口_；（2）对称轴是直线）对称轴是直线_；（3）顶点坐标是）顶点坐标是_khxay2相同相同平移平移h，k向上向上向下向下x=h（h,k)抛物线抛物线 y=a(x-h)2+k（a0）的图象与性质二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)配方配方 所以，有所以，有 y=a(xh)2+k 类类型型因此，任何一个二次函数都可因此，任何一个二次函数都可以通过将以通过将y=ax2进行平移得到进行平移得
10、到.例如，例如，y=2x28x12，通过配方，通过配方得得y=2(x2)24就可以通过平移就可以通过平移y=2x2得到，如演示所示得到，如演示所示.cbxaxy2abacabxa44222想一想想一想二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)配方配方 所以，有所以，有 y=a(xh)2+k 型型因此，任何一个二次函数都可因此，任何一个二次函数都可以通过将以通过将y=ax2进行平移得到进行平移得到.22246448例如，例如，y=2x28x12，通过配方，通过配方得得y=2(x2)24就可以通过平移就可以通过平移y=2x2得到，如演示所示得到，如演示所示.cbxaxy2abacabxa4422
11、2想一想想一想 一般地，我们可以用配方求抛物线一般地，我们可以用配方求抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点与对称轴的顶点与对称轴:cbxaxy2abacabxa44222因此，抛物线因此，抛物线 的对称轴是直线的对称轴是直线 ,顶点坐标是顶点坐标是 .cbxaxy2abx224,24bacbaa 这是确定抛物线顶点与对称轴的公式这是确定抛物线顶点与对称轴的公式抛物线抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质 矩形场地的周长是60 m，一边长为l，则另一边长为 ，场地的面积为 用总长为用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形随矩形一边长一边长
12、l 的变化而变化，当的变化而变化，当 l 是多少时，场地的面积是多少时，场地的面积S最大？最大？即 ml 260分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值Sl(30l)Sl 2+30l(0 l 30)练一练练一练也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大（S225 m2）.1512302abl 因此，当 时，22514304422abac S有最大值 ，Sl 2+30l(0 l 0，抛物线开口向上.212 33x 顶2214 33y 顶11,33顶点坐标为13x 对称轴：直线1133xy 最小值当时，-练一练练一练解:a=1 0，抛物线开口向下，2121x 顶22141y 顶1
13、,1顶点坐标为1x 对称轴：直线11xy 最大值当时，22yxx（2）基础练习基础练习解:a=2 0，抛物线开口向上，442 0.5x 顶24 0.5 3454 0.5y 顶4,5顶点坐标为4x 对称轴：直线45xy最小值当时，-34212xxy（4）基础练习基础练习 例1 已知抛物线C：的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）（）求点P，Q的坐标；（）将抛物线C向上平移得抛物线C，点Q平移后的对应点为Q，且FQ=OQ求抛物线C的解析式 122xxy21综合运用（分步解题训练）例2已知抛物线y=x2-bx+c（b，c为常数,b0）经过点A(-1,0)，点M(m,0)是x轴正半轴上的动点 （）
14、当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（）点D(b,yD)在抛物线上，当AM=AD，m=5时，求b的值 综合运用（分步解题训练）例3在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(1,0)已知抛物线 （m是常数），顶点为P （）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（）若点P在x轴下方，当 时，求抛物线的解析式22yxmxm45AOP综合运用（分步解题训练）例4已知二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数）（）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；（）当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式 综合运用（分步解题训练）综合运用（分步解题训练）数形本是相倚依，数形本是相倚依，焉能看作两边飞，焉能看作两边飞，数缺形时少直觉数缺形时少直觉,形缺数时难入微形缺数时难入微.数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休.几何代数统一体几何代数统一体,永远联系莫分离永远联系莫分离.华罗庚华罗庚数形结合数形结合谢谢谢谢!
