1、超级画板支持下的高三数学探究式教学-椭圆中特殊角的性质教学实践与反思超级画板支持下的高三数学探究式教学-椭圆中特殊角的性质教学实践与反思摘要：本节课是高三数学复习中以信息技术（超级画板）为平台，以建立知识网络为目标，以培养学生探究能力为宗旨的研讨课，在教学设计时力求通过信息技术手段、更新高三复习方式、深化数学本质的理解，通过案例记录，夹叙夹议师生在预设与生成的碰撞、交流过程中的精彩片断，是生动活泼的教学叙事和反思。关键词：超级画板；探究式教学；高三复习根据新课标下的高考立足“考查双基”、“能力立意”，力求在知识的交汇处考查学生探究能力和创新意识的精神，笔者设计了超级画板支持下的一节高三数学探究
2、课椭圆中特殊角的性质，以“角”的讨论为线索，让学生在探究中温故知新，自主学习，有效整合，从而真正提高高三复习的有效性。笔者在教学中着力体现以下四个要点。一、探究的问题要关注知识的“附着点”“问题是数学的心脏”，没有问题就无从“探究”。以问题作为的切入点是探究性学习的重要特征。新课程标准认为，形成探究性教学的最大特点就是学习者在学习中得到一个明确的任务，或者在某一情境中自己发现问题。根据高三数学复习的特点以及高考试题的规律，找好一个好的“话题”最为重要，“话题”要体现“低起点、缓坡度、高立意”的教学设计理念，实现辐射广、变化多、内涵深的教学效果。“角”这个椭圆知识的“附着点”，链接着椭圆中的许多
3、知识点、能力点（如椭圆的定义、椭圆解题的通性通法等），在发现问题和解决问题过程中能有利于学生在学习中温故知新和激发学生探究欲望。笔者在教学中从“圆的直径所对的圆周角是直角”作为引子，让学生类比到椭圆中，产生一连串的“问题链”，链接相关的知识“结点”，并以一个特殊椭圆为例开始探究之旅。课堂上让学生由“圆的直径所对的圆周角是直角”类比到椭圆，并展开一系列的探究。生1：（问题1）若A1、A2 是椭圆 的长轴两个顶点，P是椭圆上任意异于A1、A2 的点，则A1PA2=900 ？（图1）或者若B1、B2 是椭圆 的短轴的两个顶点，P是椭圆上任意异于B1、B2 的点，则B1PB2=900 ？（图2）（学生
4、议论纷纷，有说直角，有说锐角、也有说不一定） 图1 图2（教师现场借助超级画板演示不同的型椭圆以及测算A1PA2的值，让学生观察、猜测、验证）注：超级画板具有优良的操作简易性，其中独特的参数设置功能可以简便地体现圆与椭圆、双曲线之间的几何变换。具体操作如下：用鼠标点击原点点击菜单下的“作图”下的圆锥曲线（标准圆锥曲线），在跳出的框中填写长轴为：a，短轴为：b，点击确定得到一个圆的图形，点击菜单下的“变量尺”，在出现的对话框中变量栏中填上a，同样再操作一次，在对话框的变量栏中填上b，点击确定，在主界面上出现可以调控的a，b控制条，随着a，b的变化，画面上的圆变为椭圆（而且椭圆的大小也可以任意调整
5、）。圆的性质就变化为椭圆的性质。让角的知识“附着点”变成探究学习的“生长点”。同时椭圆和双曲线之间的切换也可以在“作图”菜单下直接点选双曲线的项目就将原来的椭圆转换为双曲线。这样可以非常方便地在课堂教学中实现不同问题情景之间的变换和探究。二、探究教学不能脱离复习的“核心点”高三数学探究性教学应该做到知识理解、技能演练、能力提升和谐发展，通过设疑引导、知识建构、交流互动、自主学习等教学方式让学生主动参与，把教学的核心点做足、挖透，使知识的回顾与学生的认知活动合拍共振，通过问题提出、问题解决、问题发现等一系列环节实现串联知识、温习技能、提升能力的目的，通过探究把教学落脚点定位在高三复习的“主旋律”
6、上。生2：我观察超级画板的演示过程和屏幕上A1PA2的值（图1）变化发现A1PA2是钝角，这是因为P是椭圆上的动点，设P的坐标为，把角度问题转化为三角形的边长问题进而转化为关于或的函数的研究（即函数法），设P(x,y)，|PA1|=，|PA2|=，|A1A2|=4，因为-2x2（P是椭圆上任意异于A1、A2的点）,所以由余弦定理得cosA1PA2=，因此A1PA2是钝角。生3：角度问题还可以利用向量这个工具来解决（即向量法）=（-2-x，-y），=（2-x，-y），=x2-4+y2=，因为-2x900。生5：我有更简明的解法，记得课堂上曾经讨论过椭圆一个简单而重要的性质，即椭圆上的点与长轴两个
7、顶点的连线的斜率乘积等于，以及三角知识就可以得到A1PA2是钝角。而且这个问题的结论可以推广为一般性的结论，即A1、A2是椭圆 （ab0）的两个顶点，P是椭圆上任意异于A1、A2的点，则A1PA2900。 （教室里一片赞许声，掌声）三、探究式教学要成为创新思维的“增长点”传统教学方式下的探究性教学常常是问题情景单一、思维形式固化、想象空间有限、难以即时调控，费时费力又费神，而借助超级画板的作图、测量、变换、动画、跟踪、演示等功能，学生从中可以直观、动态、全面地观察各个情况下特殊角的特性，概括共性，发展思维，对问题的观察和联想的维度与空间更为开放和开阔，似乎相互独立的椭圆中特殊角问题变成是联系、
8、动态、整体的逐步发展深化的“探索链”，问题发生过程的更为具体、生动和深刻，问题的某些结论“所见即所得”的效果，大大缩短了思维的长度、拓展了问题思考的容量、凸显个性化学习，学生敢想、爱想，会想，激发出许多灵感，不断涌现出创新思维的“增长点”，丰富了探究学习的形式和手段，这正是超级画板辅助教学的优势和价值所在。师：我们解决了椭圆上任意一点与顶点（特殊点）夹角问题之后，请大家思考这个问题的其他形式。1.从特殊到一般入手生6：生4的解法启发我思考这样的问题，如果把顶点A1、A2看作为特殊的关于原点对称的两点，那么一般地若A、B两点关于原点对称（如图4），则对于椭圆上任意一点P，APB的大小可以通过以A
9、B为直径作辅助圆的方法得知APB可能是直角、也可能是锐角、也可能是钝角。 图4（学生们对此独特的思考角度给予掌声鼓励）2.从形“点“的变化入手生7：我考虑把顶点条件改为“焦点“后的特殊角问题（如图5），即椭圆上任意一点P与它的两个焦点连线所成的角F1PF2的大小问题。如图，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上异于A1、A2的点，则F1PF2=900 ？（教师演示超级画板，全班同学沉浸在思考中） 图5下面我参考生3的解法，用函数法和向量法都可以得到F1PF2900， 即：设P（x，y），=(-1-x,-y), =(1-x,-y),如果F1PF2=900,则, 由得x2=-8，这时无解。因此F1
10、PF2900。生8：由=0和化简得，因此得到进一步的结论F1PF2是锐角。生9：我用基本不等式和反证法证明F1PF2900，否则假设F1PF2=900，由于椭圆焦点三角形中隐含着椭圆的定义，即|PF1|+|PF2|=2a（定值），设|PF1|=r1、|PF1|=r2，则r1r2=6，但是因为r1r2=4， 这就出现了矛盾，所以不存在满足条件的点P，因此F1PF2900。生10：我觉得把椭圆和圆联系起来结果比较简明，以O为圆心，F1F2为直径作圆(学生上台制作如图6)，根据三角形内角与外角的关系得到PF1PF2=900，问题的实质就是判断椭圆中b与c的大小关系，只要c比b小即可。 图6（学生啧啧
11、称好）师：上述解法主要继承了问题1的解法，也有新的解法（如反证法、几何法），说明问题的解决既有共性的也有个性的。3.从量的变化着眼生11：我观察到超级画板在演示时F1PF2不仅是锐角，而且有个变化范围的限定，应该有个最大值？即：如图7，F1、F2是椭圆的两个焦点，A1、A2是椭圆的两个顶点，P是椭圆上任意异于A1、A2 ，求F1PF2 的最大值？我观察图象觉得当点P 在短轴的顶点位置时取到最大值。虽然用一般方法（二次函数法，导数法）估计都能解决，但我更喜欢借助椭圆定义，基本不等式求解：设|PF1|=r1、|PF1|=r2,则r1+r2=4，所以r1r2=4，cosF1PF2=, 所以cosF1
12、PF2 ，又因为0F1PF2, 所以0)的两个焦点，求椭圆上的点P，使得F1PF2=900 （如图8）。 图8 图9设，则，计算有点繁琐，生14：可以回避比较复杂的计算，从直角圆椭圆这个线索求解，构造以椭圆两个焦点为直径的圆x2+y2=a2-3（如图9），数形结合比较简洁，设P(x，y)，则消去y，得（3-a2）x2+a4-6a2=0，消去x，得a2y2-3y2-9=0，即，因为，因此，若|y|=，a2=6，即a=有2个点P，这时b=c，圆与椭圆相交于短轴的两个端点；若|y|3a26，即ac，圆和椭圆相离，有0个点P；若0|y|6，即a时有4个点P，这时bc，这时椭圆与圆交于四个点，即有4个点
13、P。（其他学生脸上露出赞赏的笑容）师：太妙了！椭圆中本没有圆，大家心中有了圆，问题就可以获得“圆”满的解决（笑声）。超级画板的测算功能为教学提供了很大的方便，极大地方便了教学，具体操作如下：点击菜单下的“作图”，从中可以实现六类计算，（1）数值计算；（2）向量、向量内积的计算；（3）曲线方程的测算（直线、圆、圆锥曲线对应的方程等）；（4）各种角的计算（如方向角、直线到直线的角、两条直线的夹角、向量的角；（5）长度、距离、面积；（6）复数（代数式、三角式）导数与积分（函数的单调区间、极（最）大值、极（最）小值、积分下和、积分和、积分下和、数值积分），正是这样一种强大的技术支持，使得我们的教学设计
14、可以更开放、更科学、更有效。 “一花引来万花开”，学生随之在课堂上提出许多问题，由于篇幅关系，仅例举一二如下：若F1、F2是椭圆（或双曲线）的两个焦点，求椭圆（双曲线）上的点P，使得F1PF2=600 （或F1PF2=300 ，F1PF2=450）。若F1、F2是椭圆（或双曲线）上关于原点对称的两个点，求椭圆（双曲线）上的点P，使得F1PF2=900 。若F1、F2是椭圆（或双曲线）的两个焦点，求椭圆（双曲线）上的点P，使得（为给定常数）。 若F1、F2是椭圆（或双曲线）的两个焦点，求的取值范围。注：从特殊到一般、形“点“的变化、量的变化、静态与动态等等，这些数学研究的主要“元素”和内容在超级
15、画板平台上可以流畅完美地呈现，许多问题的改变只是弹“指”一挥间的操作，如生13问题中，要使、不同问题场景的切换只需在屏幕上的a，b控制条中加以调整即可实现。超级画板优于同类软件的一个好用的性能就是可以直接作出直线与圆锥曲线的交点（只需在菜单中选取，并在直线与圆锥曲线相交处点击，就会出现交点以及文字提示），为教学解决了“燃眉”之急，拓展了圆锥曲线的研究的广阔空间，课堂上常会出现“节外生枝处、常有暗香来”热烈情境，这也是教师对超级画板爱不释手的原因之一。四、探究的目的要提升学生学习的“高观点”探究式教学的终极追求应该是促进学生理解数学、解决数学、改变学习方式。本案例把“角”作为高三知识的温故知新的
16、平台的同时，立足在知识的交汇点（解析几何、平面几何、三角函数 、函数、不等式、平面向量等）进行全面的辐射、深入的概括，“一题多解”、“一题多变”、“多题一解”只是一种知识技能回顾和训练的方式，而贯穿其间的三条线索：知识发展：知道从一个圆的性质进行类比到椭圆，椭圆研究从顶点到焦点（更一般的关于原点对称的两点等），从静态椭圆到动态椭圆（含参数）。特殊角的定性，定量、最值、参数发展和深化的过程，解题技能方法：坐标法、平面几何方法、平面向量、均值不等式、三角函数等；数学本质：点坐标，角三角形，几何代数、向量等、显性的知识回顾与隐性的能力目标融汇交错。而超级画板的平台则为三者的深度挖掘以及和谐发展提供了
17、“大舞台”，同时无形中也提升了学生的信息技术素养。椭圆中特殊角的讨论承载了解析几何解题的主体内容和核心价值（如坐标法、数学几何、分类讨论、等价转化等），让学生从不同的知识侧面，用不同的思维方式进行观察、思考、探究、提升则是教学的目的。教师在教学中重在方法上、思想上、观点上适时点拨、概括提升，使学生对知识本质有深入的理解，达到做一题，明白一串道理，巩固一串知识，培养一串能力，掌握一串处理问题的方法，真正实现亲身体验、内化升华，这些正是高三复习优质高效的追求。超级画板支持下的高三探究式复习教学能够更好地呈现问题的发生、发展、深化过程，体现“教学习”的互动推进，这样课堂自然会更为生动、更有生机、更能“生成”，教学效果就会“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”。参考文献1 金克勤.教学设计是串起珍珠的链子J.中国数学教育，2008（10）：35-372 陶维林.让学习活动成为“再创造”的过程j.中国数学教育，2008（10）：44-463 吴红喜.例说变题教学，让学生学会思考J.中学数学（湖北），2010（7）：11-128 / 8
