1、上海市2022-2023学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1函数的导数_.2已知一个等比数列的第5项是4，公比是2，它的第1项是_.3在的展开式中，常数项为_.（用数字作答）4已知是独立事件，则_.5为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg）：5656575859596163646566687071737483.据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为_.6电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式
2、共有_种.7若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则此圆锥的高为_.8已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_.9某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，已知男生比女生少抽了10人，则该年级的女生人数是_.10某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于_（用数字作答）.11已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为_.12如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个
3、正方形，不画第四边：接着画正五边形，对这个正五边形不画第五边：接着画正六边形，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线.设第n条线段与第n+1条线段所夹的角为，则_.二、单选题13若，则（）A2B5C2或5D7144名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（）A36B64C72D8115已知某射击爱好者打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的标准差为（精确到0.01）（）A0.35B0.59C0.40D0.6316已知直线与圆有公共点，且公共点的横纵坐标均为整数
4、，则满足的有（）A40条B46条C52条D54条三、解答题17已知函数.(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数在上的最大值与最小值.18如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点.(1)求正四棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的大小.19某中学为了解高中一年级学生对生涯规划读本学习情况，在该年级名学生中随机抽取了名学生作为样本，对他们一周内对生涯规划读本学习时间进行调查，经统计，这些时间全部介于至单位分钟之间.现将数据分组，并制成如图所示的频率分布直方图.为了研究的方便，该年级规定，若一周学习生涯规划读本时间多于分钟的学生称为“精生涯生”，若一周学习生涯规划读本时间小于分钟的学
5、生称为“泛生涯生”.(1)求图中的值；(2)用样本估计总体，估计该年级“精生涯生”和“泛生涯生”的数量各为多少人？(3)从样本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任选名学生，求这两名学生一周内对生涯规划读本学习时间的差不超过分钟的概率.20已知等差数列和正项等比数列.(1)求；(2)设，记数列的前项和为，求的最小值：(3)设的前项和为，是否存在常数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，.(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；(3)若
6、弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值.试卷第3页，共4页参考答案：1【分析】利用导数运算求得正确答案.【详解】由于，所以.故答案为：2#【分析】设数列为，首项为，化简即得解.【详解】设数列为，首项为，则，所以.所以第一项是. 故答案为：315【分析】利用二项展开式的通项公式计算可得.【详解】解：，令，解得，所以常数项为故答案为：15.4【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，即可得到结果.【详解】因为是独立事件，且，则故答案为:5【分析】根据百分位数的求法求解即可.【详解】，数据从小到大第个数是，所以第75百分位数为故答案为：6【分析】不相邻的问题利用插空法求解即可.【详解】先将3个商业广
7、告排好，有种，再将2个公益广告插入个空中，有种，所以不同的播放方式共有种.故答案为：.74【分析】设圆锥的高和底面圆的半径，利用体积和线面角建立方程求解即可.【详解】设圆锥的高为，底面圆的半径为，因为圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，所以，解得.故答案为：48【分析】试题分析：因为只有第项的二项式系数最大，所以 ，因此展开式的系数之和为考点：二项式系数性质9360【分析】先求分层抽样比例，然后设元，根据题意列方程求解.【详解】抽取比例为，设该年级的女生人数是 ，则男生人数为，因为男生比女生少抽了10人，所以，解得 ，故答案为：360.10【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站
8、成一排”和“2名女生相邻且农场主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法，2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；第二步：相邻女生排在一起有种；第三步：4名男生排在剩下的位置有种.因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率，故答案为：11#【分析】设圆和圆的圆心分别为，则根据椭圆的性质可知为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和可得答案.【详解】由题设圆和圆的圆心分别为，半径分别为，则椭圆的焦点为，又，
9、故，当且仅当分别在的延长线上时取等号，此时最大值为.故答案为：.12【分析】根据正三角形、正方形、正五边形的角的度数规律，类比出多边形个角的度数表达式，再计算出2022条线段所在的正多边形的边数，进一步求出夹角.【详解】第一条线段与第二条线段所夹的角，由此类推， ， ，观察规律，三角形会有个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有个，正五边形有个，正六边形有个，多边形有个，又观察图形得：正三角形画条线段，正方形画条线段，正五边形画条线段，正六边形画条线段，正边形画条线段；画到正多边形时，画线段的条数为，当时，；当时，第条线段应在正边形中， 故答案为：.13C【分析】由组合数的性质，即
10、可求解.【详解】由组合数性质，可知或.故选：C14A【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可.【详解】4名同学分成1，1，2三组：三组去三个不同的小区：所以全部的种类数：；故选：A.15B【分析】根据茎叶图求平均值，再由标准差与均值的关系求【详解】由茎叶图可得数据的平均数为，则数据的标准差为因为，所以很接近，且小于0.6，故只有B选项满足，故选：B16A【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含），关于y轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用几何意义得到原点到直线的距离小于等于，利用垂径定理，弦长越
11、小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出原点到每类直线的距离，与比较得到结论，利用组合知识求出答案.【详解】圆上的整数点共有12个，分别为，如图所示，由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去，关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去，关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去其中变形为，几何意义为原点到直线的距离小于等于，这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分
12、为类，以下为具体情况：，弦长为的直线有4条，此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去，弦长为的直线有8条，此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去，弦长为的直线有8条，此时原点到此直线的距离为，满足要去，其他情况弦长均大于，故均满足要求，由组合知识可知：满足要求的直线条数为：故选：A【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案.17(1)(2)最大值为2，最小值为【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析函数在的单调性与极值再求最值即可【详解】（1）因为，所以.则所求切线的斜率为，且，故所求切线方程为，即；
13、（2）因为，所以.令，得（舍去），当，函数单调递减，当，函数单调递增，所以的极小值为.又，所以的最大值为2，最小值为.18(1)(2)【分析】（1）根据锥体体积公式求得正四棱锥的体积.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的大小.【详解】（1）设，则是的中点，连接，由于是的中点，所以，由于平面，所以平面，所以.（2）依题意可知两两相互垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，所以.19(1)0.020(2)60人；30人(3)【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1求解即可；（2）先求解“精生涯
14、生” 和 “泛生涯生”的频率，在通过总数频率=频数进行计算；（3）根据古典概型和组合知识进行求解.【详解】（1）由题意，得，解得.（2）“精生涯生”的频率是，“泛生涯生”的频率是，故该年级600名学生中“精生涯生”约有人，“泛生涯生”约有人.（3）样本中“精生涯生”有人，“泛生涯生”有人，从6人中选2人时间的差不超过分钟，即2人同在一个时间组内，则时间的差不超过分钟的概率.20(1)；(2)；(3)存在，其中，.【分析】（1）由题干条件可求出等差数列公差与等比数列公比，后可得通项公式；（2）由（1）可得，后由数列单调性结合项的正负性可得的最小值；（3）可求得，后由可得，后比较相关系数可得答案.
15、【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为.则由题有：，.故；（2）由（1）可得，则是以为首项，公差为的递增等差数列，注意到，则，即求的最小值为；（3）.因，则若，可得.注意到，则恒成立，从而可得；.则存在常数，使恒成立.【点睛】关键点点睛：本题涉及求数列通项，前n项和，及数列中的恒成立问题.本题难点在于第三问，关键需整理出关于，的等式，后通过比较系数可得关于，的方程.21(1)答案见解析.(2).(3).【分析】（1）由题意的方程可得的值，进而求出的值，求出右焦点的坐标及该椭圆的离心率；（2）分直线AB，CD的斜率存在和不存在两种情况，设AB直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和，可
16、得AB的中点，由题意可得的坐标，分 ，的横坐标相等和不相等两种情况，分别求出直线MN的方程，进而可得直线MN必过的定点的坐标.（3）由（2）可得直线MN必过的定点的坐标及，的纵坐标，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性，求出三角形面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的方程，可得，可得，所以，即右焦点的坐标为，离心率,所以椭圆右焦点的坐标为，离心率.（2）证明：当直线AB，CD的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为，设联立，整理可得：，可得，所以AB的中点，同理可得的坐标，即，当，的横坐标不相等时，则，所以MN的方程为，整理可得所以直线恒过定点.当，的横坐标相等时，即时，则轴，且此时MN的方程为，显然也过，可证得直线MN必过定点.（3）由（2）可得直线MN必过的定点，可得， 设，则，在上单调递减，所以，所以面积的最大值为.答案第11页，共12页
